Основы механики твердого деформируемого тела

ничных состояния станут ортогональными по отношению к пяти последним состояниям и разрешающие уравнения задачи разобьются на две самостоятельные системы из четырех и пяти уравнений соответственно.

И последнее. При расчете методом перемещений также встречаются случаи, когда модель нерастяжимого стержня вступает в противоречие с расчетной схемой конструкции. В качестве примера можно снова привести одноузловую раму, изображенную на рис. 5.6 (степень кинематической неопределимости этой рамы равна единице). Но если обсуждаемое противоречие при расчете методом сил дает о себе знать еще на стадии решения системы канонических уравнений, то теперь оно обнаружится только тогда, когда по полученным усилиям M и Q будет предпринята попытка построить эпюру продольных сил. В единственном неопорном узле рамы сходятся три стержня, а найти продольные силы в трех стержнях из двух независимых условий равновесия узла невозможно. И здесь снова можно сказать о преимуществе метода перемещений, ибо устранить возникшее противоречие можно не только путем перехода к другой расчетной схеме (см. рис. 5.6b) или отказа от модели нерастяжимого стержня в самом начале расчета, но и еще одним способом. Он заключается в том, что осевые жесткости стержней начинают учитывать уже после того, как будет построена эпюра "Q": найденные торцевые поперечные силы сводятся к узловым нагрузкам, конструкция заменяется шарнирной схемой, в которой и находят продольные силы по правилам расчета статически неопределимых ферм.

ГЛАВА 7. СМЕШАННЫЙ МЕТОД

7.1. О выборе метода расчета статически неопределимой конструкции. Инженер, выполняющий прочностные расчеты, предъявляет следующие требования к используемым методам и приемам: эти методы должны быть принципиально ясными, достаточно простыми в обращении и обеспечивающими необходимую точность при наименьшем объеме вычислений. Что касается ясности и простоты в использовании, то методы сил и перемещений, вообще говоря, совершенно эквивалентны, а объем и точность вычислений зависят от того, адекватен или нет применяемый метод расчета расчетной схеме сооружения.

На рис. 7.1a показаны конструкции, для каждой из которых степень кинематической неопределимости настолько превышает число лишних связей, что целесообразность их расчета методом сил несомненна. Наоборот, конструкции, изображенные на рис. 7.1b, следует рассчитывать методом перемещений, ибо и при nсил = nпер те положительные качества этого метода, о которых говорилось в п. 6.7, дадут о себе знать. Более того, методу перемещений отдается предпочтение и тогда, когда число nпер ненамного превышает величину nсил (см. рис. 7.1c). И в самом деле, при небольшой разнице между указанными числами время, затраченное на решение системы ка-

нонических уравнений несколько большей´ размерности, компенсируется на всех других этапах расчета. Однако если иметь в виду не только объем вычислений, но и их точность, то лучше для расчета статически неопределимой конструкции выбирать метод с меньшим числом неизвестных и таким методом, как будет показано ниже, может оказаться вовсе не метод сил или метод перемещений.

Так, слева от штриховой линии, проведенной на рис. 7.2a, конструкция представляет собой стержень с осью в виде ломаной, что приводит к увеличению числа неизвестных при расчете методом перемещений. Жесткий узел A и две защемленные опоры в правой части конструкции

(подконструкция II на рис. 7.2a) способствуют повышению числа неизвестных при расчете методом сил. Состояние рассматриваемой конструкции целесообразно характеризовать смешанными параметрами, выбирая в качестве основных неизвестных частично силы и частично перемещения (рис. 7.2b). Основанный на таком выборе параметров состояния метод расчета статически неопределимых конструкций получил название смешанного метода.

7.2. Вычислительная процедура смешанного метода. Сначала выбирается основная система, т. е. конструкция, правила расчета которой известны. Для этого заданная конструкция разбивается на подконструкции I и II. В первую из них включаются те части сооружения, состояние которых целесообразнее описывать силами X1, . . . , Xm, а во вторую – остальные его части. Состояние последних характеризуется кинематическими параметрами Zm+1, . . . , Zn. Число n основных неизвестных смешанного метода зависит от способа разбиения конструкции на части I и II. При выборе основной системы в подконструкции I удаляют m связей, в результате чего эта часть становится статически определимой. На вторую подконструкцию связи накладывают (в количестве n−m) с тем, чтобы обеспечить кинематическую определимость частей II основной системы. Сказанное иллюстрируют рис. 7.2 и 7.3.

Канонические уравнения смешанного метода состоят из соотношений двух типов. Первые m равенств представляют собой условия совместности перемещений, а последние n−m уравнений – условия равновесия узлов, на которые были наложены дополнительные связи. В матричной форме обсуждаемые уравнения записываются следующим образом:

516 Часть IV

гонная жесткость элемента. При загружении первой подконструкции вторая подконструкция не деформируется, поэтому эпюры "M 1", "M 2", а также та часть эпюры "M0", что связана с находящейся на левой половине рамы нагрузкой, строятся только на консольном участке основной системы. Делается это методом сечений. В свою очередь, воздействия Z3 = 1, Z4 = 1 и правая сила P = ql приводят к деформированию только подконструкции II. При построении эпюр на ее элементах используются таблицы 6.1 и 6.2. Кроме того, воздействия Z3 =1 и Z4 =1 порождают жесткие смещения части I основной системы. Единичные эпюры "M i" и полная грузовая эпюра "M0 даны соответственно на рис. 7.4c, d.

Так как в обсуждаемой задаче m = 2, n = 4, то канонические уравнения состоят из двух условий совместности перемещений и двух условий равновесия:

Перемещения uij , Ui0 находят по формуле Мора:

Выбор знаков реакций Rs0 следовало бы объяснить. Но так как точно такие же объяснения потребуется давать и при выборе знаков величин rsi, то все необходимые комментарии последуют ниже.

Остается найти смешанные коэффициенты. По схемам деформирования основной системы при воздействиях Z3 =1 и Z4 =1 (см. рис. 7.4c) видно, что перемещение u13 отрицательно (направлено в другую сторону, нежели сила X1), перемещения u14 и u23 – положительны, а u24 =0. Так как перемещения

Для проверки правильности подсчета свободных членов канонических уравнений в основной системе смешанного метода удаляют все лишние связи (в том числе и наложенные), переходя тем самым к статически определимой основной системе метода сил, и в этой основной системе строят эпюру "M0сил" от заданного силового воздействия. При правильных вычислениях соблюдается равенство (см. формулу (6.12)):

В рассматриваемом примере в качестве эпюры "M0сил"можно взять эпюру "M0", изображенную на рис. 5.9d (для удобства она приведена также на рис. 7.4f ). При l =3 и l/EI =1 проверка (7.6) выполняется:

(M (S), M0сил) = −23 EIl · ql2 = −23 · 1 · q · 9 = −6q,

На следующем этапе расчета решается система канонических уравнений, которая при подстановке в равенства (7.3) найденных выше коэффициентов и свободных членов принимает вид:

Эта система может быть решена методом Гаусса. Результаты получаются следующими:

Наконец, определяются изгибающие моменты

M = M0 + M 1X1 + M 2X2 + M 3Z3 + M 4Z4.

Все необходимые построения, связанные с вычислениями по этой формуле, и сама эпюра усилий M даны на рис. 7.5. Результат ничем не отличается от найденного ранее методами сил и перемещений.

7.3. Кинематический способ вычисления смешанных коэффициентов. Перемещения uit и реакции rti могут быть найдены путем перемножения некоторых эпюр, т. е. кинематическим способом. Практического применения этот способ не находит, но иметь представление о нем полезно: более понятными становятся связи между всеми тремя классическими методами расчета статически неопределимых конструкций.

На рис. 7.6a изображена рама, в защемленной опоре которой надо найти реактивный момент от действия силы P . Это можно сделать, опираясь на метод сил (в конструкции всего одна лишняя связь). По эпюре усилий M , показанной на том же рисунке, видно, что RB =−P l/2, а если P =1, то

Та же задача может быть решена иначе. Если по направлению силы P наложить на систему связь (см. рис. 7.6b), то реактивный момент в заделке допустимо трактовать как результат смещения добавленной связи на такое расстояние UA, при котором ее реакция RA была бы в точности равна значению P . Реакция, порождаемая кинематическим воздействием, вычисляется по формуле

чтобы подчеркнуть переход от заданной исходной конструкции (рис. 7.6a) к вспомогательной конструкции, изображенной на рис. 7.6b, и использовался значок " " в обозначениях изгибающих моментов. Очевидно, M = M , т. е.

ничем не отличается от усилия M , обусловленного действием силы P на

заданную раму. Эпюру " " можно получить во вновь образованной кон-

MB

струкции, например, методом перемещений (nпер = 1). Результаты расчета представлены на рис. 7.6c. Тогда

что совпадает при P =1 с числом (7.7).

Этого примера достаточно, чтобы сформулировать следующее правило вычисления реакции некоторой связи B стержневой конструкции от силового воздействия: реакция RB может быть найдена как произведение эпюр

усилий и , построенных в исходной и преобразованной конструкциях

M MB

соответственно:

= ( ) (7 8)

RB M, MB . .

Преобразование же исходной конструкции заключается в том, что по направлению силового воздействия вводится дополнительная связь.

Реакция rti возникает в основной системе смешанного метода от силы Xi =1. В этом случае из формулы (7.8) следует

действием Xi = 1), а эпюра "Mt" строится от кинематического воздействия получается из основной системы смешанного

Zt = 1 в конструкции, которая

метода при постановке связи по направлению силы Xi. При решении задачи смешанного метода находить надо m(n−m) реак-

ций rti, ибо t =m+1, . . . , n, i =1, 2, . . . , m, поэтому вспомогательную конструкцию образуют, возвра-

щая основной системе все m тех связей, которые при ее выборе были устранены.

Пусть теперь ставится задача определения горизонтального перемещения сечения A рассматриваемой рамы, обусловленного поворотом на угол θ защемленной опоры (рис. 7.7a). Перемещения статически неопределимой конструкции от кинематического воздействия находят по формуле

(5.20). Если эпюра " " от силы = 1 строится

MA PA

в конструкции (не обязательно статически опре-