Основы механики твердого деформируемого тела

Дальнейшие вычисления выполняются при T = M = 0, P = ql. В этом

Для проверки правильности результатов вычислений нужно образовать суммарную эпюру усилий

M (S) = M 1 + M 2 + M 3.

Если сложить изображенные на рис. 6.12c единичные эпюры, то ординаты суммарной эпюры будут иметь двучленные выражения. Чтобы избежать громоздких выкладок, связанных с использованием такой суммарной эпюры, проверка правильности подсчетов величин rik и Ri0 выполняется ниже при

+EI1 12 · l · 2 · 23 · 2 = EIl 43 +24+6+ 43 = 1 · 30+ 83 = 983 .

Сдругой стороны, при l = 3

Коэффициенты канонических уравнений найдены правильно.

Для проверки реакций Ri0 нужна основная система метода сил. В качестве таковой можно взять статически определимую конструкцию, показанную на рис. 6.12e. При помощи построенной в ней грузовой эпюры и

502 Часть IV

Канонические уравнения (6.4) после подстановки в них вычисленных

что свидетельствует о корректности приведенного выше решения системы. Эпюра изгибающих моментов (рис. 6.13), построенная по формуле

M = M0 + M 1Z1 + M 2Z2 + M 3Z3,

совпадает с той, что была получена методом сил (см. рис.5.12b).

6.6. Расчет на изменение температуры. Этот расчет отличается от предыдущих только на стадии построения эпюры "M0". Как и прежде (см. п. 5.6), тепловое воздействие разбивается на две составляющие. Одна из них (так называемый равномерный нагрев) представляет собой изменение средних температур крайних волокон стержней, а другая (неравномерный нагрев) – изменение градиентов температур указанных волокон. От каждой

компоненты теплового воздействия в основной системе строится своя эпюра изгибающих моментов, а затем эти эпюры складываются:

M0 = M0ср + M0гр.

При равномерном нагреве стержни меняют свои длины на величины

∆j = αj Tср.j lj ,

в результате чего узлы основной системы приходят в движение. Новые положения узлов можно найти, зная удлинения ∆j стержней и места постановки дополнительных линейных связей. Узловые перемещения представляют собой кинематическое воздействие на основную систему, поэтому эпюра "M0ср" строится при помощи табл. 6.1.

При перепаде ∆Tj температур крайних волокон стержней длины последних не меняются и узлы основной системы остаются на своих местах. Однако стержни будут испытывать деформацию изгиба, учесть которую можно при помощи заранее подготовленных решений для брусьев двух типов. Такие решения получают методом начальных параметров или методом сил. В табл. 6.3 приводятся готовые результаты для случая, когда нейтральная ось поперечного сечения бруса делит его высоту пополам.

Таблица 6.3

Эпюра "M0" используется для вычисления свободных членов канонических уравнений и для построения эпюры искомых изгибающих моментов M по формуле (6.6). Величины Ri0 представляют собой реакции наложенных связей, возникающих при температурном воздействии на основную систему. Их вычисляют статическим способом либо путем перемножения эпюр:

504 Часть IV

Формула (6.13) здесь не выводится, но то, что она верна, подтверждают следующие рассуждения.

Произведение эпюры "M i", полученной при смещении на единицу поворотной связи (рис. 6.14a), на прямолинейную эпюру "M0" равно ординате a последней и вовсе не зависит от второй характерной ординаты b. И в самом

Но именно ординате a и равна реакция поворотной связи, найденная по эпюре "M0" статическим способом. Перемножение эпюр, изображенных на рис. 6.14b, дает

(M i, M0) = a − b . l

Как раз такой будет реакция линейной связи, на которую опирается стержень с рассматриваемой эпюрой "M0".

Из формулы (6.13) вытекает равенство

i=1

которое используется для проверки правильности вычисления реакций Ri0.

В п. 5.6 методом сил был выполнен расчет на температурное воздействие приведенной на рис. 5.18a рамы. Решение задачи методом перемещений также начинается с разбиения заданного воздействия на части "∆T " и "Tср", представленные на рис. 5.18. Эти составляющие удобства ради указаны и на рис. 6.15a, а на рис. 6.15b повторно изображена основная система рассчитываемой рамы (см. также рис. 6.12b).

Используя схему воздействия "∆T ", можно указать вид эпюры "M0гр" и без обращения к табл. 6.3.

И в самом деле, на каждом стержне основной системы метода перемещений эпюра изгибающих моментов, обусловленная перепадом температур, откладывается со стороны менее нагретых волокон, т. е. там, где на схеме воздействия "∆T " находится незаполненная клетка. Известно также, что эпюра "M0гр" линейна, что в шарнирной опоре изгибающий момент отсутствует, а в защемленном с обеих сторон стержне усилия по его длине распределяются равномерно. Другими словами, эпюра "M0гр" должна выглядеть так, как это показано на рис. 6.15c. Что же касается значений ai характерных ординат этой эпюры, то они вычисляются по табл. 6.3. Если αj = α = const, hj = lj /20,

Далее учитывается составляющая Tср теплового воздействия, приводящая к следующим изменениям длин стержней:

По этим данным устанавливают новые положения узлов основной системы. В результате нагрева 4-го стержня 2-й узел переместится вверх на величину ∆4 (рис. 6.15d). Он же получит и горизонтальное перемещение ∆3, обусловленное охлаждением стержня 3. Так как правый торец этого стержня закреплен, узел 2 переместится вправо. На расстояние ∆3 уйдет вправо и узел 1 основной системы, но к перемещению ∆3 добавится еще и перемещение ∆2, сопряженное с температурной деформацией 2-го стержня. Кроме

того, узел 1 поднимется вверх на величину ∆1. Описанная картина смещений узлов основной системы представлена на первом из рис. 6.15d. По ней видно, что относительные перемещения δi торцов стержней в направлениях, ортогональных к осям брусьев, равны (см. формулы (6.14)):

δ3 = ∆4 = 3αl, δ4 = |∆3| = 14αl.

По величинам (6.15) вычисляются ординаты bi эпюры "M0ср", общий вид которой, установленный по деформированной схеме основной системы, приведен на втором из рис. 6.15d. Остается воспользоваться данными, имеющимися в табл. 6.1:

После сложения эпюр "M0гр" и "M0ср" получается искомая грузовая эпюра изгибающих моментов M0, изображенная на рис. 6.15e.

Реакции Ri0 находят по эпюре "M0" статическим способом, определяя их знаки при сопоставлении с единичными эпюрами, показанными на рис. 6.12c. Очевидно,

R10 = 42B − 794B = −752B,

R20 = 806B − 1089B − 124B = −407B,

С другой стороны (выкладки, проводимые при помощи рисунков 6.12g и 6.15e, опущены),

(M (S), M0) = −EIl · 1117B = −1 · 1117B = −1117B.

Поскольку равенство (6.13a) соблюдается, свободные члены канонических уравнений найдены правильно.

Единичные реакции rij известны по расчету рамы на силовое воздействие, так что можно сразу записать систему канонических уравнений:

Эта система имеет решение:

Можно проверить, что при данных значениях основных неизвестных формула

M = M0 + M 1Z1 + M 2Z2 + M 3Z3

приводит к точно такому же результату, что был получен в п. 5.6 методом сил.

Рассмотренный пример дает повод еще раз обсудить роль основной системы при расчете статически неопределимых конструкций. Особенно важна эта роль при решении задачи методом сил (в п. 5.7 было показано, как при удачном выборе основной системы сокращается объем вычислений и повышается их точность). Сокращение объема вычислений ведет не только к прямой экономии времени, затрачиваемого на расчет, но и к косвенной, ибо число ошибок и разного рода неточностей тем больше, чем длительнее вычисления, а от числа допущенных ошибок зависит время, уходящее на их исправление. Казалось бы, что все сказанное не имеет прямого отношения к методу перемещений, так как основная система этого метода единственна. При ее назначении варьировать, по существу, нечем, ибо перенос линейной связи вдоль линии ее постановки, как отмечалось в п. 6.2, на ходе вычислений не отражается. И это действительно так, если конструкция рассчитывается на осадку опор или силовое воздействие. Однако при расчете на изменение температуры места расстановки линейных связей влияют на объем вычислений. Так, при основной системе, изображенной на рис. 6.15f , равномерный нагрев не вызовет изгиба 1-го стержня (рис. 6.15g) и эпюра "M0" получится более компактной, нежели при исходной основной системе. О совсем другого рода возможности влиять на базис метода перемещений с целью его локализации говорится в следующем пункте.

6.7. Заключительные замечания. На всех этапах расчета метод перемещений имеет преимущества по сравнению с методом сил или не уступает

ему. Метод перемещений не требует перебора вариантов основной системы, здесь гораздо удобнее строить единичные и грузовые эпюры (по таблицам, а не при помощи уравнений равновесия), проще вычислять коэффициенты и свободные члены канонических уравнений. Но у метода перемещений есть и слабые стороны. Составляющими его основу табличными решениями для отдельных брусьев можно пользоваться лишь тогда, когда конструкция состоит из призматических стержней. В противном случае для всех непризматических элементов (криволинейных или переменного сечения) придется предварительно получить необходимые базисные решения, например, методом сил. Можно пойти и по другому пути: заменить криволинейные оси стержней вписанными в них ломаными линиями и перейти от стержней переменного сечения к так называемым ступенчатым брусьям. Чтобы обеспечить требуемую точность расчета, каждый непризматический стержень приходится разбивать на 6–10 призматических элементов, что заметно увеличивает степень кинематической неопределимости расчетной схемы конструкции.

К усложнению расчета приводит и то, что заменяющие кривой брус призматические элементы подходят друг к другу в местах стыка под углами, не кратными 90o. Поясняет сказанное следующий пример.

На рис. 6.16a, b изображены соответственно заданная рама с наклонными стойками и ее основная система для расчета методом перемещений. Эпюры изгибающих моментов от единичных смещений поворотных связей получают обычным образом. Одна из таких эпюр дана на рис. 6.16c. С лож - нее обстоит дело с эпюрой "M 4". Ее построение начинается с изображения картины линейных перемещений узлов шарнирной схемы конструкции. Воздействие Z4 = 1 приводит к горизонтальным перемещениям на единицу всех трех неопорных узлов шарнирной схемы (см. рис. 6.16d). Кроме того, узлы 1 и 3 переместятся по вертикали. Перемещения малы, и можно считать, что отрезки 1 − 1 и 3 − 3 ортогональны к осям левой и правой стоек рамы соответственно. С учетом направлений векторов смещений узлов 1, 2 и 3 (рис. 6.16e) находят относительные перемещения δ1, δ2 и δ=1 торцов стержней конструкции в направлениях, перпендикулярных к их осям (рис. 6.16f). После этого при помощи табл. 6.1 получают единичную эпюру "M 4", изображенную на рис. 6.16f .

Усложняется и процедура вычисления реакций линейных связей, на которые опираются наклонные стержни. Так, реакция r44 в рассматриваемом примере зависит не только от поперечных сил Q и Q1, которые можно установить по эпюре "M 4", но и от продольной силы N1 в наклонных стойках (рис. 6.16g). Силу N1 можно найти из условий равновесия узла 1: N1 = (Q1 sin α + Q2)/ cos α. Искомая реакция равна сумме проекций сил Q1, Q и N1 на горизонтальную ось:

r44 = 2Q1 cos α + Q + 2N1 sin α.

Из этих рассмотрений ясно, что находить реакции линейных связей при наличии у конструкции наклонных стержней кинематическим способом даже проще.

А теперь о локализации некоторых единичных состояний метода перемещений. Как правило, базис метода перемещений локален изначально и в каком-либо улучшении не нуждается. Но имеются и исключения из этого правила. На рис. 6.17a приведена основная система для расчета многоэтажной рамы (так называемой этажерки) и указаны эпюры единичных изгибающих моментов при смещении линейных связей. Эпюры "M 2" и "M 3", каждая из которых распространяется на два этажа, могут быть упрощены, если вместо исходных основных неизвестных Z2 и Z3 принять в качестве параметров состояния обобщенные перемещения Z2 и Z3, показанные на рис. 6.17b. Такой прием известен в строительной механике как переход к

групповым неизвестным.

При расчете методом перемещений, точно так же, как и при решении задачи методом сил, к полной ортогонализации базиса прибегают только