Основы механики твердого деформируемого тела

тогда как при расчете методом перемещений изгибающие моменты M i и M0 обусловлены кинематическим воздействием на статически неопределимую конструкцию – основную систему метода перемещений.

Остается выяснить, как получают единичные и грузовые эпюры обсуждаемого метода. Если конструкция состоит из призматических стержней, то задача решается сравнительно просто. Элементами основной системы являются защемленные с двух сторон брусья и брусья, защемленные с одной стороны и шарнирно опертые с другой. При воздействии Zi = 1 опоры таких элементов получают осадки в виде поворота заделок, если i-я наложенная связь относится к поворотным связям, или в виде линейного смещения, если связь i представляет собой опорный стержень. Таким образом, дело сводится к получению четырех стандартных решений – по два для каждого из стержней описанного типа. Эти решения могут быть найдены, например, методом начальных параметров (см. п. II.4.2), а затем сведены в таблицу типа табл. 6.1. Построение единичных эпюр "M i" или грузовой эпюры "M0" состоит в переносе табличных решений на те стержни основной системы, которые испытывают деформацию изгиба при воздействии Zi = 1 или заданном кинематическом воздействии соответственно. Через J в табл. 6.1 обозначена погонная жесткость стержня, т. е. отношение изгибной жесткости бруса к его длине.

Таблица 6.1

При построении единичных эпюр можно переходить к условным погонным жесткостям стержней. Погонную жесткость одного из элементов конструкции принимают равной единице или какому-либо иному числу, а затем соответствующим образом пересчитывают погонные жесткости остальных стержней. Но об этом в следующем пункте.

6.3. Формирование системы разрешающих уравнений задачи. На рис. 6.8a изображена рама, степень кинематической неопределимости кото-

рой равна пяти (подсчет числа n опущен). Конструкция испытывает кинематическое воздействие в виде горизонтального перемещения левой опоры. Рядом с каждым стержнем основной системы (рис. 6.8b) в прямоугольной рамке указана его приведенная погонная жесткость. При вычислении величин J было принято, что EI/l = 1, откуда следует, что EI = l. Теперь погонная жесткость, например, верхнего горизонтального стержня рамы может быть найдена следующим образом:

J = 6EI = 6 · l = 3. 2l 2l

Построение любой эпюры изгибающих моментов в основной системе сводится к выполнению двух рисунков. На первом из них указывается рассматриваемое кинематическое воздействие и изображаются искривленные состояния тех стержней основной системы, которые при данном воздействии

деформируются. Так, при вращении поворотной связи изгибаться будут только те стержни, которые непосредственно примыкают к смещаемому узлу. При перемещении линейной связи в движение приходит вся цепочка стержней, вдоль которой связь была поставлена, а потому изгибаться будут все элементы конструкции, отходящие от узлов этой цепочки. На втором рисунке изображается отвечающая рассматриваемому воздействию и полученной картине деформирования стержней эпюра изгибающих моментов. Именно так построены эпюры усилий M 1, . . . , M0, приведенные на рис. 6.9. Ординаты единичных эпюр взяты из таблицы 6.1 с учетом условных погонных жесткостей, указанных на основной системе. При построении эпюры "M0" берется реальная погонная жесткость стержня, иначе искомые изгибающие моменты нельзя будет найти по уже привычной формуле:

И в самом деле, при использовании приведенных погонных жесткостей ординаты эпюр "M i" будут искажены, что приведет к искажению коэффициентов (6.5), свободных членов (6.5a) системы канонических уравнений (6.4) и, как следствие, – значений основных неизвестных. Однако эти искажения компенсируют друг друга при вычислении произведений M iZi. Но изменение масштаба грузовой эпюры в формуле (6.6) нейтрализовать нечем.

Совокупность n усилий M i называют базисом метода перемещений. Все дальнейшие вычисления покоятся на этом базисе, поэтому перед тем, как к ним приступить, надо убедиться в правильности его построения. Следует проверить, что ординаты эпюр "M i" и "M0" в местах расположения шарни-

ров равны нулю, что эпюры действительно отложены со стороны растянутых волокон стержней и т. п. Если вращения Zi = 1 поворотных связей выполняются одинаково (например, по часовой стрелке), то одинаковыми будут и наклоны всех эпюр "M i" на одинаково ориентированных стержнях. При смещении линейной связи совпадают наклоны эпюр на всех стойках рамы в пределах одного этажа, причем на двух смежных этажах указанные наклоны противоположны.

На следующем этапе расчета вычисляются коэффициенты rik и свободные члены Ri0 системы канонических уравнений (6.4). Это можно сделать по формулам (6.5) и (6.5a). Так (см. рис. 6.9),

Такой способ получения реакций rik и Ri0 называют кинематическим, ибо вычисления внешне выглядят так же, как и при определении перемещений по формулам Мора. Можно находить величины rik и Ri0 и иначе.

результат такого воздействия представлен эпюрой "M k". Если связь i поворотная, то реактивный момент rik будет равен сумме ординат эпюры "M k" в том узле, на который связь i наложена. Слагаемые, образующие момент rik, положительны тогда, когда соответствующие им реактивные моменты направлены в ту же сторону, что и воздействие Zi = 1. Если связь i линейная, то ее реакция складывается из торцевых поперечных сил стержней, которые на эту связь опираются. В пределах каждого стержня эпюры "M j " и "M0" линейны, а потому поперечная сила на стержне постоянна и ее значение можно найти как тангенс угла наклона эпюры изгибающих моментов M k (или M0) на соответствующем участке. Реакция rik положительна, если ее направление совпадает с направлением смещения Zi = 1. В частности, всегда положительна так называемая собственная реакция rii > 0, т. е. реак-

ция, возникающая в связи от ее собственного перемещения (рис. 6.10). Это объясняется тем, что работа деформации внешних сил, равная потенциальной энергии деформации тела, не может быть отрицательной. Так как rii > 0, то знак величины rik всегда можно установить при сопоставлении направлений реакций rii и rik. Сказанное относится и к реакциям Ri0.

Описанный способ вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений метода перемещений называют статическим.

По изображенной на рис. 6.9 эпюре "M 1" видно (см. также рис. 6.8), что реактивный момент 1-й наложенной связи равен сумме двух ординат: 4 и 6. Так как реакция r11 собственная, то она положительна. Значит,

r11 = 4 + 6 = 10,

что совпадает с результатом, полученным ранее по формуле (6.5). На эпюре "M 2" в узле 1 от нуля отличается только одна ордината, отложенная в ту же сторону, что и ордината 4 на эпюре "M 1". Поэтому искомая реакция положительна и r12 = 2. Подсчет остальных реакций поворотных связей

Линейная связь с номером 4 служит опорой для обеих стоек второго этажа рамы. Реакция r4i этой связи складывается из поперечных сил, возникающих в стойках конструкции при воздействии Zi = 1. В частности (см.

Реакция r45 устанавливается по эпюре "M 5". Поскольку наклоны эпюр усилий M 5 и M 4 на рассматриваемых стойках различны, то

Стойки второго этажа рамы грузовой эпюрой не затрагиваются, поэтому

R40 = 0.

На 5-ю связь опираются все четыре стойки конструкции. По эпюре "M 5" видно, что

Наконец, при помощи эпюр усилий M0 и M 5 (последняя из них требуется для определения знака искомой реакции) находят реакцию R50 = 6EI∆/l3.

Проверка правильности вычисления величин rik и Ri0 осуществляется так же, как и при расчете методом сил. Прежде всего образуют суммарную единичную эпюру "M (S)", для чего складывают все единичные эпюры изгибающих моментов метода перемещений. Если вычисления выполнены правильно, будут выполняться равенства:

Указанные проверки особенно убедительны в случае, когда входящие под знаки сумм реакции rik и Ri0 находят статическим способом, а правые части приводимых соотношений получают путем перемножения эпюр.

6.4. Завершающие этапы расчета. Сформированную систему канонических уравнений метода перемещений можно решить (а затем и проверить решение) так, как об этом говорилось в п. 5.4.4. Нет ничего принципиально нового и в способах построения искомых эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил. А вот о проверке правильности построения эпюры "M " следует сказать особо.

Единичные и грузовые состояния метода перемещений удовлетворяют уравнениям равновесия основной системы, а именно: усилия в торцах стержней, примыкающих к некоторому узлу, уравновешиваются реакциями наложенных на этот узел поворотной и линейной связей. Но если отнести единичные и грузовые усилия к заданной конструкции, то равновесия узлов не

будет, ибо таковая дополнительно накладываемых связей не содержит. По указанной причине базис метода перемещений называют неуравновешенным. Что же касается искомых усилий M , то они-то условиям равновесия заданной конструкции удовлетворять обязаны. И если при сложении (n+1) неуравновешенных эпюр по формуле (6.6) получается уравновешенная эпю-

ра "M ", то имеются все основания считать вычисления, приведшие к такому результату, выполненными правильно. Другими словами, статическая проверка эпюры "M " при расчете методом перемещений является основной. Тем не менее, от кинематической проверки, проводимой при помощи суммарной единичной эпюры изгибающих моментов метода сил, отказываться не следует.

Эпюры "Q" и "N " получают по эпюре изгибающих моментов так же, как и при расчете методом сил. Перемещения любых сечений конструкции, обусловленные кинематическим воздействием, можно найти по формуле (5.25) либо при помощи приема, связанного со спецификой метода перемещений. Поскольку величины Zi являются узловыми перемещениями рассчитываемой конструкции, то после решения системы канонических уравнений становятся известными перемещения тех узлов, на которые

при назначении основной системы были наложены связи. Следовательно, если дополнительные связи поставить не только в узлах конструкции, но и в тех сечениях, перемещения которых надо найти, то цель будет достигнута еще на стадии решения системы канонических уравнений.

На рис. 6.11a изображена балка, защемленная опора которой поворачивается на заданный угол ϕ. Требуется найти прогиб сечения A балки, порожденный указанным воздействием. Эта задача была решена в п. 5.5, так что результат известен:

Ниже дается еще одно решение. В основной системе, показанной на рис. 6.11b, строятся единичные "M 1", "M 2" и грузовая "M0" эпюры (рис. 6.11c, d), а затем статическим способом вычисляются реакции:

r21Z1 + r22Z2 + R20 = 0

после подстановки в них значений реакций rij и Ri0 приводятся к виду:

Это совпадает с результатом (6.7).

Поставленная задача решена, но все же, ради иллюстрации технологии расчета в целом, вычисления будут продолжены. Из второго уравнения системы (6.8) видно, что

Таким будет угол поворота поперечного сечения A. Эпюра "M ", полученная по формуле

M = M0 + M 1Z1 + M 2Z2,

представлена на рис. 6.11e. Эту эпюру можно увидеть также в третьем столбце табл. 6.1.

6.5. Расчет на силовое воздействие. Данный расчет отличается от расчета на кинематическое воздействие лишь построением грузовой эпюры и вычислением свободных членов канонических уравнений. Для конструкций, состоящих из призматических стержней, эпюру "M0" получают

при помощи табл. 6.2. Содержащиеся в ней решения для брусьев двух типов можно найти, например, методом начальных параметров (см. в гл. II.4 рис. 4.1). В таблице приводятся все необходимые данные для вычисления реакций Ri0 статическим способом. Имеется возможность определить свободные члены Ri0 канонических уравнений и кинематическим способом, что важно при контроле вычислений.

Таблица 6.2

Реакцию Ri0, возникающую в наложенной связи i при заданном силовом воздействии, можно представить в виде:

Ri0 = ri0P0,

где P0 – обобщенная сила, характеризующая данное воздействие, а ri0 – реакция i-й связи, которая порождена силой P0 = 1. По теореме (II.9.10) взаимности единичных реакции и перемещения ri0 = −u0i, так что

Через u0i обозначено обобщенное перемещение, сопряженное с силой P0 и возникающее при смещении i-й наложенной связи на единицу (Zi = 1). Перемещения, обусловленные кинематическим воздействием, находят по формуле (5.25), значит,

Входящее сюда усилие M i отвечает кинематическому воздействию Zi = 1 на ту конструкцию, в которой ищется перемещение u0i, т. е. на основную систему метода перемещений. Стало быть, "M i" – обычная единичная эпюра этого метода. Эпюру "M сил0 " получают в любой статически определимой основной системе метода сил от нагрузки P0 = 1. При переходе от основной системы метода перемещений к основной системе метода сил все дополни-

тельно наложенные связи, в том числе и связь с номером i, будут устранены, а тогда (см. п. 5.5) U0силi = 0 и

Теперь равенству (6.9) можно придать вид:

Ri0 = −u0iP0 = −(M i, M сил0 P0).

Очевидно, M сил0 P0 = M0сил, где M0сил – изгибающие моменты, возникающие в основной системе метода сил от заданной нагрузки. Таким образом,

Формула для вычисления реакций наложенных связей от силового воздействия получена. Из нее и принципа наложения вытекает соотношение

i=1

которое как раз и используется для контроля правильности вычисления величин Ri0. Через M (S) в этом соотношении обозначены суммарные единичные усилия метода перемещений.

На рис. 6.12a изображена трижды кинематически неопределимая рама, расчет которой методом сил был выполнен в п. 5.4. Теперь имеется возможность решить задачу и методом перемещений. Основная система этого метода дана на рисунке 6.12b. Единичные и грузовые эпюры, построенные с помощью таблиц 6.1–6.2, приводятся на рис. 6.12c, f .

Несколько слов о грузовом состоянии основной системы. Узловые воздействия T и M воспринимаются непосредственно наложенными связями 3 и 2. Сосредоточенный момент M вызывает во 2-й связи реакцию, равную по величине значению этого момента и направленную ему навстречу. Такой реактивный момент противоположен перемещению Z2 (см. рис. 6.12b), а потому та часть реакции R20, которая уравновешивает воздействие M, отрицательна. Сила T передается на линейную связь через горизонтальные стержни рамы. Через них же доходит до связи 3 и определенная доля распределенной вдоль левой стойки рамы нагрузки. Составляющие Rq и RT реакции R30, обусловленные воздействиями q и T соответственно, показаны на рис. 6.12d. (Сопоставляя направления этих составляющих и перемещения Z3, можно установить знак реакции R30.) Таким образом,