Основы механики твердого деформируемого тела

5.9. Огибающие эпюры. Огибающие эпюры для статически определимых конструкций строились при помощи линий влияния. Однако при наличии лишних связей процедуры построения и загружения линий влияния громоздки и, когда это возможно, к указанным процедурам не обращаются. Дело в том, что для определения опасного положения неподвижной временной нагрузки достаточно знать точки, в которых линия влияния меняет знаки. Если такие точки могут быть установлены по модели линии влияния, то сами линии влияния уже не требуются. Так, по моделям линий влияния изгибающих моментов в неразрезной балке (рис. 5.30) видно, что если временная равномерно распределенная нагрузка попадает в своем опасном положении на какойлибо пролет, то она будет занимать этот пролет целиком. Стало быть, для построения огибающей эпюры изгибающих моментов достаточно поочередно разместить временную нагрузку в каждом пролете балки, определить усилия от всех таких загружений и, используя полученные результаты, вычислить расчетные значения изгибающих моментов в выделенных расчетных сечениях (см. приводимый ниже пример).

Описанный только что прием расчета конструкции на временную нагрузку прост в реализации, но, к сожалению, не всегда применим. Например, им нельзя воспользоваться при расчете бесшарнирной арки, ибо абсциссу x0 нулевой точки линии влияния изгибающего момента в произвольном сечении A конструкции (рис. 5.31) без вычислений не определить.

А теперь обещанный пример. Пусть четырехпролетная неразрезная балка испытывает действие постоянной нагрузки, показанной на рис. 5.29, а также временной неподвижной нагрузки интенсивностью p = 2q. Для построения огибающей эпюры изгибающих моментов требуется выполнить четыре расчета балки при поочередном размещении временной нагрузки в каждом из четырех пролетов и еще один расчет на действие постоянной нагрузки. Значения основных неизвестных при всех пяти воздействиях удобно получить при помощи матричной операции X = −D−1B, ибо матрица D−1 для рассматриваемой балки уже имеется (см. предыдущий пункт). Дело сводится

к заполнению матрицы B, состоящей из пяти столбцов. В первом столбце содержатся свободные члены U10C , U20C , U30C канонических уравнений при действии постоянной нагрузки, а в следующих четырех столбцах – перемещения U10(j), U20(j), U30(j), обусловленные действием временных нагрузок, расположенных в пролетах 1–4. Для вычисления величин Ui(0j) используются эпюры, приведенные на рис. 5.32. Очевидно,

Искомые эпюры изгибающих моментов приведены на рис. 5.34a. Кроме того, ординаты этих эпюр в серединах каждого пролета балки и над ее опорами даны в первых пяти строках таблицы 5.2. Указанные эпюры построены непосредственно по элементам матрицы X: ведь основные неизвестные Xi равны значениям изгибающих моментов в сечениях над промежуточными опорами балки. Таблица же нужна для того, чтобы было удобнее вычис-

лять ординаты огибающей эпюры. Максимальные значения изгибающих моментов получают, добавляя к усилию от постоянной нагрузки те усилия от различным образом расположенных временных нагрузок, которые имеют положительный знак. При вычислении ординат верхней ветви эпюры "Mог"к изгибающему моменту, порожденному постоянной нагрузкой, прибавляют отрицательные усилия от временных воздействий. Эпюра "Mог" дана на рис. 5.34b.

В рассматриваемом примере можно было бы воспользоваться симметрией конструкции и не выполнять вычисления, связанные с построением эпюр "M (3)"и "M (4)". Если это не было сделано, то только из-за желания продемонстрировать общий подход к решению задачи.

И в заключение следует обратить внимание на то, что значение изгибающего момента в сечении A балки от действия постоянной нагрузки (сечение 3 на рис. 5.34) получилось точно таким же, как и при загружении л. в. MA

вп. 5.8. Это видно по записи (5.42).

5.10.Об учете деформации сдвига при формировании системы канонических уравнений. Одной из важнейших частей расчета конструкций методом сил является вычисление коэффициентов и свободных членов ка-

нонических уравнений, т. е. перемещений uij и Ui0. Для этого использовался метод Мора как самый удобный инструмент определения перемещений

вмногостержневых конструкциях. Однако вопрос о том, всегда ли допустимо применять данный инструмент, оставался открытым. А этот вопрос далеко не праздный, ибо если при отыскании перемещений учитывается деформация сдвига, то результаты вычислений по формуле Мора и по формулам, следующим из дифференциального уравнения изогнутой оси бруса, зачастую оказываются различными (см. п. II.3.6, II.9.7). Стало быть, различными могут получаться и результаты расчета статически неопределимой конструкции. Приводимый ниже пример подтверждает сказанное.

На рис. 5.35a изображена однажды статически неопределимая балка, усилия и перемещения в которой были найдены в п. II.4.2 методом начальных параметров (см. рис. 4.5 на с. 201). Теперь имеется возможность сделать это методом сил. При основной системе, также приведенной на рис. 5.35a, получатся следующие значения перемещений u11 и U10 (несложные и ставшие привычными выкладки опускаются):

Эпюры усилий M = M0 + M1X1, Q = Q1X1 показаны на рис. 5.35b. Эти усилия, пусть и незначительно, отличаются от изгибающего момента и поперечной силы, полученных в п. II.4.2. Другими будут и прогибы в балке. Так (см. рис. 5.35b, c),

T l2(l2 −24B) v|x=l/2−0 = v|x=l/2+0 = (M, M c)+(Q, Qc) = 128(l2 + 3B)EIz ,

тогда как метод начальных параметров дает (как это и должно быть при учете влияния на перемещения деформации сдвига) разные значения для

величин v|x=l/2−0 и v|x=l/2+0 и оба эти значения отличаются от только что полученного (см. с. 202). Данное обстоятельство наводит на мысль, что

правильным является решение, найденное методом начальных параметров.

Однако отличие между найденными разными способами значениями изгибающих моментов в опасном сечении балки (т. е. в сечении x = l/2 + 0)

Отношение этой невязки к значению наибольшего изгибающего момента, полученному методом сил, таково:

∆M = 8B . M (l/2) 3l2

При B = h2/4, h/l = 0, 1 (эти значения взяты из п. II.3.6, с. 191)

∆M/M (l/2) = 2/300,

т. е. разница между сопоставляемыми усилиями меньше 0,7%. Следует также отметить, что при нагрузке, которая не содержит сосредоточенных моментов, усилия, полученные методом сил и методом начальных параметров, вообще не отличаются друг от друга.

ГЛАВА 6. ОСНОВЫ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

6.1. Кинематические параметры состояния стержневой конструкции. Как было показано в п. II.4.2, по заданной нагрузке и условиям закрепления концов призматического стержня можно найти в нем перемещения и усилия, т. е. полностью определить его состояние. В стержневых конструкциях брусья соединяются друг с другом в узлах, и если перемещения узлов определены, то известными можно считать и состояния всех элементов конструкции. Перемещение жесткого узла конструкции характеризуется тремя параметрами (рис. 6.1a, b), а шарнирного – двумя (рис. 6.1c): единого угла поворота у торцов стержней, примыкающих к шарниру, нет. Если

конструкция имеет KR неопорных жест-

ких узлов и H неопорных шарнирных узлов, то число n независимых кинематических параметров, характеризующих ее состояние, может быть найдено по формуле

Число n по аналогии с терминологией метода сил называют степенью кине-

матической неопределимости конструкции.

У изображенной на рис. 6.1a рамы KR = 1, H = 2, так что n = 7. Этот результат иллюстрирует рис. 6.1d, на котором узловые перемещения обозначены через Z1, . . . , Z7. Такое обозначение говорит о том, что величинам Zi отводится роль основных неизвестных задачи.

Зачастую в конструкциях с преобладающим изгибом влиянием осевой деформации и сдвигов на перемещения пренебрегают. Кроме того, если перемещения малы, нет смысла учитывать сближения концов стержней, обусловленные их изгибом (рис. 6.2). Принятие таких модели материала и характера деформирования тела накладывает

ограничения на линейные перемещения узлов конструкции. Так, теперь уже перемещения Z1, Z4 и Z7 рамы, изображенной на рис. 6.1d, придется признать равными между собой: ведь стержни считаются нерастяжимыми, а торцы каждого из них друг к другу при деформировании конструкции не

приближаются. По этим же причинам перемещения Z2 и Z6 надо считать нулевыми, а перемещение Z5 – пропорциональным перемещению Z4. Состояние рамы будет характеризоваться только двумя независимыми параметрами (рис. 6.3). В дальнейшем рассматриваются только такие конструкции, которые можно рассчитывать на основе сделанных выше допущений.

Степень кинематической неопределимости описанной конструкции находят по формуле (равенство (6.1) здесь непригодно)

Через nлин обозначено число независимых линей-

ных перемещений всех неопорных узлов конструкции. Это число называют также степенью линейной подвижности конструкции. По аналогии величину KR, равную числу поворотов всех неопорных жестких узлов, называют степенью поворотной подвижности конструкции. Чтобы найти величину nлин, образуют так называемую шарнирную схему конструкции. Для этого во все жесткие узлы сооружения, в том числе и в опорные, вводятся шарниры. Степени линейных подвижностей заданной конструкции и шарнирной схемы одинаковы, а для последней числа nлин и степени свободы совпадают:

Через K и C обозначены числа неопорных узлов и всех стержней шарнирной схемы (см. формулу (2.6a)).

Шарнирная схема рассматриваемой в предыдущих примерах рамы приведена на рис. 6.4a. У нее K = 3, C = 5 и по формуле (6.3)

nлин = 2 · 3 − 5 = 1.

Чтобы выяснить направления возможных линейных смещений узлов, надо на шарнирную схему наложить nлин связей так, чтобы она стала неизменяемой. Их (связей) ориентация и укажет на искомые направления линейных перемещений узлов конструкции. В рассматриваемой раме это –

общее горизонтальное перемещение узлов 1, 2, 3 (рис. 6.4b).

Для конструкции, осевой контур которой состоит из ортогональных друг к другу отрезков прямых, число nлин находят, расставляя на схеме конструкции стрелки по направлениям возможных перемещений узлов. Стрелки изображаются рядом с каждым незакрепленным узлом или частично при-

488 Часть IV

крепленным к земле узлом. Они направляются вдоль осей стержней двух взаимно ортогональных ориентаций. Перемещение по направлению некоторой цепочки вытянутых в одну линию стержней возможно лишь в случае, если рядом с каждым узлом цепочки имеется стрелка той же ориентации, что и у рассматриваемой линии. Если же около хотя бы одного из узлов цепочки такой стрелки не будет, то на схеме конструкции зачеркиваются и все остальные стрелки данного направления. Число линий, на которых стрелки не вычеркнуты, совпадает с искомым числом nлин, а сами эти ли-

нии указывают на возможные направления независимых линейных перемещений узлов.

Пример, который иллюстрирует сказанное, дается на рис. 6.5. Вертикальные стрелки вдоль осей левых стоек рамы зачеркнуты, так как не было вертикальной стрелки рядом с закрепленным опорным узлом A. По аналогичной причине зачеркивается единственная вертикальная стрелка, направленная вдоль правой стойки конструкции. Возможными остаются перемещения вдоль линий, отмеченных на рис. 6.5b под номерами 1–3. Таким образом, nлин = 3.

Пользоваться для определения числа nлин способом расстановки стрелок, а не равенством (6.3), следует не только потому, что такой способ проще. Более важно то, что с его помощью удается избежать ошибки, возможной при обращении к формуле (6.3). На рис. 6.6a, b изображены соответственно заданная конструкция и ее шарнирная схема. При k = 1, C = 2 равенство (6.3) дает nлин = 0. Однако на самом деле (см. рис. 6.6c) nлин = 1. Объясняется это противоречие просто: шарнирная схема рассматриваемой

конструкции изменяема при достаточном числе связей (в данном случае – мгновенно изменяема). Выше (см. главы 1–2) говорилось, что о степени свободы такой изменяемой системы судят по рангу rA ее уравнений равновесия. Так что, строго говоря, опираться при вычислении степени линейной подвижности конструкции надо не на

6.2. Основная система и разрешающие уравнения задачи в перемещениях. Основная система, т. е. вспомогательная конструкция, расчет которой может быть выполнен по известным правилам, назначается кинематически определимой. Так называют конструкцию, узловые перемещения

которой равны нулю. Для перехода к основной системе на заданную конструкцию накладывают n связей. Поворотные связи в количестве nпов = KR препятствуют вращению всех KR жестких узлов, а nлин линейных связей ограничивают перемещения геометрических центров абсолютно всех узлов конструкции. Накладываемые линейные связи изображаются на расчетной схеме сооружения в виде опорных стержней, а поворотные связи – в виде затушеванных прямоугольников (рис. 6.7a). Такое обозначение подчеркивает тот факт, что поворотная связь, в отличие от обычной заделки, препятствует лишь вращению узла, ничем не стесняя его линейных перемещений. Рядом с добавленными связями указываются направления узловых перемещений, которые могли реализоваться в конструкции до их (связей) постановки. Эти перемещения обозначаются через Zi, i = 1, 2, . . . , n.

Все жесткие узлы рамы, изображенной на рис. 6.7b , пронумерованы, так что nпов = 4. Число nлин = 3 было установлено выше (см. рис. 6.5a), и, согласно формуле (6.2), степень кинематической неопределимости рамы равна семи. Основная система имеет вид, представленный на рис. 6.7c.

После наложения всех n связей узлы конструкции лишаются какой бы то ни было подвижности, т. е. заданная конструкция превращается в набор стержней, которые объединены общими опорными устройствами.

Следует обратить внимание на то, что основная система метода перемещений единственна. Точнее,

единственным образом накладываются поворотные связи, тогда как линейные связи можно поставить в любом узле, принадлежащем цепочке стержней, вдоль которой вводится связь. Но при нерастяжимых стержнях точный адрес линейной связи на цепочке не важен. Поэтому говорят не о выборе, а о назначении основной системы метода перемещений.

При заданном внешнем воздействии и смещениях дополнительно наложенных связей в них возникнут реакции R1, . . . , Rn, которые можно найти при помощи принципа наложения. Например,

R1 = r11Z1 + r12Z2 + · · · + r1nZn + R10,

где r1j – реакция 1-й дополнительно введенной связи от смещения на единицу наложенной связи с номером j (т. е. от воздействия Zj = 1), а R10 – реакция 1-й наложенной связи от внешнего воздействия. О том, как находят реакции rij и Ri0, говорится ниже. В заданной конструкции связь, реакция R1 которой разыскивалась, отсутствует, а потому R1 = 0. По аналогичной

490 Часть IV

причине R2 = 0, · · · , Rn = 0. В развернутом виде эти равенства приобретают форму канонических уравнений метода перемещений:

К нулю в этих уравнениях приравниваются суммы узловых реакций, а потому они (уравнения) имеют смысл условий равновесия узлов рамы. Матрица системы (6.4) обладает симметрией, ибо по теореме взаимности единичных реакций rik = rki.

Можно показать, опираясь на теорему (II.9.2a), что реакция RA связи A конструкции, вызванная кинематическим воздействием, дается формулой

RA = (M, M A),

где M – изгибающие моменты от указанного воздействия, а M A – изгибающие моменты, порожденные перемещением на единицу связи, воспринимающей искомую реакцию RA. Для нахождения реакции rij нужно иметь единичные усилия M i и M j . Изгибающий момент M i обусловлен воздействием Zi = 1 при Zj = 0, j = 1, 2, . . . , n, j = i, т. е. при неподвижном положении всех дополнительно наложенных связей, кроме связи с номером i. Стало быть, усилия M i должны разыскиваться в основной системе метода перемещений. Их графики называют единичными эпюрами метода перемещений.

Итак,

Аналогично находят свободные члены системы (6.4), если воздействие на конструкцию является кинематическим:

Грузовая эпюра "M0" строится при всех Zi = 0, т. е. в основной системе метода перемещений.

Таким образом, формулы для вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений метода перемещений внешне не отличаются от соответствующих формул метода сил. Правда, при расчете методом сил усилия M i и M0 порождаются силовыми воздействиями и отыскиваются в статически определимой конструкции (основной системе метода сил),