Основы механики твердого деформируемого тела

Это и понятно: эпюры усилий M 1 и M 2, показанные на рис. 5.21c, взаимно ортогональны, т. е. их произведение равно нулю:

u12 = (M 1, M 2) = 0.

Использование ортогональных эпюр приводит к тому, что система канонических уравнений распадается на независимые уравнения. В данном примере это уравнения

u11X1 + U10 = 0, u22X2 + U20 = 0,

из которых сразу же могут быть получены значения основных неизвестных X1 и X2. Объем вычислений минимален, тогда как их точность максимально возможная, ибо отсутствует погрешность, связанная с исключением неизвестных при решении системы алгебраических уравнений.

Следующий пример. Портальная рама, изображенная на рис. 5.22a, обладает симметрией (считается, что стойки рамы имеют одинаковую изгибную жесткость). Симметричными являются и основная система A, показанная на рис. 5.22b, и первые две ее единичные эпюры изгибающих моментов. Что же касается эпюры "M 3", то она относится к классу обратносимметричных эпюр. Поэтому u13 = u23 = 0, но u12 = 0. Такие эпюры называют частично ортогональными. При частично ортогональных единичных состояниях основной системы канонические уравнения полностью не распадаются. В данном примере отделяется только третье уравнение:

Полученный результат не так уж и плох, но в данной задаче можно добиться и большего´. Для этого внутренние силы взаимодействия в месте разреза рамы надо привести к силам X1, X2 и X3, показанным на рис. 5.22c (о. с. B). В такой основной системе второе и третье единичные состояния будут такими же, что и в о. с. A, а усилие M 1 станет ортогональным и к

усилию M 2. Теперь

u12 = u13 = u23 = 0

и система канонических уравнений распадается на три самостоятельных уравнения.

Аналогичный прием используется и при расчете бесшарнирных арок (рис. 5.23a). Бесшарнирные арки часто применяются в большепролетных мостовых сооружениях. Чтобы уменьшить их собственный вес, поперечное сечение конструкции делают переменным, уменьшая его размеры от опор к замку. Мостовые арки – дорогостоящие конструкции, их проектируют весьма тщательно. В частности, при выполнении прочностного расчета учитывают влияние на перемещения не только изгибающего момента, но и поперечных и продольных сил. Если принять во внимание еще и нелинейность контура арки, то станет ясным, что расчет данной конструкции многотруден и по возможности его надо упрощать. Для этого как раз и используется ортогонализация всех единичных состояний основной системы.

Полная ортогонализация достигается назначением основной системы, показанной на рис. 5.23b, и специальным подбором расстояния a, на которое от центра тяжести замкового сечения переносится сила X2. По единичным эпюрам, приведенным на рис. 5.23b, видно, что

474 Часть IV

5.7.3. Использование симметрии конструкции. Совокупность единичных состояний метода сил называют базисом этого метода. Базисы, о которых шла речь в п. 5.7.1–5.7.2, именуются локальным и ортогональным соответственно. Построение последнего из них в общем случае связано с большим объемом вычислений, значительно превышающим тот, что необходим для решения задачи с первым попавшимся базисом, а потому к ортогонализации единичных эпюр прибегают лишь тогда, когда никакими другими средствами обеспечить требуемую точность расчета не удается. Однако частичную ортогонализацию базиса, основанную на взаимной ортогональности клас-

сов симметричных и обратносимметричных состояний основной системы, следует применять для любой симметричной конструкции.

Если конструкция симметрична, то любое воздействие на нее, в том числе и единичное, можно разбить на симметричную и обратносимметричную составляющие. На рис. 5.24b указаны такие составляющие для неравных в общем случае сил R1 и R2, приведенных на рис. 5.24a. Это составляющие X1 = (R1 + R2)/2 и X2 = (R1 − R2)/2. Используя данный прием, можно все основные неизвестные метода сил разбить на группы симметричных и обратносимметричных воздействий, вследствие чего отвечающие им единичные состояния основной системы будут взаимно ортогональными.

Рама, изображенная на рис. 5.25a, имеет четыре лишние связи. Разбиение реакций этих связей на симметричные X1, X2 и обратносимметричные

X3, X4 составляющие приведет к равенствам u13 = u14 = u23 = u24 = 0. В итоге система канонических уравнений четвертого порядка разобьется на

две подсистемы второго порядка каждая. Для конструкции, изображен-

ной на рис. 5.25b, возможно такое представление основных неизвестных, при котором первые четыре единичные состояния будут симметричными, а три последние – обратносимметричными. В результате вместо системы семи разрешающих уравнений получатся одна система четвертого порядка и одна система третьего порядка.

Из сказанного в настоящем пункте, в частности, следует, что при расчете симметричных конструкций и основную систему следует выбирать симметричной.

5.8. Линии влияния усилий. В статически неопределимых конструкциях нельзя построить линии влияния усилий, опираясь только на уравнения равновесия. Имеется еще одно усложнение по сравнению со статически определимым случаем: теперь все участки искомых линий влияния имеют нелинейное очертание.

Усилие SA, возникающее в сечении A при действии вертикальной единичной силы, положение которой на конструкции характеризуется параметром t, может быть найдено по формуле

SA(t) = S0A(t) + S1AX1(t) + · · · + SnAXn(t).

Через S0A(t) обозначено усилие, порождаемое воздействием P (t) = 1 в основной системе метода сил, а S1A, . . . , SnA – значения названного усилия от воздействий X1 = 1, . . . , Xn = 1 соответственно. Графики левой и правой частей любого равенства одинаковы, т. е.

Таким образом, для построения линии влияния усилия в статически неопределимой конструкции необходимо иметь линии влияния всех основных неизвестных. Составляющая л. в. S0A искомой линии влияния может быть получена по правилам, изложенным в главе 4.

Основные неизвестные определяются системой канонических уравнений

где D – матрица коэффициентов (единичных перемещений), а

– столбцы реакций лишних связей и свободных членов соответственно. Так как положение подвижной силы характеризуется параметром t, то зависят от этого параметра и перемещения U10, . . . , Un0. Следовательно, столбец B является функциональным. При вычислениях функциональные матрицы так или иначе заменяются на числовые. Например, загружаемую часть осевого контура конструкции можно разбить на участки и определять перемещения Ui0 при приложении единичной силы на границах участков. Пусть точек

Так как перемещений U00(1) и U40(4) при n = 3 быть не может, то матрица B , содержащая множители при функциях f1 и f2 на каждом из четырех пролетах балки, имеет вид:

Пусть не только изгибные жесткости EI стержней, но и их длины lj будут одинаковыми. Тогда b1 = · · · = b4 = = l2/(6EI) и

При lj = l (см. рис. 5.26)

u11 = (M 1, M 1) = 4l/(6EI), u12 = (M 1, M 2) = l/(6EI), u13 = 0,

u22 = u33 = u11, u23 = u12.

При матрице B , определяемой равенством (5.35), вычисления по формуле (5.32a) дают:

478 Часть IV

Теперь можно в явном виде записать уравнения линий влияния всех основных неизвестных. По данным первой строки матрицы X получают уравнения всех четырех участков л. в. X (номеру участка отвечает верхний индекс у символа X):

Уравнения л. в. X2 и л. в. X3 получают по второй и третьей строкам матрицы X .

По формулам (5.34) видно, что функции f1(τ ) и f2(τ ) по концам каждого стержня, т. е. при τ = 0 и τ = 1, обращаются в нуль. Поэтому при построении графиков зависимостей (5.37)

необходимо вычислять ординаты лишь в промежуточных точках каждого пролета. При выполнении таких вычислений удобно пользоваться заранее подготовленными таблицами (табл. 5.1). Линии влияния основных неизвестных рассматриваемой балки приведены на рис. 5.28a.

Имея линии влияния основных неизвестных, можно приступать к построению линий влияния любых усилий. Так, линия влияния изгибающего момента MA, действующего в середине второго пролета балки, определяется равенством (см. формулу (5.31) и эпюры "M i" на рис. 5.26):

1

л. в. MA = л. в. M0A + 2 (л. в. X1 + л. в. X2).

Линия влияния изгибающего момента в сечении A основной системы изображена на рис. 5.28b. Добавление к этому графику полусуммы л. в. X1 и л. в. X2 приводит к искомой линии влияния (рис. 5.28c). Можно указать и аналитические записи всех ветвей л. в. MA. Для этого надо воспользоваться первой из формул (4.5) и данными, содержащимися в двух первых строках матрицы (5.36):

Если нагрузки вертикальны, то по готовой линии влияния усилия можно найти его значение, воспользовавшись формулами (4.10)–(4.13). При учете равномерно распределенной нагрузки необходимо знать площадь загружаемого участка линии влияния. Пусть нагрузка занимает весь пролет балки, а уравнение л. в. SA на данном пролете имеет вид:

SA(j) = a(kj)fk(τ ). (5.39)

k=1,2,...

Искомая площадь ωA(j) равна интегралу от этой функции:

= (j) fk(τ )dt, dt = lj dτ.

k=1,2,... lj

Линии влияния усилий в неразрезной балке определяются двумя функциями (5.34), поэтому

Нетрудно найти и производную от функции (5.39) по параметру t, которую нужно знать при загружении линий влияния сосредоточенными моментами. Так как dt = ljdτ , то

Пусть в рассматриваемой балке требуется найти изгибающий момент от нагрузки, приведенной на рис. 5.29. Уравнения ветвей л. в. MA известны: они даются формулами (5.38). На первом пролете

a(1)1 = a(1)2 = −11l/112

и, согласно равенству (5.40),

Сосредоточенный момент приложен к концу четвертого пролета. В этом месте a(4)1 = 6l/112, a(4)2 = −3l/112 и в соответствии со второй из формул (5.41a)

tg α(4)(1) = −1123 .

Силе P = 2ql отвечает на л. в. MA ордината yA = 155l/896. Таким образом,

В заключение несколько слов о кинематическом способе построения линий влияния усилий в статически неопределимых конструкциях. Решение задачи начинается с устранения связи, воспринимающей искомое усилие SA. Далее по направлению удаленной связи задаются перемещением, которое приводит к изгибу конструкции. Изогнутые оси загружаемых стержней образуют линию, отличающуюся от л. в. SA только множителем. Полученная модель линии влияния состоит из нелинейных участков, а потому переход от м. л. в. SA к л. в. SA требует вычисления ординат в большом числе точек. Трудоемкость расчета здесь не меньше, чем при использовании аналитического метода. Но кинематический способ удобен для определения вида искомых линий влияния, а знать их форму полезно не только в целях зрительного контроля результатов вычислений. Ведь для того, чтобы указать опасное положение временной равномерно распределенной нагрузки на конструкции, зачастую достаточно одних лишь моделей линий влияния. Более подробно об этом говорится в следующем пункте.