Основы механики твердого деформируемого тела

силовым воздействием. Перемещение же от силового воздействия вычисляется по формуле Мора:

Здесь M – изгибающий момент от сил X1, . . . , Xn. Он определяется равенством (5.16). Изгибающий момент M Aсил отыскивается в основной системе от воздействия PA = 1, прикладываемого по направлению искомого перемещения.

Второе слагаемое в формуле (5.17) представляет собой перемещение основной системы, возникающее от заданных осадок Uj ее опор (рис. 5.16d). Его находят из геометрических рассмотрений либо по формуле, аналогичной равенству (5.13):

Реакция rjA связи j основной системы вызывается воздействием PA = 1. Таким образом (см. формулы (5.17)–(5.19)),

На равенстве (5.20a) основана кинематическая проверка эпюры "M ". Поскольку перемещение по направлению устраняемой связи должно равняться

Второе слагаемое в правой части последнего равенства равно перемещению Ui0 (см. зависимость (5.13)), а усилие M силi есть не что иное, как единичный изгибающий момент M i. Стало быть,

Все эти n равенств можно сложить:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов от отдельных слагаемых, поэтому

n

(M, M i) = (M, M (S))

i=1

Если при вычислении произведения (M, M (S)) используются коэффициенты податливости αj = EI0/EIj, то равенство (5.21) заменяется соотноше-

Завершает рассказ о расчете статически неопределимых конструкций на кинематическое воздействие следующий пример. На рис. 5.17a изображена балка, правая опора которой испытывает поворот на угол ϕ. Требуется найти вызываемые этим воздействием усилия и прогиб в середине пролета. Балка имеет только одну лишнюю связь, а потому и условие совместности перемещений только одно:

В основной системе, показанной на рис. 5.17b, связей, испытывающих смещения, нет, так что U10 = 0. По рис. 5.17a, b видно, что

В этом случае из уравнения (5.22) следует

Эпю ра изгибаю щих моментов M = M1X1 приведена на рис. 5.17c. Эпюру поперечных сил изображать нет смысла, ибо она имеет вид прямоугольника с

ординатой 3EIϕ/l2.

Для определения перемещения UA надо приложить в основной системе вертикальную силу PA = 1 и построить эпюру "M силA ". Результаты указанных действий представлены на рис. 5.17d. В основной системе нет связи, получившей смещение, поэтому UAсил = 0. Стало быть (см. формулу (5.20)),

Интересно оценить величину угла поворота ϕ, при котором наибольшие нормальные напряжения в балке становятся равными допускаемым. Пусть поперечное сечение бруса имеет горизонтальную ось симметрии и потому

При max σx = [σ] отсюда следует

ϕ= 2 [σ] l .

3 E h

Для металлических балок [σ]/E ≈10−3, l/h ≈ 10, так что ϕ ≈ 10−2 радиан. Другими словами, предельно допустим поворот фундамента балки, примерно, на 40 минут. Это говорит о том, что кинематическое воздействие на конструкцию может быть опасным. Имеется немало примеров того, как здания и сооружения получали большие повреждения и даже разрушались в результате неравномерных осадок фундаментов. Усилия в статически неопределимых конструкциях, возникающие при кинематическом воздействии, пропорциональны изгибным жесткостям их элементов, что видно и по рис. 5.17c. Вот почему обычно жесткость сооружений стремятся понизить, устраивая, например, противоосадочные швы.

5.6. Расчет на тепловое воздействие. Задача состоит в отыскании усилий и перемещений в статически неопределимой конструкции при изменении температуры окружающей среды. Канонические уравнения метода сил этой задачи записываются в форме (5.2), но только теперь свободные члены имеют смысл перемещений основной системы, вызываемых температурным, а не силовым, воздействием. Если температура меняется по поперечным сечениям стержней линейно и находится в пределах, позволяющих считать физические свойства материала неизменными, то перемещения Ui0 могут быть найдены по формулам, приведенным в п. II.9.8. В частности, при призматических стержнях с поперечными сечениями, высоты hj которых делятся центральными осями ozj пополам,

Через αj и lj обозначены коэффициент теплового расширения материала, из которого изготовлен стержень с номером j, и его длина. Средняя температура крайних волокон j-го стержня и разница между их температурами обозначаются через Tср.j и ∆Tj соответственно. Наконец, N ij и ωij – единичная продольная сила и площадь эпюры изгибающих моментов M i на стержне j. Из сказанного следует, что при расчете конструкции на изменение температуры в основной системе обязательно должны быть найдены единичные продольные силы, т. е. кроме эпюр "M i" нужно строить и эпюры "N i". Поскольку в формулу (5.23) не входят изгибные жесткости стержней, то в случае, когда при вычислении единичных перемещений uij используются коэффициенты податливости, канонические уравнения записываются следующим образом:

Для построения эпюры искомых изгибающих моментов используется та же формула (5.16), что и при расчете на кинематическое воздействие: ведь и изменение температуры не вызывает усилий в статически определимой основной системе, т. е. M0 = 0. Да и формула для перемещений конструкции внешне не отличается от равенства (5.20), предназначенного для вычисления смещений фиксированных сечений сооружения при осадке его опор:

И в самом деле, к этому результату можно прийти при помощи тех же рассуждений, что привели в предыдущем пункте к равенству (5.20). Но теперь перемещение UAсил порождается изменением температуры, а не осадкой опор, и для его определения должна использоваться формула

Через N силAj и ωсилAj обозначены продольная сила и площадь эпюры изгибающих моментов M силA , которые построены на стержне j от силы PA = 1. Это воздействие прикладывается по направлению искомого перемещения в любой основной системе метода сил.

Для кинематической проверки эпюры изгибающих моментов используется равенство

которое вытекает из формулы (5.25). Для обоснования сказанного можно использовать те же доводы, что приводились при выводе соотношения (5.21). Если интеграл (M, M (S)) вычисляется с привлечением коэффициентов податливостей стержней конструкции, то формулу (5.27) нужно изменить:

Последовательность вычислений при расчете на тепловое воздействие демонстрирует следующий пример. На рис. 5.18a изображена рама, которая в свое время была рассчитана на силовое воздействие (см. п. 5.4). Теперь конструкция подвергается воздействию, состоящему в указанном на рис. 5.18a изменении температуры окружающей эту конструкцию среды. Коэффициенты канонических уравнений были найдены в п. 5.4.3, так что для формирования системы (5.24) достаточно вычислить лишь свободные члены Ui0. Для этого в той же самой основной системе, которая использовалась раньше, надо построить единичные эпюры продольных сил. Для удобства дальнейших вычислений на рис. 5.18a и e заново изображены основная система и единичные эпюры изгибающих моментов (см. также рис. 5.9–5.11). Кроме того, на рис. 5.18e приведены дополнительно построенные эпюры "N i"и "N (S)".

Пусть конструкция удовлетворяет всем требованиям, позволяющим при вычислении перемещений Ui0 пользоваться формулой (5.23). Для более удобного обращения к этой формуле целесообразно представить температурное воздействие в виде суперпозиции средних температур Tср крайних волокон стержней и перепада ∆T температур названных волокон, как это показано на рис. 5.18c, d. Разность температур записывается со стороны тех волокон, где температура выше. Пусть материал всех стержней конструкции одинаков, т. е. αj = α = const, а высоты поперечных сечений элементов рамы в 20 раз меньше их длин.

Техника использования формулы (5.26) такова. Сначала записываются все слагаемые, связанные с осевой деформацией стержней (в нижеприводимых записях они заключены в первую пару квадратных скобок), а затем

– слагаемые, сопряженные с деформацией изгиба. Запись слагаемых осуществляется в порядке нумерации стержней. Значения средних температур и продольных сил берутся со своими знаками. Знаки слагаемых, связанных с изгибной деформацией, устанавливаются следующим образом. Если численное значение температуры на схеме воздействия ∆T и ординаты эпюры "M i" отложены с одной и той же стороны стержня с номером j, то соответствующий член в формуле (5.26) принимается положительным. Остальное ясно из приводимых ниже подсчетов.

3

Ui0 = (448+481+283)αl = 1212αl.

i=1

Для проверки вычислений нужны эпюры усилий M (S) и N (S), приведенные на рис. 5.18e. С их помощью находят суммарное перемещение

Так как U (S) = U10 +U20 +U30, то свободные члены канонических уравнений вычислены правильно.

Далее коэффициенты uij, установленные в п. 5.4.3, и только что вычисленные перемещения Ui0 подставляются в систему (5.24). После деления обеих частей получившихся равенств на 4l3 и использования обозначения

B = αEI0/l2

разрешающие уравнения задачи примут вид:

X3 = −197625B/386.

Искомая эпюра изгибающих моментов и все ее составляющие, которые используются при построении этой эпюры по фор-

муле M = M 1X1+M 2X2+M 3X3, представлены на рис. 5.19. Кинематическая проверка полученной эпюры ради краткости не приводится. Она сводится к вычислениям по формуле (5.20a), т. е. к выполнению уже знакомых операций. Нет нужды тратить время и на построение эпюр "Q" и "N ".

Любопытен следующий результат найденного решения: растянутыми оказались менее нагретые волокна стержней рассчитанной рамы (см. эпюру "M " на рис. 5.19 и схему температурного воздействия ∆T на рис. 5.18c). Данный эффект наблюдается при расчете на изменение температуры всех статически неопределимых стержневых конструкций. Исключения возможны лишь на небольших участках осевого контура (в рассматриваемом примере – на нижней части стержня с номером 4). Все дело в том, что элементы статически неопределимой стержневой конструкции деформируются не только от изменения температуры окружающей среды, но и от вызванных таким изменением реакций лишних связей. Влияние последних на харак-

тер деформирования оказывается более значительным. Нечто подобное наблюдается при повышении температуры жидкости или газа, заключенных в сферической или цилиндрической емкости: более растянутыми оказываются менее нагретые внешние слои сосуда.

Ординаты эпюр усилий, возникающих в статически неопределимой конструкции при изменении температуры, как и в случае кинематического воздействия, прямо пропорциональны изгибной жесткости EI. Стало быть, чем выше жесткость конструкции, тем опаснее будет ее состояние при одном и том же тепловом воздействии. В рассматриваемой раме наибольшие напряжения изгиба возникают в правом торцевом сечении стержня с номером 2. При h = 2l/20 = l/10, W = 4I/0, 5h = 80I/l

Для стали α = 1, 3 · 10−5 1/град, E = 2, 1 · 106 кГ/см2 и

max σx = 1583, 4 кГ/см2.

Эти напряжения почти равны допускаемым, а ведь при их вычислении не учитывалась продольная сила. Это означает, что прочность рассматриваемой конструкции будет исчерпана при одном лишь температурном воздействии. То, что изменение температуры может привести к большим напряжениям и деформациям, инженерам известно. Чтобы уменьшить неблагоприятные последствия температурного воздействия на конструкцию, прибегают к теплоизоляции ее элементов, устройству температурных компенсаторов на трубопроводах и температурных швов в зданиях и сооружениях.

5.7. О рациональной основной системе. Как говорилось в п. 5.4.1, существует множество основных систем, пригодных для расчета конкретной статически неопределимой конструкции методом сил, а значит, существует и проблема выбора лучшей основной системы. Данное понятие относительно. Для начинающего изучать методы прочностных расчетов лучше та основная система, в которой проще строятся эпюры усилий, т. е. консольная, а опытный специалист отдаст предпочтение основной системе, обеспечивающей высокую точность вычислений при наименьшем их объеме. Такие основные системы называют рациональными. О рациональных основных системах и пойдет речь в настоящем параграфе.

5.7.1. Локальные эпюры усилий. На рис. 5.20a изображена неразрезная балка, имеющая четыре лишние связи. Для расчета балки предлагается использовать либо основную систему A (рис. 5.20b), либо основную систему B (рис. 5.20c). Под каждой основной системой показаны единичные и грузо-

вая эпюры изгибающих моментов, причем единичные эпюры, компактности ради, построены на одной общей базе, т. е. совмещены.

Можно показать, что второй вариант во всех отношениях предпочтительнее. Так, при построении эпюр в основной системе A требуется вычислить 16 ординат на эпюрах усилий M 1–M 4 и еще 7 ординат на эпюре "M0" (см. рис. 5.20b), чему должно предшествовать определение опорных реакций. В основной системе B любые эпюры строятся гораздо проще, а вычислить (по известным формулам) придется всего две ординаты эпюры "M0". Тот, кто выберет о. с. A, затратит много труда на вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений. Ведь любой из интегралов (M i, M k) и (M i, M0) должен браться на всех пяти участках балки, т. е. в суммах (5.5a) не выпадет ни одно из слагаемых. Кроме того, ни один из 10 вычисляемых интегралов (учитывается, что uij = uji) не обращается в нуль. Если же выбрать о. с. B, то при вычислении величин uii и Ui0 в формулах (5.5a) ненулевыми останутся только два слагаемых, а при подсчете коэффициентов uik – одно слагаемое для случая k = i+1 и ни одного слагаемого для k > i+1. Единичные эпюры "M i" и "M k" при k > i+1 оказываются ортогональными, ибо они расположены на разных участках основной системы B.

Из сказанного выше ясно, что матрицы DA и DB коэффициентов разрешающих уравнений задачи, соответствующие сопоставляемым вариантам основной системы, имеют вид:

Матрица DB является трехленточной, т. е. разреженной, тогда как матрица DA заполнена целиком. Объем вычислений при решении системы алгебраических уравнений с ленточной матрицей существенно меньше, чем с заполненной. Не менее важно и следующее отличие между матрицами DA и DB. Судя по эпюрам "M i", изображенным на рис. 20b, интегралы (M i, M k) близки друг к другу по величине, а потому близки по величине диагональные uii и внедиагональные (побочные) uik элементы матрицы DA. Наоборот, диагональные элементы матрицы DB, по крайней мере, вдвое больше ее побочных элементов. О таких матрицах говорят, что они имеют диагональное преобладание. Из вычислительной математики известно, что решение системы линейных алгебраических уравнений с матрицей, которой присуще диагональное преобладание, может быть получено с высокой точностью, тогда как при отсутствии такового точность решения системы гарантировать нельзя. Качественное объяснение этому факту дается в п. 8.3.

Наконец, о построении эпюры изгибающих моментов по формуле

При основной системе A надо все ординаты эпюр "M i" в точках, где расположены опоры балки, умножить на полученные значения основных неизвестных, а затем сложить результаты друг с другом и с соответствующими ординатами эпюры "M0". При выборе о. с. B никаких арифметических действий, связанных с использованием формулы (5.28), выполнять не приходится (операция 1 · Xi, конечно же, не в счет).

Преимущества основной системы B на всех этапах расчета конструкции объясняются тем, что единичные и грузовые состояния основной системы локальны. Локальными называют усилия и перемещения, которые распространяются не на весь осевой контур конструкции. Как будет показано в главе 8, локальные единичные и грузовые эпюры метода сил могут быть получены сравнительно просто для любых стержневых конструкций.

5.7.2. Ортогональные единичные эпюры. Имеется еще один класс единичных эпюр, использование которых ведет к повышению точности расчета, а в ряде случаев – и к уменьшению объема вычислений. На рис. 5.21a изображена дважды статически неопределимая рама, а на рис. 5.21b, c приведены две ее основные системы. Эти основные системы отличаются друг от друга только способом разложения реакции шарнирной опоры на составляющие X1 и X2. Но если более привычный способ приводит к каноническим уравнениям с заполненной матрицей, то при выборе основной системы B матрица канонических уравнений будет диагональной: