Основы механики твердого деформируемого тела

5.4.3. Формирование канонических уравнений. На этом этапе расчета вычисляются единичные коэффициенты uij и свободные члены Ui0 разрешающих уравнений задачи. Если конструкцию можно разбить на C призматических элементов, в пределах которых единичные эпюры линейны, то интегралы вычисляются по формуле (II.6.11):

Через ωij, Ω0j обозначены площади единичной "M i" и грузовой "M0" эпюр изгибающих моментов на участке с номером j, а через mkj – ордината эпюры "M k", отвечающая положению центра тяжести той эпюры, площадь которой вычисляется.

Умножение каждой из формул (5.5) на одно и то же число на решении системы канонических уравнений (5.2) не скажется. Этим можно воспользоваться для того, чтобы сделать процедуру вычисления коэффициентов и свободных членов разрешающих уравнений менее громоздкой. Подбирается такое число EI0, чтобы порядок отношений

был близок к единице, а затем на EI0 умножаются все уравнения системы (5.2). Этот множитель присоединяется к коэффициентам и свободным членам канонических уравнений, т. е. вводится под знаки сумм перемещений (5.5). В результате равенства (5.5) заменятся формулами:

Отношения (5.6) называют коэффициентами податливости элементов конструкции. Для удобства вычислений по формулам (5.5a) значения коэффициентов податливости указываются на основной системе рядом с соответствующими стержнями. Основную систему с приводимыми на ней числами αj называют схемой податливости конструкции.

Из возможности замены перемещений (5.5) на приведенные перемещения (5.5a) следует, в частности, что результаты расчета статически неопределимой конструкции на силовое воздействие зависят не от самих изгибных жесткостей стержней, а от их отношений между собой. Схема податливости для рас-

сматриваемой рамы дана на рис. 5.10. Коэффициенты αj, полученные в пред-

452 Часть IV

положении, что EI0 = 4EI, помещены в прямоугольные рамки. При вычислениях по формулам (5.5a) используются эта схема и приведенные на рис. 5.9 эпюры усилий. Итак,

Для проверки правильности вычисления величин uij и Ui0 образуют так называемую суммарную единичную эпюру изгибающих моментов:

M (S) = M 1 + M 2 + · · · + M n.

Затем вычисляются интегралы:

(M (S), M (S)) = (M 1 + M 2 + · · · + M n, M 1 + M 2 + · · · + M n) =

=(M 1, M 1) + · · · + (M n, M n) + 2(M 1, M n) + · · · + 2(M n−1, M n) =

=u11 + · · · + unn + 2u12 + · · · + 2un−1,n,

(M (S), M0) = (M 1 + M 2 + · · · + M n, M0) =

=(M 1, M0) + · · · + (M n, M0) = U10 + · · · + Un0.

Сучетом взаимности единичных перемещений (uij = uji) отсюда следует: сумма всех коэффициентов канонических уравнений должна равняться

произведению суммарной единичной эпюры самой на себя, а сумма всех свободных членов названных уравнений – произведению суммарной единичной эпюры на грузовую эпюру. Таким образом, проверка правильности вычисления величин uji и Ui0 сводится к проверке соблюдения равенств:

Для рассматриваемой рамы эпюра

M (S) = M 1 + M 2 + M 3

приведена на рис. 5.11 (см. также рис. 5.9). Можно проверить (выкладки, проводимые с помощью рис. 5.9–5.11, опущены), что

(M (S), M (S)) = 14l3, (M (S), M0) = −5ql4.

С другой стороны,

Равенства (5.7) соблюдаются.

5.4.4. Решение системы канонических уравнений. Имеется множество способов решения системы линейных алгебраических уравнений. При вычислениях вручную удобен метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса). Чтобы убедиться в правильности решения, результат подставляют в так называемое суммарное уравнение, которое получается при сложении всех уравнений системы.

В рассматриваемом примере при подстановке перемещений uik и Ui0 в уравнения

u11X1 + u12X2 + u13X3 + U10 = 0,

u21X1 + u22X2 + u23X3 + U20 = 0,

u31X1 + u32X2 + u33X3 + U30 = 0

Под чертой записано суммарное уравнение. И ему, и каждому из канонических уравнений в отдельности удовлетворяет решение (приводимое без связанных с его получением выкладок):

5.4.5. Эпюра изгибающих моментов. С учетом обозначения

M (S) = M 1X1 + · · · + M nXn

формулу для искомого усилия M можно записать компактно:

Слагаемое M (S) представляет собой долю изгибающего момента, обусловленную реакциями лишних связей. В правильности вычислений по формуле (5.8) убеждаются, выполнив статическую и кинематическую проверки эпюры "M ". Первая из них сводится к контролю равновесия узлов конструкции по изгибающим моментам. Однако такой контроль позволяет выявить лишь самые грубые арифметические ошибки, ибо единичные и грузовые эпюры удовлетворяют условиям равновесия как основной системы, так и заданной конструкции. Ясно, что при аккуратном сложении уравновешенных эпюр неуравновешенная эпюра получиться не может. Однако равновесие узлов заданной конструкции не нарушится и в том случае, когда единичные эпюры умножаются на несоответствующие им значения основных неизвестных, а затем складываются. Именно по этой причине при расчете конструкций методом сил основной является кинематическая проверка эпюры "M ". В ходе такой проверки убеждаются, что перемещения по направлениям лишних связей действительно отсутствуют:

Эпюры "Mi" и "Mk" называются взаимно ортогональными, если порождаемый ими интеграл (Mi, Mk) равен нулю. Равенство (5.9) означает, что правильно построенная эпюра изгибающих моментов является ортогональной к любой единичной эпюре метода сил. Но тогда эпюра "M " ортогональна и к суммарной единичной эпюре:

Таким образом, если изгибающие моменты в рассматриваемой конструкции найдены верно, произведение эпюры "M (S)", отвечающей реакциям лишних связей, на суммарную единичную эпюру будет равняться сумме свободных членов канонических уравнений с обратным знаком.

Равенство (5.10) представляет собой иную форму записи кинематической проверки (5.9a). Эта форма удобнее, ибо при использовании соотношения (5.10) не приходится перемножать нелинейные эпюры.

показываются положительными. Отделять стержни от конструкции можно в любой последовательности, тогда как вырезание узлов надо вести в таком порядке, чтобы к узлу было приложено не более двух неизвестных сил. Техника вычислений ясна из рис. 5.13, на котором приведены решения для одного из стержней и одного из узлов рассматриваемой рамы. По эпюрам "Q", "N " и "M " видны все опорные реакции конструкции. Их вместе с приложенной нагрузкой показывают на расчетной схеме конструкции, после чего выполняют заключительную статическую проверку расчета. В ходе этой проверки убеждаются, что соблюдаются все независимые условия равновесия конструкции в целом, например, условия ΣX = 0, ΣY = 0 и ΣM0 = 0 (см. рис. 5.13f ).

5.4.7. Перемещения фиксированных сечений. Перемещения отдельных сечений конструкции находят для того, чтобы проверить, не превосходят ли их значения величин, допускаемых нормами проектирования сооружений. Перемещения, обусловленные силовым воздействием, вычисляются по формуле

где M и M A – изгибающие моменты, которые возникают в рассматриваемой конструкции от заданной нагрузки и единичной силы PA = 1, прикладываемой по направлению искомого перемещения. Усилия M и M A надо находить в заданной статически неопределимой конструкции, что делает вычисления, связанные с использованием формулы (5.11), громоздкими. Поэтому целесообразно воспользоваться ортогональностью эпюры "M " к любой единичной эпюре метода сил и преобразовать формулу (5.11) к более удобному для проведения вычислений виду.

Так как

M A = M 1X1 + · · · + M nXn + M силA ,

где M силA – изгибающие моменты от воздействия PA = 1 в любой выбранной для расчета основной системе метода сил, то (см. равенство (5.11))

UA = (M, M A) = (M, M 1X1 + · · · + M nXn + M силA ) = (M, M 1X1)+

· · · + (M, M nXn) + (M, M силA ) = (M, M 1)X1 + · · · + (M, M силA ).

Все слагаемые здесь, кроме последнего, согласно равенствам (5.9), обращаются в нуль. Поэтому

Таким образом, отыскивая перемещения сооружения при силовом воздействии, одну из двух перемножаемых эпюр можно строить в любой основной системе метода сил рассматриваемой конструкции, а не в ней самой. Этот

результат легко объясним. При нахождении реакций лишних связей выдвигалось требование эквивалентности конструкции и ее основной системы, т. е. тождественности их напряженно-деформированных состояний. Поэтому после того, как к основной системе, помимо заданной нагрузки, будут приложены найденные реакции лишних связей, становится безразличным, в какой из двух тождественных конструкций искать усилия и перемещения.

Пусть требуется определить прогиб в середине второго пролета рамы (сечение C на рис. 5.14a), расчет которой был завершен в п. 5.4.6. Для построения эпюры "M сил" выбирается основная система, изображенная на

C сил

рис. 5.14b. В такой основной системе эпюра "M C " получается наиболее компактной (не выходит за пределы одного стержня) и для определения перемещения UC достаточно перемножить эпюры, показанные на рис. 5.14c (см. также рис. 5.12b). После разбиения эпюры "M " на два треугольника так, как это показано на рис. 5.14d, выполняются ставшие уже привычными

5.5. Расчет на кинематическое воздействие. Как известно, в статически неопределимых конструкциях усилия возникают и от кинематического воздействия, в частности, от осадок опорных устройств. Канонические уравнения при расчете на указанное воздействие записываются несколько иначе, чем соотношения (5.2), ибо перемещения по направлениям некоторых (или даже всех) устраняемых при выборе основной системы лишних связей могут не равняться нулю:

Через обозначены задаваемые перемещения лишних связей. Они берут-

Ui

ся положительными, если направлены в те же стороны, что и отвечающие им силы Xi. Под Ui0 понимаются перемещения по направлениям устраненных связей, которые возникают от заданного кинематического воздействия в основной системе. Если основная система статически определима, то перемещения Ui0 можно найти из геометрических рассмотрений либо по формуле типа (II.9.23):

Здесь m – общее число связей основной системы, получающих смещения Uj , а rji – реакции этих связей от воздействия Xi = 1. Величины Uj ,

j = 1, 2, . . . , m, отличаются от перемещений Ui тем, что последние сопрясистемы устраняемыми, тогда как

жены со связями, при выборе основной

перемещения Uj относятся к связям, которые в основной системе сохранены. Если в основной системе не будет смещаемых связей, то все перемещения Ui0 окажутся равными нулю.

На рис. 5.15a изображена конструкция, у которой сразу две опоры испытывают подвижку на известные расстояния 2∆ и ∆. Для расчета конструкции выбрана основная система, приведенная на рис. 5.15b, т. е. смещаемый опорный стержень B устранен, а поднимающая-

ся вверх опора A в основной системе осталась. Непосредственно по рисункам 5.15a и 5.15b видно, что

По воздействию Uj = 2∆ на основную систему находят перемещения Ui0 (см. рис. 5.15c):

U10 = 0, U20 = 2∆, U30 = 2∆. (5.15)

Подстановка величин (5.14) и (5.15) в уравнения (5.12) при n = 3 и последующее приведение подобных членов дают: