Основы механики твердого деформируемого тела

Функция St меняется при возрастании параметра t скачками. Ее изменения происходят тогда, когда какая-либо из рассматриваемых сил проходит над вершиной линии влияния, т. е. слагаемое Pj перемещается из суммы P лев в сумму P пр. При одном из таких переходов производная St сменит знак, что и будет свидетельствовать о достижении максимума усилия S. Силу Pj , при которой происходит смена знака производной (4.18a), называют расчетной. Ее можно представить в виде суммы двух сил Pjлев и Pjпр, бесконечно близко расположенных друг к другу (рис. 4.21) и подобранных так, чтобы производная (4.18a) в точности обращалась в нуль. Пусть R – равнодействующая заданной нагрузки: R = P1 +P2 + . . . +Pn, а

При помощи формулы (4.19) и находят расчетную силу Pj . Для этого последовательно составляют суммы

R1 = P1, R2 = R1 + P2, R3 = R2 + P3

и т. д., которые сравнивают с величиною (4.19). Наименьший индекс j, при котором выполняется неравенство Rj ≥X, и укажет на расчетную силу.

Для линии влияния усилия S и нагрузки, показанных на рис. 4.22, т. е. в случае a = 6, L = 15, R = 6P , формула (4.19) дает X = 2, 4 P . Так как

R1 = P < X, R2 = 2P < X, R3 = 3P > X,

расчетной является третья из заданной системы сил. На рис. 4.22 эта сила изображена над вершиной линии влияния. Таким образом,

max S = P · 2, 4 + P · 3 + P · 3, 6 + 3P · 3, 2 = 18, 6P.

Пусть расстояние между двумя последними силами равно не одной, а десяти единицам. Это изменение не отразится ни на значении величины X, ни на квалификации силы P3 как расчетной. Однако в опасном положении нагрузка P4 = 3P выйдет за пределы конструкции. Силу P4 надо отбросить и повторить вычисления с учетом только трех первых сил. В этом случае

R = 3P, X = 1, 2P, R1 = P < X, R2 = 2P > X.

Расчетной оказалась сила P2, причем max S = 9, 8P.

ГЛАВА 5. ОСНОВЫ МЕТОДА СИЛ

5.1. Введение. В статически неопределимой задаче матрица A условий равновесия конструкции имеет больше столбцов, чем строк. Другими словами, число искомых усилий превышает число уравнений равновесия. Если ранг матрицы A максимален, то разность между указанными выше числами равна числу лишних связей конструкции, т. е. степени ее статической неопределимости (см. п. 1.3–1.4). Полную систему уравнений задачи можно свести к разрешающим уравнениям, так или иначе исключив часть неизвестных. Оставшиеся искомые параметры состояния конструкции называют основными неизвестными. В зависимости от их физического смысла говорят о решении задачи методом сил, методом перемещений или смешанным методом. Разрешающие уравнения любого из названных методов необязательно получать путем формальных преобразований полной системы уравнений задачи. Это можно сделать и иначе, что видно из следующего примера.

На рис. 5.1a изображена плоская статически неопределимая рама, имеющая две лишние связи. И в самом деле, для нее можно составить три независимых уравнения равновесия, а искомых опорных реакций пять. Если освободить раму от лишних связей, например, так, как это показано на рис. 5.1b, получится статически определимая конструкция, загруженная не только заданным воздействием, но и пока неизвестными реакциями X1 и X2 двух отброшенных связей. Эту

новую конструкцию называют основной системой (о. с.). Такое название объясняется тем, что все вычислительные операции, связанные с решением задачи о напряженно-деформированном состоянии заданной конструкции, выполняются при помощи вновь образованной вспомогательной конструкции. Последняя статически определима и правила ее расчета известны. В частности, перемещения U1 и U2 основной системы, сопряженные с силами X1 и X2, могут быть найдены по формулам (принцип наложения):

Обозначения здесь привычные, а именно (см. п. II.9.4): uij – перемещение по направлению устраненной связи с номером i от действия единичной силы, приложенной по направлению устраненной связи j, т. е. от нагружения Xj = 1. Эти единичные перемещения могут быть найдены по формуле (II.9.18d): uij = (M i, M j), в которой через M i и M j обозначены изгибающие моменты, возникающие в основной системе от воздействий Xi = 1 и Xj = 1 соответственно. Перемещение Ui0 по направлению устраненной связи с номером i обусловлено заданной нагрузкой. Оно вычисляется по формуле Мора Ui0 = (M i, M0) после того, как в основной системе будет найдено усилие M0 от того же самого внешнего воздействия, что приложено и к исходной конструкции.

Чтобы состояния рассматриваемой конструкции и основной системы были эквивалентными, т. е. чтобы в них действовали одинаковые усилия и реализовались одинаковые перемещения, надо приравнять к нулю перемещения U1 и U2, ибо в заданной раме по направлению указанных смещений расположены связи. Стало быть (см. формулы (5.1)),

Эти два условия совместности перемещений однозначно определяют значения реакций X1 и X2 лишних связей, зная которые нетрудно довести решение задачи до конца.

Необходимые для вычисления величин uij и Ui0 эпюры усилий M 1, M 2 и M0 приведены на рис. 5.1c. Согласно правилу (II.6.11) перемножения эпюр,

Полученные перемещения подставляются в систему (5.1a):

Так как усилия M 1 и M 2 от действия сил X1 = 1 и X2 = 1, а также усилие M0 от заданной нагрузки известны, изгибающие моменты M в рассматриваемой конструкции могут быть найдены при помощи принципа наложения:

M = M0 + M 1X1 + M 2X2.

Результаты вычислений представлены на рис. 5.2a. Эпюры "Q" и "N " (см. рис. 5.2b) в данной задаче проще всего построить методом сечений, ибо реакции R4 = X1 и R5 = X2 уже найдены. Наконец, по эпюрам "M ", "Q" и "N " устанавливаются реакции R1, R2 и R3, показанные на рис. 5.2c.

Описанный здесь способ решения статически неопределимой задачи в силах называют расчетом конструкции методом сил. Этот способ нетрудно обобщить на случай любого числа лишних связей, что и будет сделано в следующем пункте. Можно напомнить, что в п. 1.4 разрешающие уравнения задачи расчета шарнирно-стержневой системы в силах предлагалось получать при помощи фундаментальной матрицы для условий равновесия конструкции, т. е. чисто формальным путем.

5.2. Конструкции с произвольным конечным числом лишних связей.

Пусть конструкция имеет n лишних связей. При выборе основной системы метода сил эти связи удаляются и по их направлениям прикладываются искомые реакции X1, . . . , Xn, называемые основными неизвестными метода сил. Условия совместности перемещений заданной конструкции и основной

строить, а искомые усилия Q и N находить по предварительно вычисленным изгибающим моментам. О том, как это делается, рассказывается в п. 5.4. Но еще до обсуждения техники вычислений следует рассмотреть вопрос о том, как по расчетной схеме конструкции устанавливают степень

еестатической неопределимости.

5.3.Степень статической неопределимости конструкции. Это понятие было введено в п. 1.4 как число уравнений, добавляемых к условиям равновесия конструкции для того, чтобы можно было найти все разыскиваемые усилия. Степень статической неопределимости сооружения, равная числу n его лишних связей, в плоской задаче зачастую устанавливается по формуле

Через KL обозначено число замкнутых контуров конструкции, а через H – количество шарниров. Равенство (5.4) учитывает, что каждый замкнутый контур плоской конструкции (рис. 5.3a) имеет три лишние связи, а постановка в любое место осевого контура шарнира эквивалентна устранению одной связи (рис. 5.3b). При подсчете числа H надо помнить о кратных шарнирах – таких, как шарнир A на рис. 5.4b, а подвижные опоры (типа

опоры B на рис. 5.4b) интерпретировать как части контура, ограниченные с обеих сторон шарнирами. Иногда границу основания сооружения изображают в виде непрерывной незамкнутой линии, как это сделано на втором из рис. 5.4c. Такой прием позволяет избежать ошибки при определении числа KL.

Однако и при правильно найденных числах KL и H формула (5.4) может привести к неверным результатам. Так, изменяемая конструкция, изображенная на рис. 2.13 (см. также второй из рис. 2.12), имеет достаточное число связей, а потому среди них имеются лишние связи. Если же верить формуле (5.4), то лишних связей у рассматривае-

мой балки нет: n = 3KL −H = 3 · 2 −6 = 0. Этот пример иллюстрирует тот факт, что

определять по формуле (5.4) число лишних связей изменяемой конструкции нельзя. Нового в сказанном ничего нет. Еще в п. 1.4 степень статической неопределимости шарнирно-стержневой конструкции в случае, когда ее неизменяемость неочевидна, предлагалось находить не по формуле

(1.9), аналогичной по своей сути равенству (5.4), а при помощи соотношения (1.9a), апеллирующего к рангу rA матрицы условий равновесия этой конструкции. Для плоской стержневой конструкции общего вида, содержащей C +2H связей, аналогом соотношения (1.9a) является формула

Уравнения равновесия балки, изображенной на рис. 2.13, можно составить так, что их матрица A будет иметь вид (опорные реакции проецируются на горизонтальную и вертикальную оси и берется момент реактивных сил относительно центра балки):

Ранг данной матрицы равен 2, и при C = 3, H = 0 формула (5.4a) дает: n = C −rA = 3−2 = 1. Этот результат верен.

Понятно, что пользоваться формулой (5.4a) для подсчета числа лишних связей конструкции не так удобно, как формулой (5.4): далеко не всегда ранг матрицы уравнений равновесия можно найти столь же просто, как и в только что рассмотренном примере. А потому обращаться к соотношению (5.4a) следует лишь тогда, когда конструкция изменяема. Установить же кинематический тип конструкции с избыточным числом связей можно при помощи любого из предложенных в п. 3.5 способов.

Аккуратность при использовании формул (5.4) и (5.4a) требуется еще по одной причине. Дело в том, что гарантировать линейную независимость уравнений (5.2), а значит, и их разрешимость, можно лишь тогда, когда при вычислении коэффициентов uij учитываются по меньшей мере изгибная и осевая податливости стержней конструкции. Совпадения же числа канонических уравнений с количеством лишних связей сооружения оказывается недостаточным.

На рис. 5.5a изображена защемленная с двух сторон балка, имеющая три лишние связи, а на рис. 5.5b приведена одна из возможных при ее расчете основных систем. В данной основной системе воздействие X3 = 1 приводит к усилиям N 3 = 1, M 3 = 0, Q3 = 0. Нагружения X1 = 1 и X2 = 1 продольных сил не порождают, а потому вычисления по формулам (5.3) дают:

u13 = u23 = 0, u33 = l/EF.

Через l и EF соответственно обозначены пролет балки и ее осевая жесткость. Матрица D канонических уравнений задачи имеет строение:

Если пренебречь осевой деформацией бруса, т. е. положить EF = ∞, то перемещение u33 обратится в нуль и матрица D станет вырожденной. При силовом воздействии, ортогональном к оси балки, решение задачи удается довести до конца даже при вырожденной матрице единичных коэффициентов. И в самом деле, в рассматриваемом случае N0 = 0, а потому в нуль обратится и свободный член U30 последнего канонического уравнения. Ясно, что уравнение, имеющее вид тождества 0 = 0, может быть отброшено, после чего оставшиеся два уравнения решаются без труда.

Если же U30 = (N 3, N0) = 0, приходится вычислять коэффициенты uij с учетом осевой податливости стержня либо менять расчетную схему конструкции. Ведь если стержень принимается нерастяжимым, то нет смысла на уровне расчетной схемы закреплять брус от горизонтальных перемещений одновременно в точках A и B. В этом случае вместо конструкции,

изображенной на рис. 5.5a, следует рассматривать балку, показанную на рис. 5.5c. Для такой балки n = 2.

В рассмотренном примере противоречие между начальной расчетной схемой (рис. 5.5a) и моделью материала (EF = ∞) обнаруживается с первого взгляда. Но точно такое же противоречие для конструкции, изображенной на рис. 5.6, не столь очевидно. Установить же тот факт, что при желании рассчитать конструкцию с нерастяжимыми стержнями необходимо перейти к другой расчетной схеме (например, той, что приведена на рис. 5.6b), можно лишь после вычисления ранга rD матрицы канонических уравне-

ний. Оказывается, что при исходной расчетной схеме rD = 3 < n = 4, тогда как для новой конструкции (рис. 5.6b) rD = n = 3.

После всего сказанного может сложиться впечатление, что модель нерастяжимого стержня лучше при расчете статически неопределимых конструкций не использовать. Однако это не так. Во-первых, такая модель заметно уменьшает объем вычислений, практически не отражаясь на их точности, и, во-вторых, при расчете строительных конструкций указанные выше осложнения встречаются не так уж и часто. А если они и встретятся, то дадут о себе знать при попытке решить систему канонических уравнений и тем самым будут обнаружены.

5.4. Вычислительная процедура метода сил. Задача состоит в построении эпюр усилий и нахождении перемещений указанных сечений конструкции по заданным размерам тела, условиям его закрепления и нагрузке. Даже при сравнительно невысокой степени статической неопределимости конструкции ее расчет многоделен, а потому его проводят так, чтобы возможные ошибки устранялись там же, где они были допущены, а не по окончании всех вычислений. Для этого расчет разбивается на ряд этапов и после того, как вычисления на том или ином этапе завершаются, осуществляется их контроль.

5.4.1. Выбор основной системы. Если заданная конструкция неизменяема и rD = n, то число лишних связей можно найти по формуле (5.4). Затем в конструкции надо удалить n связей так, чтобы получилась статически определимая неизменяемая подконструкция (основная система). И если для ее образования действительно понадобилось убрать то же самое число связей, что дала формула (5.4), то степень статической неопределимости установлена правильно. (Случай, когда для определения числа n надо вычислять ранг матрицы D, здесь не рассматривается.)

Устранить лишние связи конструкции можно множеством способов, но любая из получившихся основных систем будет принадлежать одному из трех классов. Это классы консольных, балочных и арочных основных систем. Для портальной рамы (см.

рис. 5.3a) основные системы, представляющие все указанные классы, приведены на рис. 5.7a, b, c соответственно. Любая из изображенных на рис. 5.7 основных систем пригодна для дальнейших вычислений, но, делая выбор, надо иметь в виду, что объем и точность всех последующих операций этим выбором как раз и определяются.

Более детально данная проблема обсуждается позже, а пока можно отметить, что для построения единичных и грузовых эпюр наиболее удобна консольная основная система, ибо усилия в ней можно найти, не определяя предварительно опорные реакции.

Для рамы, изображенной на рис. 5.8a,

KL = 2, H = 3; n = 3KL −H = 3 · 2−3 = 3.

Если в раме удалить три связи так, как это показано на рис. 5.8b, то получится статически определимая неизменяемая подконструкция. Такая подконструкция может быть взята в качестве основной системы (консольный вариант) для расчета рассматриваемой рамы методом сил.

5.4.2. Построение единичных и грузовых эпюр. Изучается случай, когда влиянием сдвигов и осевой деформации стержней на перемещения uij и Ui0 можно пренебречь, а потому строить эпюры поперечных и продольных сил в основной системе необязательно. Эпюры изгибающих моментов получают по известным правилам расчета статически определимых конструкций на фиксированные силовые воздействия. Ниже приводятся некоторые рекомендации по организации вычислений.

Построение каждой из эпюр сводится к выполнению двух рисунков. На первом из них изображается основная система, загруженная только тем воздействием, от которого строится эпюра. Тут же показываются все опорные реакции, вне зависимости от того, надо будет их вычислять перед построением эпюры или нет. На втором рисунке изображается сама эпюра изгибающих моментов. В консольной основной системе реакции опор не находят вообще, а в балочной или арочной – определяют только те опорные реакции, которые безусловно необходимы для вычисления ординат получаемой эпюры. Контроль правильности построения сводится к зрительной проверке соответствия нагрузки и способов закрепления стержней внешнему виду эпюр. Так, ординаты эпюр изгибающих моментов в местах расположения шарниров и на свободных торцах стержней должны равняться нулю. По направлениям сосредоточенных сил на эпюрах должны наблюдаться переломы, а в местах приложения сосредоточенных моментов – разрывы первого рода. Ординаты всех эпюр изгибающих моментов должны быть отложены со стороны растянутых волокон стержней и т. п.

Построенные с учетом этих рекомендаций эпюры "M i" и "M0" для рассматриваемой рамы приведены на рис. 5.9.