Основы механики твердого деформируемого тела

Готовая линия влияния усилия Qk приведена на последнем из рис. 4.10c. Вкратце об остальных линиях влияния, представленных на рис. 4.10.

Прежде всего следует обратить внимание на то, что при постановке в сечение B шарниров, которые устраняют связи, воспринимающие изгибающий момент и поперечные силы слева и справа от сечения, опорный стержень остается на месте. В самом сечении B поперечная сила не определена, чем

и объясняется необходимость построения двух линий влияния: л. в. QлевB и л. в. QпрB . Второй из этих графиков приводится на рисунке 4.10f без вспомогательных построений.

4.6. Правила использования линий влияния. Формулируемые ниже положения известны также как правила загружения линий влияния.

4.6.1. Учет действия фиксированных сосредоточенных сил. Пусть конструкция загружена вертикальными сосредоточенными силами P1, . . . , Pn, точки приложения которых известны. Требуется, опираясь только на л. в. S, найти усилие S, обусловленное этим воздействием. Из определения линии влияния и принципа наложения следует:

i=1

(ведь yi – значение усилия S при Pi = 1, i = 1, 2, . . . , n). Таким образом, в случае действия вертикальных сосредоточенных сил усилие S можно найти при помощи л. в. S как сумму произведений значений отдельных сил на ординаты л. в. S, отвечающие точкам их (сил) приложения.

4.6.2. Учет распределенной нагрузки. Пусть теперь к конструкции прикладывается вертикальная распределенная нагрузка интенсивностью q(t). Требуется вычислить порождаемое ею усилие S при помощи л. в. S.

Рассматриваемое воздействие можно свести к множеству сосредоточенных сил Pi = qdt (рис. 4.11) и найти величину S по формуле (4.9):

→∞

i=1

ω – площадь участка линии влияния усилия S, отвечающего заданному распределенному воздействию.

К конструкции может быть приложено несколько различных равномерно распределенных нагрузок, например, n. Тогда

i=1

Следовательно, в случае действия вертикальных равномерно распределенных нагрузок заданных интенсивностей q1, . . . , qn усилие S можно найти при помощи л. в. S как сумму произведений величин q1, . . . , qn на площади тех участков л. в. S, которые отвечают указанным нагрузкам.

4.6.3. Учет моментной нагрузки. Сосредоточенный момент M, прикладываемый к конструкции, можно заменить парой сил (рис. 4.12a, b), что позволяет при вычислении усилия S воспользоваться

формулой (4.9):

S ≈ −M∆t · y + M∆t · (y + ∆y) = M · ∆∆yt .

Первое слагаемое справа взято со знаком минус потому, что левая из сил M/∆t направлена вверх, тогда как линии влияния строятся от силы, направленной вертикально вниз. Предельный переход в записанной выше формуле дает:

S = lim (M ∆y ) = My .

∆t→0 ∆t

Через y обозначена производная от функции S(t) по координате t. Так как y = tg α (см. рис. 4.12b), то окончательно

i=1

Таким образом, при приложении нескольких сосредоточенных моментов усилие S можно найти как сумму произведений величин этих моментов на тангенсы углов наклона касательных к л. в. S в точках, где сосредоточенные моменты приложены.

Кроме этих правил, при работе с линиями влияния можно опираться на ряд их свойств, о которых рассказывается ниже.

4.6.4. Свойство прямолинейного участка линии влияния. Если функция y(t) линейная, то интеграл (4.10) может быть вычислен при помощи рис. 4.13 и формулы (II.6.11), т. е.

S = Ω · yC.

Площадь Ω эпюры нагрузки q(t) равна равнодействующей R этой нагрузки, а величина yC является ординатой л. в. S в точке, через которую сила R проходит. Сказанное

означает, что результат вычисления усилия S при помощи прямолинейной л. в. S не изменится, если распределенную по любому закону вертикальную нагрузку заменить ее равнодействующей. Очевидно, что таким же свойством обладает любая система вертикальных сил, а потому в общем случае обсуждаемое свойство формулируется следующим образом: на прямолинейном участке линии влияния любую вертикальную нагрузку можно заменять равнодействующей.

Для отрезка прямой tg α = const и (см. формулу (4.12a))

n

M = ( Mi) · tg α,

i=1

т. е. сосредоточенные моменты можно заменять их суммой.

4.6.5. Линии влияния при узловой передаче нагрузки. Довольно часто нагрузка передается на несущую часть конструкции через вспомогательные устройства, расположенные в строго определенных местах сооружения. Именно так прикладывается нагрузка к фермам, аркам с надарочным строением (рис. 4.14a), к некоторым другим конструкциям. Задача состоит в формулировке правил построения линий влияния при описанном способе приложения активных сил.

Пусть единичная сила находится на вспомогательной части сооружения между узлами 1 и 2 (см. верхний из рис. 4.14b). На его основную часть эта сила передается в виде воздействий P1 и P2, равных опорным реакциям балки 1–2. После приложения нагрузки к основной части конструкции ее вспомогательные части можно отбросить и перейти тем самым к задаче вычисления усилия Sk по л. в. Sk , построенной в предположении, что единичная сила перемещается прямо по основной части сооружения. Согласно

Это есть уравнение прямой, которая проходит через точки a1 и a2 л. в. Sk . Таким образом, к искомой л. в. Sk (рис. 4.14c) можно прийти, если:

–построить л. в. Sk усилия Sk , считая, что единичная сила перемещается непосредственно по основной части конструкции;

–смежные ординаты л. в. Sk , отвечающие местам передачи нагрузки на основную часть сооружения (узлам), соединить прямыми линиями.

4.6.6. Линии влияния реакций необходимой и лишней связей. При построении линий влияния кинематическим способом устраняются связи, воспринимающие искомые усилия. Пусть связь относится к необходимым, т. е. ее удаление обращает конструкцию в механизм. Возможные перемещения звеньев механизма отображаются на эпюре "uP(t)" прямыми линиями, следовательно,

линии влияния реакций необходимых связей имеют кусочно-линейное очертание.

При устранении лишней связи конструкция новых степеней свободы не приобретет. Возможные перемещения неизменяемой конструкции обязательно приведут в этом случае к деформированию ее элементов, а потому картина возможных перемещений загружаемой части осевого контура конструкции окажется кусочно-нелинейной. Значит, линии влияния реакций лишних связей состоят из участков кривых линий.

4.6.7. Пример использования формул загружения линий влияния. На рис. 4.15a показана загруженная постоянной нагрузкой многопролетная балка. Требуется посроить эпюру изгибающих моментов от указанного воздействия. Ниже демонстрируется способ решения задачи, основанный на использовании линий влияния.

Решение начинается с выделения расчетных сечений: на рис. 4.15a они нумеруются от 1 до 5. Затем для изгибающих моментов в расчетных сечениях строятся линии влияния. После всего сказанного о способах построения линий влияния усилий в п. 4.4–4.5 вычисления, связанные с получением л. в. Mi, можно не приводить, а указать лишь окончательные результаты. Они и даны на рис. 4.15b, причем рядом с каждой линией влияния приводятся значения площадей ее положительных и отрицательных участков. Эта

информация понадобится ниже.

Подготовительная работа завершена, и теперь можно перейти к вычислениям по формулам (4.9), (4.11a) и (4.12). Правда, предварительно надо уточнить, как будет подсчитываться усилие M1. Дело в том, что из-за наличия внешнего воздействия M = 2qa2 усилие M1 не определено. Здесь имеются значения M1лев и M1пр искомого усилия, причем разница между ними в точности равна величине M. Это позволяет ограничиться вычислением, скажем, изгибающего момента только слева от сечения 1, а для определения величины M1пр воспользоваться формулой M1пр = M1лев +2qa2.

При вычислении изгибающего момента M1лев его линия влияния строится для сечения x−0 (см. точку 1−0 на рис. 4.15c), а тогда воздействие M окажется справа от вершины треугольника. Это важно, поскольку только на основе данного рассуждения можно установить, что при вычислении усилия M1лев по формуле (4.12) нужно брать тангенс угла наклона правой ветви линии влияния. Рис. 4.15c помогает также определить знак произведения M tg α: момент M заменяется парой сил, и так как |P1| = P2, y1 > y2, то |P1y1| > P2y2. Стало быть, знак произведения M tg α равен знаку произведения P1y1. В данном случае M tg α < 0.

Остается выполнить вычисления. В приводимых ниже формулах квадратные скобки используются для того, чтобы отделить друг от друга слагаемые,

Построенная по точкам эпюра ”M ” дана на рис. 4.15d.

Хотя линии влияния и освобождают от необходимости определять опорные реакции перед построением эпюр усилий, они редко используются при расчетах на фиксированные воздействия. Другое дело, когда помимо постоянных сил к конструкции прикладываются и временные нагрузки. При учете последних без линий влияния, как правило, не обойтись, а уж если все нужные линии влияния построены, то не воспользоваться ими для определения усилий и от постоянной нагрузки было бы неразумно.

4.7. Учет неподвижной временной нагрузки. Речь идет о нагрузке, которая хотя и меняется со временем, но все же, заняв какую-либо часть конструкции, остается на ней сравнительно долго. Сюда можно отнести вес снега, вес содержимого складских помещений и т. п. Нормами проектирования сооружений устанавливаются интенсивности временных нагрузок, но не места их приложения к конструкции. Задача инженера, выполняющего расчет, как раз и состоит в том, чтобы найти наиболее опасные положения временной нагрузки. Ниже рассматривается важный для приложений случай, когда временная нагрузка является равномерно распределенной.

Пусть линия влияния усилия Sk известна. Задана также и интенсивность p равномерно распределенной временной нагрузки. Само изображение

этой нагрузки на рис. 4.16a подчеркивает тот факт, что ее расположение на конструкции может быть каким угодно. Согласно формуле (4.11),

где ωk – площадь загружаемых участков линии влияния усилия Sk . Следовательно, величина |Sk | достигает наибольшего значения тогда, когда максимальным будет множитель |ωk | в формуле (4.13). А это может произойти либо в том случае, когда временная нагрузка находится только над всеми положительными участками л. в. Sk , либо – только над всеми отрицательными участками этой линии влияния (см. рис. 4.16b). Пусть отвечающие указанным нагружениям площади л. в. Sk равны положительным величинам ωk+ и ωk− соответственно и

Sk+ = p ωk+, Sk− = −p ωk−.

Пусть, далее, Sk0 – значение усилия Sk при действии постоянной нагрузки. Очевидно, что за пределы значений

min Sk = Sk0 − p ωk−, max Sk = Sk0 + p ωk+ (4.14)

расчетное усилие Sk не выйдет ни при каком расположении временной нагрузки на конструкции.

Если расчетные значения (4.14) всех расчетных усилий известны, то по точкам min Sk и max Sk можно будет построить обе ветви так называемой огибающей эпюры усилия S. Нечто подобное делалось в п. 1.5, где рассказывалось о расчете на временные нагрузки шарнирно-стержневых конструкций.

Пусть изображенная на рис. 4.15a балка испытывает действия не только постоянной, но и временной равномерно распределенной нагрузки интенсивностью p = 2q. Поскольку известны и значения Mi0 изгибающих моментов в сечениях 1–5 от постоянной нагрузки, и площади ωi+, ωi− положительных и отрицательных участков л. в. Mi (см. п. 4.6.7, рис. 4.15), то для построения огибающей эпюры ”Mог” достаточно лишь выполнить вычисления по формулам (4.14). Результаты вычислений представлены в таблице 4.1. Сама огибающая эпюра приводится на рис. 4.17.

Там, где ветви огибающей имеют одинаковые знаки, меньшие по модулю ординаты соединяются штриховыми линиями.

4.8. Учет подвижной временной нагрузки. К подвижной нагрузке относят вес любого подвижного состава. Нормами проектирования задаются значения нагрузок, габариты транспортных средств и минимально возможные расстояния между следующими друг за другом экипажами. Расположить же подвижный состав самым невыгодным образом должен специалист, выполняющий расчет.

Одна из возможных постановок задачи расчета конструкции на подвижную нагрузку такова. Пусть на сооружении (рис. 4.18) находятся n равномерно распределенных нагрузок c одинаковыми интенсивностью q и протяженностью l. Известны также наименьшее расстояние a, на которое могут сблизиться смежные нагрузки, и

длина L загружаемой части конструкции. Пусть t1, . . . , tn – параметры, характеризующие положение нагрузок на участке [0, L]. Тогда

где ωi = ωi(ti) – площадь того участка линии влияния усилия Sk , который отвечает нагрузке с номером i. Параметры ti связаны неравенствами вида:

Крайние из этих ограничений обеспечивают расположение всех n нагрузок на конструкции, а при выполнении остальных неравенств экипажи не бу-

дут наезжать друг на друга. Задача состоит в отыскании таких значений параметров ti, при которых усилие (4.15) максимально и все условия (4.16) выполняются. Это есть задача на условный экстремум функции многих переменных. Она решается численно средствами математического программирования. Еще более сложны исследования опасных загружений конструкции в случаях, когда экипажи имеют различные веса и порядок их следования заранее не определен. Однако важно то, что имеются и простые задачи, допускающие аналитические решения. При первом знакомстве с предметом они представляют наибольший интерес.

В частности, не слишком сложно установить опасное положение системы равномерно распределенных подвижных нагрузок q1, . . . , qn в случае, когда расстояния между ними фиксированы. Для такого воздействия

n−1

t1 = t, t2 = t + l1 + a2, . . . , tn = t + (li + ai+1),

i=1

где t – расстояние от начала координат до начала первой нагрузки, ai – заданное расстояние от конца нагрузки с номером i −1 до начала нагрузки с номером i, li – протяженность нагрузки с интенсивностью qi. Если обозначить

i−1

bi = (lj + aj+1),

j=1

то, опираясь на формулу (4.7), можно представить искомое усилие S в виде

nt+bi+li

S(t) = qi y dx. (4.17)

i=1 t+bi

Функция S(t) непрерывна по своему аргументу, поэтому для отыскания максимального значения усилия S можно приравнять к нулю производную St. При вычислении производной используется правило дифференцирования определенного интеграла по параметру, от которого зависят его пределы. Об этом правиле шла речь в п. II.3.2 при выводе формулы для горизонтальных составляющих изгибных касательных напряжений в массивных брусьях. Итак,

где yi2, yi1 – значения ординат л. в. S в точках x = t + bi + li и x = t + bi, т. е. в конце и в начале нагрузки с номером i. Приравнивание производной

т. е. в опасном положении система равномерно распределенных нагрузок располагается на сооружении так, что сумма ординат линии влияния усилия S под началами всех нагрузок равняется сумме ординат л. в. S под их концами.

На рис. 4.19 приведен пример использования только что доказанной теоремы для определения опасного положения единичного гусеничного экипажа при загружении треугольной линии влияния.

Надо сказать, что задача опасного загружения треугольных линий влияния актуальна для многих видов подвижной нагрузки, ибо именно из треугольников состоят линии влияния усилий в статически определимых конструкциях. Сюда можно отнести и задачу о максимальном значении усилия S при действии на конструкцию системы связанных между собой сосредоточенных сил (рис. 4.20). Известными считаются силы Pi, их число n, а также расстояния между силами. Положение нагрузки на конструкции характеризуется параметром t.

Пусть нагрузка размещена так, что часть сил находится слева от вершины треугольной линии влияния усилия S. Тогда

S = Pi yi + Pi yi,

лев пр

Производные (yi)t на левой и правой ветвях линии влияния различны: слева от вершины треугольника yi = tg α = c/a, а справа от нее yi = tg β = −c/b. Следовательно,

где P лев и P пр – суммы сил, находящихся соответственно слева и справа от вершины л. в. S.