Основы механики твердого деформируемого тела

Так как стержень 1 заканчивается шарниром, изгибающий момент M12 равняется нулю. В конце стержня 2, т. е. там, где расположена подвижная опора, должны отсутствовать и изгибающий момент, и продольная сила. Сказанное означает, что к уравнениям (4.1a) добавляются еще три равенства (N23 = N21):

M12 = 0, M23 = 0, N21 = 0.

В результате получается система шести уравнений с шестью неизвестными:

В данном примере никаких проблем при решении системы уравнений равновесия конструкции не возникает. Однако нетрудно представить себе, насколько усложнились бы вычисления, имей конструкция хотя бы 3–4 узла, в каждом из которых сходятся больше, чем два стержня. Здесь же

N21 = M23 = M12 = 0, −M11 = M21 = 2P l,

N11 = N12 = 2P, Q11 = Q12 = P, Q21 = Q23 = −2P.

Эпюры усилий даны на рис. 4.2. Опорные реакции, приведенные на последнем из этих рисунков, взяты с эпюр ”Q” и ”N ”.

И все же даже при столь простой структуре уравнений равновесия (4.2) рассматриваемую раму удобнее рассчитывать иначе. Следовало бы воспользоваться условиями равновесия ΣMC = 0, ΣMA = 0, ΣX = 0 конструкции в целом и найти из них реакции VA, VB, HA. После этого эпюры усилий строятся без труда: для вычислений нужно выполнить всего два разреза.

Однако важно, что при вычислениях вручную классические способы имеют преимущество не только в простейших случаях, но и тогда, когда конструкция состоит из большого числа стержней. Материал настоящей главы как раз и призван подтвердить это утверждение.

4.2. Расчет на фиксированную нагрузку. Пусть конструкция с достаточным числом связей имеет D дисков и K отдельных шарнирных узлов. При правильной расстановке связей конструкция статически определима и для нахождения реакций в них можно составить 3D + 2K независимых уравнений равновесия: по три для каждого отдельного диска и по два для каждого вырезанного узла. Даже если система указанных уравнений не распадается на отдельные равенства или подсистемы сравнительно невысокого порядка, то все равно описываемый способ действия имеет то преимущество, что число 3D + 2K намного меньше числа уравнений системы (2.2). Правда, после решения системы (2.2) останется лишь применить формулы (2.1), чтобы завершить вычисление усилий по концам всех стержней, тогда как из уравнений равновесия дисков и отдельных шарнирных узлов определяются лишь опорные реакции и реакции междисковых связей. Но если диски имеют простую структуру, то найти усилия в их элементах по заданной нагрузке и уже известным реакциям опор нетрудно.

На рис. 4.3a изображены знакомая по п. 3.4 конструкция до и после ее разбиения на диски 1, 2 и узел I. Составляются следующие условия равновесия отсеченных частей:

Эти равенства объединяются в систему восьми уравнений, содержащую восемь искомых реакций R1, . . . , R8. Все, что делается после нахождения значений Ri, зависит от строения дисков. Если диск представляет собой ферму (рис. 4.3b), то усилия в его элементах устанавливают методами вырезания узлов и сечений. Второй способ предпочтительнее, ибо он позволяет определять усилия в стержнях фермы независимо друг от друга и тем самым избежать накопления вычислительной погрешности. Если диск имеет форму стержня (с любым очертанием оси), то на его контуре строят эпюры усилий

M , Q, N .

Изложенный способ решения задачи можно считать наиболее общим, ибо нет такой статически определимой конструкции, которую с его помощью нельзя было бы рассчитать. Однако в большинстве случаев первый этап вычислений (т. е. определение реакций опорных и междисковых связей)

проводят иначе с тем, чтобы избежать решения системы уравнений порядка 3D + 2K. Учитывается и то, что реакции междисковых связей на этом этапе вычислений находить необязательно: при желании их значения можно будет затем взять из эпюр усилий. Условия же равновесия для определения опорных реакций зачастую удается составить так, что в итоге они разбиваются на изолированные уравнения или на подсистемы невысокой размерности. Примером тому служит и рассматриваемая конструкция.

В п. 3.4 (см. рис. 3.8) говорилось о том, что при вычислении реакций VB и VD потребуется решить систему двух уравнений, а каждая из реакций VA и HA может быть найдена из отдельного уравнения равновесия. Более того, если для отыскания опорных реакций данной конструкции применить метод замены связей, то не нужно будет решать даже систему из двух линейных уравнений.

Иначе говоря, расчет произвольной статически определимой конструкции требует умения представлять ее в виде набора дисков и связей, со-

ставлять условия равновесия конструкции в целом и ее отдельных элементов (узлов, дисков, групп дисков) и, наконец, находить усилия в системах простейшего типа – фермах, балках, трехшарнирных арках. Искусство специалиста, ведущего расчет, заключается в том, чтобы указанные операции выполнять наиболее рационально.

Для определения перемещений в статически определимых конструкциях, возникающих при каком бы то ни было фиксированном воздействии, в том числе и несиловом, используются формулы, приведенные в главе 9 части II настоящего курса (п. II.9.7–II.9.9).

4.3. О расчете на временные воздействия. Временным называют воздействие, меняющееся в процессе эксплуатации сооружения. При наличии временных нагрузок определению усилий и перемещений должно предшествовать (или сопутствовать) решение задачи о самом неблагоприятном расположении нагрузки на конструкции. Во введении к настоящей главе была выявлена относительность этого понятия: реакции различных связей и усилия в различных сечениях конструкции принимают наибольшие значения

при отличающихся друг от друга загружениях. Кроме того, заранее не скажешь, в каких местах сооружения наступит опасное состояние. Именно по этой причине при расчетах на временные нагрузки приходится поступать так, как об этом говорится ниже.

В каждом стержне конструкции выделяется ряд поперечных сечений, размеры которых должны удовлетворять тому или иному условию прочности. Берутся сечения, расположенные в характерных точках осевого контура: узлах, опорах, местах приложения сосредоточенных сил и т. п., а также сечения, в которых ожидаются большие по модулю усилия. Выделенные сечения называются расчетными. Если при назначении расчетных сечений возникают осложнения, можно разбить каждый стержень на 5–6 участков и выбрать в качестве расчетных сечений граничные точки участков разбиения. В некоторых расчетных сечениях достаточно знать только одно из усилий, например, изгибающий момент, в других – несколько усилий, в третьих – все компоненты главных векторов силы и момента внутренних сил взаимодействия. Каждое усилие, влияющее на оценку прочности конструкции, должно быть так или иначе помечено и отнесено к разряду так называемых расчетных усилий. Для каждого расчетного усилия требуется определить опасные (расчетные) положения временной нагрузки, приводящие соответственно к наибольшему и наименьшему значениям данного усилия. В определении таких расчетных значений всех расчетных усилий конструкции и состоит обсуждаемая проблема.

Подобная задача рассматривалась в п. 1.5. Но там шла речь исключительно о шарнирно-стержневой конструкции. Для произвольной стержневой конструкции расчет на временную нагрузку намного сложнее. Правда, если конструкция является линейно деформируемой, то при вычислениях можно опираться на принцип наложения, что заметно упрощает дело. В этой связи уместно вспомнить о задаче Фламана (см. п. III.5.2). Именно благодаря принципу наложения решение задачи о напряжениях, возникающих в упругой полуплоскости при действии на ее границе сосредоточенной силы, удалось распространить на случай произвольного силового воздействия. Нечто подобное предполагается сделать и здесь. Сходство заключается в том, что стержневая конструкция сначала рассчитывается на единичную сосредоточенную силу, после чего результаты расчета используются при действии любой другой нагрузки на сооружение.

4.4. Функции и линии влияния. Пусть по той части конструкции, к которой может быть приложена временная нагрузка, перемещается сосредоточенная сила, равная по величине единице и направленная вертикально вниз. Конструкция отнесена к декартовой системе координат. С горизонтальной осью этой системы связаны параметры t и x. Первый из них

характеризует положение единичной силы на конструкции, а второй – положение поперечного сечения, в котором исследуется некоторое усилие Sk (рис. 4.4). Усилие Sk есть функция обоих указанных

параметров, т. е.

Зависимость (4.3) усилия Sk от координаты сечения, в котором оно действует, и координаты точки приложения единичной силы называют функцией влияния усилия Sk .

Если параметр t зафиксировать, то усилие Sk будет зависеть только от абсциссы сечения: Sk = Sk (x). График этой зависимости есть не что иное, как эпюра усилия Sk при действии фиксированной единичной силы. Контур эпюры ”Sk ” получается в результате сечения поверхности (4.3) плоскостью t =const (рис. 4.5). Если же положить x =const, т. е. рассечь поверхность (4.3) плоскостью, ортогональной к плоскости t =const, в пересечении получится кривая, уравнение которой имеет вид:

График функции (4.3a) называют линией влияния усилия Sk (условное обозначение л. в. Sk ). Таким образом, линия влияния усилия Sk – это график, показывающий, как меняется усилие в некотором фиксированном сечении конструкции в зависимо-

сти от положения вертикальной единичной силы на загружаемой части сооружения.

Встатически определимой конструкции установить вид функций (4.3)

и(4.3a) можно из уравнений равновесия. Такой способ получения функций влияния и уравнений линий влияния называют аналитическим. На рис. 4.6a изображена балка, для которой ищутся функции влияния изгибающего момента и поперечной силы. Решение задачи начинается с выбора системы координат и изображения прикладываемой единичной силы, а также сечения, в котором вычисляются усилия M и Q. (При решении плоской задачи индексы у изгибающего момента и поперечной силы ставить не обязательно.) Изображаются и пока неизвестные реакции опорных связей (рис. 4.6b). Усилия M и Q можно найти из условий равновесия левой или правой части балки, отсекаемой при помощи разреза 1-1. Так как единичная сила может находиться как слева от этого разреза, так и справа от него, объем вычислений в обоих случаях одинаков. Ниже рассматривается левая

отсеченная часть:

M (x, t) = VA · x − 1 · (x − t) · θ(x, t),

(4.4)

Q(x, t) = VA − 1 · θ(x, t).

При записи усилий применена введенная в п. II.4.2 тэта-функция

≤

Без нее каждую из формул (4.4) пришлось бы размещать в две строки: для случаев, когда единичная сила находится слева и справа от разреза 1-1.

Из равенств (4.4) видно, что для дальнейших вычислений надо знать опорную реакцию VA. Должно выполняться условие равновесия ΣMB = 0, поэтому

VA = (L − t)/L.

Таким образом,

M (x, t) = x(L − t)/L − (x − t)θ(x, t),

(4.5)

Q(x, t) = (L − t)/L − θ(x, t).

Если в формулах (4.5) положить x = xk , т. е. зафиксировать координату сечения, в котором разыскиваются усилия, получатся уравнения линий влияния величин Mk и Qk . Графики этих усилий, построенные по точкам t = 0, t = xk − 0, t = xk + 0 и t = L, приведены на рис. 4.6c. Чтобы линии влияния даже внешне отличались от эпюр усилий, их не штрихуют. Положительные ординаты линий влияния любых усилий откладываются вниз от оси абсцисс.

Для сравнения на рис.4.6d даны эпюры усилий M k и Qk , возникающих в балке при приложении в точке k единичной сосредоточенной силы. В рассматриваемой задаче (и только в ней) эпюра ”M k ” и л. в. Mk имеют одинаковый вид. Суть же этих графиков различна. Так, ордината y эпюры ”M k ” указывает на величину изгибающего момента в поперечном сечении балки, расположенном на расстоянии t от опоры A в случае, когда в точке k приложена фиксированная сила P = 1. Ордината y на л. в. Mk равна изгибающему моменту, возникающему в фиксированном сечении x = xk тогда, когда подвижная единичная сила находится в точке с абсциссой t.

Второй пример посвящен функциям и линиям влияния усилий в арке (рис. 4.7). Из условий равновесия M = 0, ν = 0 и τ = 0 ее левой отсеченной части k(см. точку k на рис. 4.7b) следует:

M (x, t) = VA ·x−1·(x−t)·θ(x, t)−H ·y,

Q(x, t) = VA ·cos ϕ−1·θ(x, t)·cos ϕ−H ·sin ϕ,

N (x, t) = −VA ·sin ϕ+1·θ(x, t)·sin ϕ−H ·cos ϕ.

Входящие сюда опорные реакции VA и H также нужно выразить через параметр t. Условие ΣMCлев = 0 равновесия левой полуарки дает:

При закреплении сечения формулы (4.7) приводят к уравнениям линий влияния усилий Mk , Qk , Nk . Эти линии влияния имеют вид, представленный на рис. 4.7c.

Формулы (4.7) можно вывести и иначе. Пусть M0, Q0 – балочные изгибающий момент и поперечная сила, т. е. усилия, которые возникают в балке пролета L от тех же вертикальных сил (включающих и опорные реакции), что действуют и на арку. Эти обозначения позволяют представить усилия в произвольном сечении арки следующим образом:

M = M0 − Hy, Q = Q0 cos ϕ − H sin ϕ, N = −Q0 sin ϕ − H cos ϕ.

Если подставить сюда выражения (4.5) для балочных усилий M0 и Q0, а также формулу (4.6) для распора, то и получатся соотношения (4.7).

4.5. Кинематический способ построения линий влияния. Практическое использование находят, главным образом, линии влияния. Функции влияния представляют, скорее, теоретический интерес, хотя в отдельных случаях они применяются для генерирования линий влияния. Но обычно последние строят непосредственно, т. е. не прибегая к помощи функций влияния, и делают это не только

аналитическим способом.

Пусть требуется получить линию влияния реакции S опоры k системы, изображенной на рис. 4.8a. Установить зависимость этой реакции от парамет-

ра t, характеризующего положение единичной силы, можно, в частности, и при помощи принципа возможных перемещений. Из рис. 4.8b видно, что

S · US + 1 · uP = 0, где US, uP – перемещения, отвечающие реакции S и подвижной единичной силе. Таким образом,

Перемещение uP зависит от координаты t, тогда как величина US с параметром t не связана, т. е. uP = uP(t), US = const.

График функции uP(t) называют эпюрой возможных перемещений загружаемого контура конструкции. Согласно формуле (4.8), эпюра ”uP” отличается от л. в. S только множителем −1/US, поэтому эту эпюру именуют также

моделью линии влияния реакции связи (м. л. в. S). Та-

ким образом, очертание линии влияния реакции S можно установить по картине возможных перемещений загружаемого участка конструкции, в которой предварительно устранена связь, воспринимающая эту реакцию.

Прежде, чем обратиться к примерам, нужно уточнить, каким образом удаляются связи, воспринимающие усилия в поперечных сечениях стержней. Все зависит от того, какое усилие рассматривается. Так, устранение связи, воспринимающей изгибающий момент, равносильно постановке в соответствующем сечении бруса обычного шарнира (рис. 4.9a). Устранение связи, воспринимающей поперечную силу, равнозначно постановке в сечении k специального шарнира (рис. 4.9b). Этот шарнир образован двумя стержнями, параллельными оси бруса.

Связанные таким шарниром диски перемещаются так, что изображающие это жесткое смещение прямые линии остаются параллельными друг другу. Если же специальный шарнир образован стержнями, перпендикулярными к оси бруса (рис. 4.9c), то в том поперечном сечении, где он поставлен, не возникает продольная сила.

Сказанное иллюстрируется на примерах построения ряда линий влияния усилий в двухпролетной балке, изображенной на рис. 4.10a.

1) л. в. Mk (рис. 4.10b). Построение линии влияния сопровождается тремя рисунками. На первом из них показана балка, освобожденная от связи, воспринимающей изгибающий момент. В данном случае – это балка с добавленным в сечении k шарниром. Здесь же пронумерованы диски получившегося после постановки шарнира механизма. Возможные перемещения механизма, как и любые жесткие смещения, отображаются прямыми линиями. При вычерчивании картины возможных перемещений учитывается также, что диски не имеют перемещений в тех точках, в которых они прикреплены к земле, а в точках, общих для двух дисков (точки (1,2) и (2,3) на первом из рис. 4.10b), перемещения смежных дисков одинаковы. Чтобы получить эпюру возможных перемещений, надо задаться новым положением одного из дисков, например, повернуть 1-й диск относительно неподвижной точки на некоторый угол α. После этого новые положения остальных дисков определяются однозначно (см. второй из рис. 4.10b). Модель линии влияния усилия Mk получена.

Далее устанавливают масштаб построения. Для этого достаточно вычислить любую из характерных ординат искомой линии влияния, например, ординату yk . По определению, yk – это значение изгибающего момента в сечении k в случае, когда единичная сила расположена в точке k. Положительные (т. е. растягивающие нижние волокна) моменты Mk , действующие по обе стороны от введенного в сечении шарнира, и прикладываемая в точке k сила P = 1 также изображаются на м. л. в. Mk . Значение момента Mk находят по формуле (4.8), полагая в ней

S = Mk , uP = yk , US = −α − β.

И в самом деле, перемещение по направлению единичной силы в рассматриваемом случае равно величине yk , а перемещение US по направлению усилия Mk складывается из углов поворота стержней 1 и 2, к торцам которых моменты Mk приложены. Поскольку повороты указанных стержней при переходе в новые положения противоположны направлениям моментов Mk , величина US отрицательна. При малых перемещениях

Таким образом,

Mk = −uP/US = −yk /(−yk L/ab) = ab/L.

Значение изгибающего момента Mk при действии единичной силы в сечении k найдено. Вторую характерную ординату л. в. Mk находят из подобия треугольников. Результаты вычислений приведены на третьем из рис. 4.10b.

2) л.в.Qk (рис. 4.10c). В сечении k вводится специальный шарнир и звенья получившегося механизма нумеруются. Смещенные положения этих звеньев находят, опираясь на те же правила, что использовались при построении м. л. в. Mk . После того, как м. л. в. Qk будет построена (см. второй из рис. 4.10c), определяют масштаб построения. В данном примере вычисляется ордината искомой линии влияния слева от сечения k. Поэтому именно в этом месте изображается единичное воздействие. Кроме него показываются усилия Qk , прикладываемые к торцам стержней, непосредственно примыкающим к введенному специальному шарниру. Поперечные силы положительны, если они вращают диски по часовой стрелке. По модели линии