Основы механики твердого деформируемого тела

означать невозможность существования ненулевых усилий в конструкции и в конечном счете ее неизменяемость. Если же переопределенная система уравнений равновесия фермы окажется совместной, то возможность появления самоуравновешенных усилий подтвердится. Это уже признак изменяемой конструкции.

На рис. 3.6a изображена ферма с достаточным числом связей: K = 4, C = 8. Ненулевым усилием R удобно задаться в стержне 1–2, что позволит при отыскании усилий в остальных элементах фермы воспользоваться ее частичной симметрией. Усилия же можно найти, последовательно вырезая узлы 1, 3, 4 и рассматривая их равновесие (на рис. 3.6b приводятся результаты соответствующих вычислений). Когда настанет очередь вырезания 4-го узла, станут известными усилия во всех стержнях фермы, кроме стержня 4–0. Условие ΣY = 0 равновесия узла 4 дает:

N4−0 = −R/ cos α.

Осталось неиспользованным условие ΣX = 0, из которого следует, что

усилия и она изменяема.

При вычислениях, связанных с использованием критерия нулевой нагрузки (да и при анализе напряженно-деформированного состояния ферм вообще), полезно использовать приемы, позволяющие сразу же исключить из рассмотрения стержни, усилия в которых заведомо равны нулю. Такие стержни называют нулевыми. Если, например, конструкция крепится к земле при помощи трех стержней, не пересекающихся в одной точке, а нагрузки на конструкцию нет, то все опорные стержни будут нулевыми. Действительно, указанные связи являются необходимыми и при отсутствии нагрузки

усилий в них быть не может. Таким образом, если необходимость какойлибо связи очевидна, а силовое воздействие к конструкции не прикладывается, реакцию связи следует тут же положить равной нулю. Кроме того, для определения нулевых стержней в плоских фермах используются следующие леммы.

Лемма 1. Если в ненагруженном узле фермы сходятся два стержня, оси которых не принадлежат одной прямой, то такие стержни нулевые.

Чтобы убедиться в этом, достаточно вырезать узел, о котором идет речь в формулировке леммы, и спроецировать усилия в стержнях на перпендикулярное к одному из них направление.

Лемма 2. Если в ненагруженном узле фермы сходятся три стержня, два из которых расположены на одной прямой, то третий, отходящий, стержень является нулевым.

К такому результату можно прийти, если приложенные к узлу усилия спроецировать на нормаль к линии, вдоль которой направлены оси двух из трех сходящихся в узле стержней.

Один из примеров использования лемм о нулевых стержнях при кинематическом анализе ферм относится к конструкции, изображенной на рис. 3.7. Согласно лемме 2, стержень 1–2, отходящий от узла 1, нулевой. После отбрасывания такого стержня к узлу 2 можно будет применить лемму 1, что дает N2−0 = N2−3 = 0. Теперь условиям для применения леммы 1 будет удовлетворять и 3-й узел, так что N3−0 = N3−4 = 0. Дальнейшее ясно. Конструкция неизменяема, ибо в ней ненулевых усилий быть не может.

3.4. Признак замены связей. Сначала несколько слов о методе замены связей как способе расчета конструкций сложной структуры. Пусть требуется найти опорные реакции системы, изображенной на рис. 3.8a (см. также рис. 2.11a). Это можно сделать при помощи условий равновесия

конструкции в целом и ее отсеченной по шарниру C части. (Предварительно потребуется выразить усилия в стержнях I–1 и I–2 через реакцию VD: NI−1 = = NI−2 = −VD/2 cos α.) Первое из равенств (3.1) определяет реакцию HA. Затем систему из двух последних уравнений (3.1) надо решить совместно и найти реакции VD и VB, после чего вычисление реакции VA затруднений не вызовет. Однако есть и иная возможность решить поставленную задачу.

Если в рассматриваемой конструкции удалить стержень, воспринимающий реакцию VD, а затем поставить связь 1, стягивающую узлы 1 и 2, то по-

Глава 3

лучится простая неизменяемая конструкция (рис. 3.8b). В такой конструкции нетрудно найти реакции любых связей, в том числе и реакцию R1 во вновь введенном стержне. Согласно принципу наложения,

R1 = r11X1 + R10,

где R10 – усилие в стержне 1–2 от заданной внешней нагрузки, а r11 – реакция во вновь введенной связи 1 (усилие в стержне 1–2) от воздействия X1 = 1. Через X1 обозначена искомая реакция VD. Удобство такого переобозначения, непосредственно указывающего на статус величины VD как величины неизвестной, скоро станет очевидным. В заданной конструкции стержня 1–2 нет, а потому надо положить R1 = 0. В этом случае

Остается вычислить реакции R10 и r11. Пусть к преобразованной конструкции приложена лишь сила X1 = 1. Тогда NI−1 = = NI−2 = −1/2 cos α. Эти усилия можно разложить в узлах 1 и 2 на горизонтальные и вертикальные составляющие, а затем отбросить стержни I–1 и I–2 (рис. 3.8c). Далее,

Аналогично, но теперь уже с помощью рис. 3.8d, устанавливается реакция R10 введенной связи от заданной нагрузки (стержни I–1 и I–2 при таком воздействии нулевые):

qL2 R10 = 4a .

Подстановка реакций r11 и R10 в равенство (3.2) дает

Теперь из условий ΣMA = 0, ΣMB = 0 равновесия заданной конструкции можно найти реакции VB и VA. Задача решена.

Воспользоваться формулой (3.2) для вычисления реакции X1 заменяемой связи удастся лишь при условии, что r11 = 0. В рассматриваемом примере r11 = 0 тогда, когда (см. равенство (3.3))

Из рис. 3.8a, b видно, что данное соотношение между размерами a, b, c и L выполняется для конструкции, у которой продолженная ось стержня I–2 проходит через точку K. Поскольку уравнение

r11X1 + R10 = 0

есть следствие приравнивания к нулю реакции R1 некоторой связи, т. е. является уравнением равновесия, то результат r11 = 0, установленный для конструкции с достаточным числом связей, означает ее изменяемость (аналитический признак). Таким образом, изображенная на рис. 3.8a конструкция изменяема, если ее размеры удовлетворяют условию (3.4).

Пусть теперь в конструкции с достаточным числом связей замене подлежат n стержней. По направлениям снятых связей прикладываются силы X1, . . . , Xn. В дополнительно введенных n связях действуют реакции R1, . . . , Rn. Перестановка связей должна быть выполнена так, чтобы новая конструкция была простой и неизменяемой. Строго говоря, нужна лишь неизменяемость преобразованной конструкции – иначе ее уравнения равновесия не будут иметь решения. Но и установление самого факта неизменяемости новой конструкции, и вычисление реакций в ней намного проще, если эта конструкция имеет простую структуру.

Каждую из реакций R1, . . . , Rn можно представить в виде:

Ri = ri1X1 + ri2X2 + . . . + rinXn + Ri0

и потребовать, чтобы все Ri = 0, ибо в заданной конструкции реакциям Ri (i = 1, 2, . . . , n) отвечают отсутствующие стержни. В итоге получится система n уравнений равновесия, содержащая n неизвестных реакций заменяемых связей:

Пусть замена n связей в конструкции с достаточным их числом S приводит к неизменяемой системе. Это означает, что все S связей новой конструкции являются необходимыми. Но тогда S −n связей, которые не переставлялись, будут необходимыми и в исходной конструкции, а потому проверке подлежат лишь те n связей, в которых действуют реакции X1, . . . , Xn. Последние определяются условиями равновесия (3.5), поэтому если значения сил X1, . . . , Xn можно найти из названных уравнений, то соответствующие им связи необходимы, а рассматриваемая конструкция неизменяема. Этим доказано утверждение: конструкция с достаточным числом связей неизменяема тогда и только тогда, когда определитель ее уравнений метода замены связей отличен от нуля.

Обсуждаемый критерий неизменяемости особенно эффективен при анализе конструкций, которые могут быть преобразованы в конструкции простой структуры заменой всего лишь одной связи. Здесь определитель уравнений (3.5) равен числу r11 и все сводится к получению ответа на вопрос, равна или нет нулю реакция во вновь поставленной связи при действии единичной силы, приложенной вместо связи устраненной. Если ответ положителен, конструкция изменяема. Именно так и был выполнен анализ системы, представленной на рис. 3.8.

3.5. Конструкция с избыточным числом связей. Если конструкция имеет простую структуру, то для ее кинематического анализа несущественно, имеет она достаточное или избыточное число связей. Так, у конструкции, изображенной на рис. 3.9, на одну связь больше, чем требуется. При проверке корректности расстановки связей по правилам соединения двух и трех дисков обнаруживается, что диски 1, 2 и земля образуют единое целое: шарниры (0,1), (0,2), (1,2) не лежат на одной прямой. К земле и слитым с нею дискам 1, 2 при помощи трех стержней крепится

узел I. Эти стержни имеют разную ориентацию, а

потому для закрепления узла I хватило бы и двух из них (любых). Сказанным не только устанавливается неизменяемость рассматриваемой конструкции, но и выясняется, где находятся лишние связи.

Более интересен случай конструкции сложной структуры. Пусть такая конструкция имеет n избыточных связей. Если существует хотя бы одна неизменяемая подконструкция, которая получается из заданной конструкции при удалении n связей, то неизменяемой будет и заданная система. И в самом деле, не может же возвращение неизменяемой подконструкции изъятых до этого связей превратить ее в механизм. При одинаковом числе дисков конструкция и ее подконструкция отличаются друг от друга коли-

чеством связей, а потому матрицы A и A1 их уравнений равновесия имеют одинаковое число строк, но разное количество столбцов: в матрице A их на n больше. Матрица A1 получается из матрицы A вычеркиванием тех n столбцов, которые отвечают удаляемым при образовании подконструкции связям. Если подконструкция неизменяема, то определитель матрицы A1 отличен от нуля, а ранг матрицы A максимален. Поскольку из неизменяемости подконструкции следует неизменяемость и самой конструкции, то из сказанного выше следует: конструкция с избыточным числом связей неизменяема тогда

итолько тогда, когда ранг матрицы ее уравнений равновесия максимален.

Осходстве и различии этого варианта аналитического признака неизменяемости произвольной стержневой конструкции с избыточным числом

связей и критерия, который был сформулирован в п. 1.3 для шарнирностержневых систем, можно сказать то же самое, что говорилось по аналогичному поводу в п. 3.2. Там же было отмечено, что дисковое представление конструкции приводит к заметному уменьшению числа ее уравнений равновесия. И все же это число не так уж и мало, чтобы устанавливать ранг матрицы статических уравнений вручную. Казалось бы, что задачу можно решить и иначе, не прибегая к непосредственному вычислению ранга мат-

рицы A. Ведь достаточно перебрать всевозможные подконструкции, которые получаются из заданной системы при удалении избыточных связей, и вы-

яснить, есть ли среди них хотя бы одна неизменяемая. Для неизменяемой конструкции такой образ действий приводит к цели довольно быстро: однойдвух попыток обычно бывает достаточно, чтобы обнаружить неизменяемую подконструкцию и тем самым решить вопрос о неизменяемости и исходной системы. Правда, надо иметь в виду, что если конструкция имеет сложную структуру, то сложными будут и ее подконструкции, так что при кинематическом анализе последних на правила соединения двух и трех дисков опереться не удастся. Но если конструкция изменяема, то изменяемы и все ее подконструкции, однако чтобы выяснить это, придется просмотреть все

CSn возможные подконструкции с достаточным числом связей (через CSn обо-

значено число сочетаний из общего количества S связей по их избыточному количеству n). Так, ферма, изображенная на рис. 3.11, имеет 20 стержней, два из которых лишние. В этом примере CSn = C202 = 190. Другими словами, к перебору различных вариантов подконструкций при кинематическом анализе сложных систем с избыточным числом связей лучше не обращаться. Гораздо более удобным здесь оказывается способ замены связей.

Способ замены связей наиболее эффективен тогда, когда для образования простой и неизменяемой подконструкции удаляются n + 1 связей, а

взамен ставится только одна. В этом случае единственное уравнение равновесия метода замены связей имеет вид:

r11X1 +r12X2 +. . .+r1,n+1Xn+1 +R10 = 0.

Матрица такого уравнения состоит только из одной строки:

Конструкция неизменяема, если хотя бы один из элементов r1i приведенного вектора отличен от нуля.

Конструкция с одной избыточной связью, изображенной на рис. 3.10a, имеет сложную структуру. Ее можно преобразовать в простую неизменяемую систему, удалив опорные стержни D и D1 и поставив стержень 1–2 (рис. 3.10b). И в самом деле, этот стержень не проходит через шарнир C, так что диски 1 и 2 можно объединить в один диск. Новый диск вместе с диском 3 и землею образует неизменяемую систему, ибо шарниры A, B, C1 не находятся на одной прямой.

В рассматриваемой задаче

A = r11 r12 .

Конструкция неизменяема, если хотя бы одно из чисел r11 и r12 отличается от нуля. Вычисления при определении реакций r11 и r12 подобны тем, что выполнялись в предыдущем пункте при расчете конструкции, изображенной на рис. 3.8, поэтому здесь можно ограничиться только приведением их результатов:

Конструкция неизменяема, если ее размеры таковы, что

3c(1 + a/b) − 2L = 0.

Еще один пример конструкции (рис. 3.11a), имеющей две избыточные связи. Преобразовать ее в заведомо неизменяемую можно, устранив опорные

псевдосложных схем некоторых конструкций к простым расчетным схемам (см. рис. 3.3 и 3.4).

И еще одно важное обстоятельство. Если в формуле (2.6a) выполняется равенство, т. е. 2K = C, то при правильной расстановке связей шарнирностержневая конструкция будет статически определимой. Равенство же в формуле (2.6) статической определимости в аналогичной ситуации не гарантирует: ведь диски сами могут иметь лишние связи (рис. 3.13). Такие конструкции называют внешне статически определимыми. В них только из уравнений равновесия можно найти реакции опорных и междисковых связей, но не усилия в элементах, образующих сами диски.

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА СИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

4.1. Постановка задачи. Расчет статически определимой стержневой конструкции на силовое воздействие состоит в отыскании усилий и перемещений в поперечных сечениях элементов данной конструкции. Нагрузка на сооружение может быть фиксированной (известны не только величины активных сил, но и места их приложения) либо нефиксированной, однако считается, что в любом случае она меняется достаточно медленно, а потому инерционными эффектами допустимо пренебречь.

Выделение статически определимых конструкций в самостоятельную группу оправдывается тем, что усилия в них находят только из условий равновесия. Отпадает необходимость обращаться к разрешающей системе уравнений, и все сводится к выбору такого способа формирования и решения статических уравнений задачи, реализация которого требует наименьшего объема вычислений. Ясно, что речь здесь не идет о вычислениях, связанных с применением специализированных программных сред: при использовании таковых разделение конструкций на статически определимые и статически неопределимые лишено смысла.

Уравнения (2.2) даже при небольшом числе стержней имеют высокий порядок, а потому для вычислений вручную они не годятся. Убедиться в этом можно на примере расчета двухстержне-

вой рамы, изображенной на рис. 4.1a. Конструкция расчленяется на узел 1 и стержни 1 и 2 (см. рис. 4.1b, c). Правило расстановки индексов для усилий было введено в п. 2.1: первый индекс отвечает номеру стержня, второй – номеру узла, к которому рассматриваемый торец стержня примыкает. Начало стержня находится в узле с меньшим номером.

Условия равновесия узла 1 имеют вид: