Основы механики твердого деформируемого тела

в самом деле, относительное перемещение дисков системы, изображенной на рис. 2.9b, сопряжено с перемещением шарнира C, но любое перемещение точки C приводит к изменению длин элементов AC и CB. Иначе говоря, жестких перемещений эта система иметь не может.

Есть и еще одно отличие между приведенными на рис. 2.9 конструкциями. Новая конфигурация первой из них – снова конфигурация изменяемой системы, тогда как вторая конструкция после ненулевого вертикального перемещения узла C приобретает форму неизменяемой системы. Такую конструкцию называют мгновенно изменяемой.

Особенности состояния мгновенно изменяемой конструкции позволяет выявить рис. 2.10. Пусть шарнир C получает вертикальное перемещение v, величина которого, по крайней мере, на порядок

меньше размера L. Тогда и угол α мал и потому v = αL. Каждый из двух стержней системы изменит свою длину на величину

= αv = α2L.

Значит, деформация стержня имеет второй порядок малости по сравнению с его длиной и первый порядок малости по сравнению с породившим удлинение перемещением v. Таким образом, в неизменяемой конструкции деформации

элементов имеют тот же порядок, что и перемещения узлов, деформации стержней мгновенно изменяемой системы на порядок меньше узловых перемещений, а в изменяемой конструкции деформации отсутствуют вообще. Если к узлу C приложить сосредоточенную силу, то в стержнях AC и BC возникнут усилия N = P/2 sinα, которые становятся бесконечно большими

при α → 0 . Возможность появления в элементах мгновенно изменяемых конструкций очень больших усилий делает использование таких конструкций нежелательным, а потому грань между изменяемыми и мгновенно изменяемыми конструкциями проводится редко.

2.5. Необходимое условие неизменяемости. Для того, чтобы D незакрепленных дисков правильно соединить между собой и с землей, требуется ликвидировать C1 = 3D степеней свободы. Пусть для соединения используются C стержней и H шарниров, что позволяет ликвидировать C2 = C+2H степеней свободы между дисками и между дисками и землей. Возможны соотношения: C1 >C2, C1 =C2, C1 <C2, которые при помощи используемого ниже обозначения записываются следующим образом:

При наличии в формуле (2.6) нижнего знака вывод об изменяемости конструкции следует немедленно: имеющимися связями нельзя ликвидировать требуемое для закрепления D дисков число степеней свободы. Такая конструкция имеет недостаточное количество связей.

Если левая и правая части соотношения (2.6)2 связаны равенством, то конструкция обладает достаточным для ее неизменяемости числом связей. Однако неподвижность конструкции будет обеспечена лишь при правильной расстановке всех 3D связей. Поэтому равенство в формуле (2.6) есть только

необходимое, но не достаточное условие неизменяемости конструкции. При знаке < в формуле (2.6) конструкция располагает избыточным для ее неизменяемости числом связей. Но и такая конструкция может быть изменяемой, если связи поставлены неверно.

В главе 1 (см. п. 1.3 и зависимость (1.8)) используемая здесь терминология уже встречалась. Из сказанного там следует, что для плоских ферм вместо неравенств (2.6) удобно пользоваться формулой

где K – число неопорных узлов фермы.

В общем случае плоская конструкция может быть представлена как набор D дисков и K отдельных шарнирных узлов, соединенных между собою и с землею H шарнирами и C стержнями. Для такой конструкции необходимым условием неизменяемости является требование равенства в соотношении

Примеры использования формул (2.6) даны на рис. 2.11. При выполнении подсчетов по формуле (2.6b) необходимо отдельные шарнирные узлы отли-

чать от шарниров, являющихся соединительными устройствами между дисками. Для этого на рис. 2.11c отдельные шарнирные узлы пронумерованы римскими цифрами.

2.6. Необходимые и лишние связи и утверждения о них. Необходимой называют связь, при устранении которой число степеней свободы системы повышается на единицу. Связь именуется лишней, если ее устранение не приводит к изменению числа степеней свободы конструкции. На рис. 2.12 под номерами 1 показаны необходимые связи, а под номерами 2

– лишние. Следует обратить внимание на то, что две из четырех приведенных балок изменяемы, две конструкции имеют достаточное число связей, а одна – избыточное их число. В одной системе связей не хватает. Справедливы следующие утверждения.

Лемма 1. Конструкция неизменяема, если она имеет достаточное число связей и все они необходимые.

Этот результат следует из определений необходимой связи и достаточности связей.

Лемма 2. Конструкция изменяема, если она имеет достаточное число связей, среди которых есть лишние.

Удаление в такой конструкции лишней связи не меняет первоначального числа ее степеней свободы. С другой стороны, после

исключения связи получится система, у которой связей недостаточно, т. е. механизм. Значит, изменяема и исходная конструкция.

Теорема 1. Реакция необходимой связи может быть однозначно установлена из уравнений равновесия конструкции, тогда как реакция лишней связи статически неопределима.

Пусть R – искомая реакция некоторой устраненной связи конструкции, находящейся в состоянии равновесия под действием заданных сил P1, . . . , Pn. Согласно принципу возможных перемещений, работа всех приложенных к конструкции сил на малых возможных перемещениях системы равна нулю, т. е.

Здесь через UR и U1, . . . , Un обозначены перемещения, соответствующие реакции R и силам P1, . . . , Pn.

Если связь, воспринимающая реакцию R, относится к необходимым, то при ее устранении система приобретет одну степень свободы: станет возможным перемещение UR. При UR 6= 0 из равенства (2.7) следует:

n

R = − 1 X PiUi. (2.7a)

UR i=1

Этим соотношением устанавливается единственное значение реакции R в необходимой связи.

Пусть теперь устраняется лишняя связь. Новых смещений при ее удалении конструкция не получит, и как не было перемещения по линии действия силы R, пока связь стояла, так не будет его и после устранения связи. Другими словами, UR =0 и уравнение равновесия (2.7) принимает вид:

Отсюда реакцию R не найти (теоретически R → ∞). Таким образом, реакция лишней связи статически неопределима.

Доказанная теорема имеет два следствия, вытекающих из формул (2.7a) и (2.7b).

Следствие 1. Если к конструкции не приложена нагрузка, то реакция необходимой связи равна нулю.

И в самом деле, при всех Pi =0 из равенства (2.7a) вытекает, что R=0. Следствие 2. При отсутствии нагрузки реакция лишней связи может при-

нимать любое конечное значение.

Это видно по формуле (2.7b), которая при Pi =0 обращается в равенство

R · 0=0,

удовлетворяемое любым конечным значением реакции R.

Реакции и усилия, возникающие в конструкции при отсутствии силового воздействия, называют самоуравновешенными. Такие реакции могут быть порождены, например, кинематическим воздействием (рис. 2.13) или изменением температуры среды, окружающей конструкцию. Важно, что возникнуть самоуравновешенные усилия могут только в статически неопределимой конструкции. Это перекликается с тем, что говорилось по поводу усилий в п. 1.3 и 2.2.

Теперь все готово для того, чтобы вплотную заняться изучением конкретных методов анализа структуры многостержневых конструкций и способов их расчета.

ГЛАВА 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

3.1. Системы простой структуры. Задача кинематического анализа состоит в том, чтобы по расчетной схеме сооружения установить, является ли оно изменяемым или нет. Для выяснения кинематического типа конструкции простой структуры не требуется выполнять каких-либо вычислений, кроме тех, что предусматриваются формулами (2.6)–(2.6b).

Кинематический анализ конструкции начинается с выделения в ней дисков. Элементы, расположенные между дисками, относят к связям. Каждый элемент сооружения должен быть отнесен либо к дискам, либо к связям. Конструкцию можно представить в виде набора дисков и связей многими способами. Так, каждый стержень фермы, изображенной на рис. 3.1a, допустимо трактовать как диск, но можно использовать и иные разбиения фермы на диски и связи (например, показанные на рис. 3.1b). Лучшим следует признать то разбиение, при котором число дисков минимально – тогда наименьшим будет и общее число связей, правильность расстановки которых проверяется. На втором этапе анализа при помощи одной из формул (2.6)–(2.6b) выясняют, достаточно ли в конструкции связей для ее неизменяемости. Если достаточно, то (третий этап) приступают к проверке правильности их расстановки. С этой целью используются сформулированные в п. 2.3 правила соединения двух и трех дисков. В ходе проверки последовательно перебирают всевозможные пары дисков с целью обнаружить такую пару, которая правильно соединена тремя связя-

ми. Если описанная пара существует, то ее диски объединяют в один, более крупный, диск. Если же, действуя таким способом, довести анализ до конца не удается, т. е. в конечном счете не образуется один слитый с землею диск, переходят к перебору групп, состоящих из трех дисков. Необходимо, чтобы между каждой парой дисков рассматриваемой тройки имелось по две связи, иначе применить правило соединения трех дисков не удастся. Если связи

408 Часть IV

на рис. 3.3b, будет: D = 4, C = 4, H = 4 (шарнир A – двукратный), так что 3 ·4 = 4+2 ·4. Однако проверить правильность расстановки связей не удастся. Нет ни одной пары дисков, между которыми имелось бы по три связи, и нет ни одной группы из трех дисков, попарно соединенных шарнирами, а потому опереться на правила соединения двух и трех дисков нельзя. Значит, предложенная на рис. 3.3b расчетная схема рассматриваемой конструкции простой структурой не обладает. Можно попытаться найти иное разбиение системы на диски и связи, при котором получится простая расчетная схема. Если такие разбиения существуют, то начальную расчетную схему называют псевдосложной. Псевдосложной является и расчетная схема, представленная на рис. 3.3b, ибо при разбиении анализируемой конструкции на три диска (см. рис. 3.3c и п. 3.6) никаких проблем при доказательстве ее неизменяемости не возникает. И в самом деле, диски 2 и 3 образуют с землею единое целое (правило соединения трех дисков), а к ним при помощи шарнира A и стержня B правильно крепится первый диск.

Примеры еще двух псевдосложных систем даны на рис. 3.4. А вот структура конструкций, изображенных на рис. 2.11b, c, действительно является сложной. Однако вряд ли следует затрачивать слишком много времени на то, чтобы выяснить, к сложным или псевдосложным относится исследуемая расчетная схема. В сомнительных случаях надо сразу же обращаться к общим методам кинематического анализа, приспособленным для выяснения кинематического типа систем любой структуры (см. п. 3.2–3.5).

3.2. Аналитический признак неизменяемости. Признаком (критерием)

неизменяемости конструкции называют необходимое и достаточное условие отсутствия у нее жестких перемещений. Что же касается аналитического

критерия, то о нем шла речь еще в п. 1.3 и 1.4. Ниже тот же результат (причем для более широкого класса конструкций, нежели шарнирно-стержневые) будет установлен иначе.

Из леммы 1 и теоремы 1, доказанных в п. 2.6, следует, что конструкция, имеющая достаточное число связей, реакции которой могут быть найдены из условий равновесия, неизменяема. И в самом деле, согласно теореме 1, из уравнений равновесия могут быть найдены реакции только необходимых связей, и если связей достаточно, то система неподвижна (лемма 1). Таким образом, конструкция с достаточным числом связей неизменяема тогда и только тогда, когда значения реакций всех ее связей могут быть однозначно определены из условий равновесия конструкции.

По сути, эта та же формулировка, что была дана в п. 1.3, но вытекающий из нее образ действий несколько иной. Показать это можно на примере кинематического анализа конструкции с достаточным числом связей, изображенной на рис. 3.5a. У этой конструкции K = 8, C = 16, так что 2K = C. Если проверять правильность расстановки связей, следуя той формулировке аналитического признака, что была приведена в п. 1.3, то понадобится составить систему 16 уравнений равновесия всех неопорных узлов фермы и вычислить определитель 16-го порядка. При использовании же подхода, о котором идет речь в настоящем пункте, надо сначала разбить конструкцию на диски (рис. 3.5b), затем отделить диски друг от друга и от земли при помощи соответствующих разрезов связей (рис. 3.5c) и, наконец, сформулировать по три условия равновесия для каждого диска в отдельности:

ΣMA = 0 : R2 · 2a + R3 · a = 0, ΣMB = 0 : R2 · 2a + R3 · a = 0,

ΣX1 = 0 : R1 + R2 + R3 = 0, ΣX2 = 0 : R2 + R3 + R4 = 0,

ΣY1 = 0 : R5 = 0, ΣY2 = 0 : R6 = 0.

Уравнения, приводящие к тривиальным значениям для реакций R5 и R6, можно отбросить, а остальные соотношения объединить в систему 4 урав-

Поскольку первая и третья строки этой матрицы одинаковы, det A = 0. Значит, уравнения равновесия конструкции неразрешимы, а потому она изменяема.

Итак, вместо вычисления определителя 16-го порядка дело свелось к рассмотрению определителя, порядок которого равен четырем. Столь значительное снижение объема вычислений объясняется тем, что большая´ часть стержней фермы была объединена в диски, т. е. в неизменяемые части конструкции, что избавило от необходимости проверять правильность соединения стержней, отнесенных к дискам. Но это не все. После того, как вычисление определителя 16-го порядка привело бы к его нулевому значению, был бы обнаружен только факт изменяемости фермы, но не то, какие именно из ее 16 стержней поставлены неправильно. А при втором способе анализа сразу выясняется, что неверно поставленные связи надо искать лишь среди тех стержней, в которых возникают реакции R1, R2, R3 и R4.

Применять аналитический признак для выяснения кинематического типа рассмотренной фермы прямой необходимости не было. Конструкция имеет простую структуру, что видно по рис. 3.5b. Очевидна и ее изменяемость: шарниры (0,1), (0,2) и (1,2) лежат на одной прямой. Ясно, наконец, и то, что прийти к неизменяемой конструкции можно, заменив, например, стержни 3–5 и 4–7 на стержни 3–7 и 4–5 (рис. 3.5d).

3.3. Признак нулевой нагрузки. Данный критерий неизменяемости, основанный на леммах 1, 2 и следствиях 1, 2 теоремы 1 из п. 2.6, также формулируется для конструкций с достаточным числом связей. Названные следствия позволяют обнаружить лишние связи: таковые имеются, если в конструкции возможны самоуравновешенные усилия. А если к тому же связей у конструкции достаточно, то по лемме 2 она изменяема. Итак, конструкция с достаточным числом связей неизменяема тогда и только тогда, когда при отсутствии нагрузки реакции всех ее связей равны нулю. Именно это утверждение и получило название признака нулевой нагрузки. С его помощью удобно анализировать структуру шарнирно-стержневых конструкций. Выполняя такой анализ, сначала убеждаются в том, что связей достаточно, т. е. 2K = C, а затем задаются ненулевым усилием в одном из стержней. Для отыскания остальных C −1 усилий имеются 2K = C независимых условий равновесия, что на одно уравнение больше, чем искомых величин. Такая система уравнений равновесия может оказаться противоречивой, что будет