Основы механики твердого деформируемого тела

[33, с. 64–119] по охвату материала мало чем отличается от настоящего издания. Но в нем [33, с. 90–92] кинематические уравнения (5.4) в полярных координатах выводятся самостоятельно, а не из соответствующих уравнений теории оболочек, что важно для тех читателей, которые с теорией оболочек не знакомы. В книге В. И. Самуля плоской задаче посвящены две главы [28, с. 50–111]. Здесь следует обратить внимание на параграф, в котором приводится численная иллюстрация к принципу Сен-Венана (с. 78– 80), а также на анализ контактных напряжений при взаимодействии двух опорных катков (с. 108–111). Ведь в задаче о диске, сдавливаемом сосредоточенными силами (см. п. 5.5 настоящего пособия), осталась невыясненной картина распределения напряжений в зонах, примыкающих к точкам приложения сил, и полезно иметь хотя бы представление о том, как такая картина может быть установлена.

Заключительные замечания

В предлагаемом пособии трехмерная краевая задача теории упругости не рассматривалась. Как ни малочисленны пространственные задачи, допускающие аналитическое решение, но они все же имеются и при желании с ними можно познакомиться при помощи, например, уже упоминаемой выше книги С. П. Тимошенко и Дж. Гудьера [38, с. 358–434]. Что же касается численных методов решения краевых задач, то для их детального изучения требуются учебные пособия по вычислительной математике или специальная литература по строительной механике. Получить представление о таких методах можно и по учебнику О. И. Теребушко [33, с. 189–230], но гораздо шире и обстоятельнее о вычислительном аспекте теории упругости говорится в монографии Л. А. Розина [25].

ЧАСТЬ IV. СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Данный раздел механики твердого деформируемого тела, известный также под названием строительная механика, неоднократно упоминался в предыдущих частях курса. Строительная механика изучает методы нахождения усилий и перемещений в многостержневых конструкциях, и ссылаться на нее приходилось каждый раз, когда заходила речь о вычислении напряжений в брусьях. Такие ссылки откладывали на будущее нежелательный при построении технических теорий деформирования тел рассказ о том, как в общем случае вычисляют усилия, от которых зависят иско-

мые напряжения. Да и многие другие вопросы приходилось выносить за скобки проводимых рассмотрений. К ним относится и вопрос о загружении конструкции. Существуют правила, которыми руководствуется инженер при так называемом сборе нагрузок на сооружение. Но эти правила, излагаемые в различных курсах строительных и машиностроительных конструкций, далеко не всегда позволяют получить полную информацию о внешнем воздействии. Прежде всего это относится к временным нагрузкам. Так, нормами проектирования строительных конструкций устанавливаются интенсивности различных распределенных по поверхности тела нагрузок: эксплуатационной, снеговой, ветровой и других, но указать места наиболее опасного их приложения к сооружению должен специалист, выполняющий прочностной расчет. Сказанное иллюстрирует такой пример.

К балке, изображенной на рис. 1, прикладывается временная равномерно распределенная нагрузка, интенсивность q которой задана. Если требуется обеспечить прочность фундамента под левую опору, то надо так разместить нагрузку на конструкции, чтобы реакция V1 была максимальной, а затем по силе

383

max V1 подобрать размеры проектируемого фундамента. Искомое положение нагрузки приводится на рис. 1a. Если же нужно обеспечить прочность самой балки, то следует найти такое положение временного воздействия, при котором в балке возникнет наибольший изгибающий момент. Это будет уже загружение, показанное на рис. 1b. Стало быть, размещение временной нагрузки в опасное положение зависит от того, прочность какого элемента сооружения требуется обеспечить. Примечательно и то, что зачастую загружение всех пролетов конструкции самым неблагоприятным не является. Так, изображенное на рис. 1c воздействие не опасно ни для самой балки, ни для ее опор.

Чтобы получить исчерпывающее решение рассмотренной задачи, достаточно было опереться на здравый смысл. Ведь совершенно понятно, что нагружение одного из консольных участков балки приводит к отрыву от земли удаленной опоры, а потому наибольшего значения реакция V1 достигает в случае, когда правая консоль свободна от временного воздействия. Столь же очевидно и то, что нагружение консольных участков балки при загруженном центральном пролете способствует уменьшению изгибающих моментов в последнем. Но одного здравого смысла мало, чтобы решать вопросы о невыгодном загружении сложных многостержневых конструкций. Для этого нужны специальные знания.

Еще одна задача, просто решаемая для конструкции из одного–двух стержней и перерастающая в проблему для многостержневой конструкции, связана с так называемой неизменяемостью сооружения. На рис. 2 изображен стержень, прикрепленный

к земле при помощи трех катковых опор. Под действием силы P стержень получит горизонтальное перемещение u, никак не связанное с изгибом бруса. Смещение u может на несколько порядков превышать прогибы v. Перемещения, которые, по крайней мере, на порядок больше тех, что сопряжены с деформированием материала тела, называют жесткими, а конструкцию, допускающую такие смещения, – изменяемой. От строительных конструкций обычно требуется неизменяемость, хотя и не всегда. К изменяемой конструкции нагрузку надо прикладывать так, чтобы жесткие перемещения были исключены. Ясно, что инженер должен знать, является ли предлагаемая им расчетная схема сооружения изменяемой или нет. Получить ответ на этот вопрос в общем случае можно лишь при помощи методов кинематического анализа, предлагаемых строительной механикой.

Теперь нетрудно очертить круг задач, исследуемых в обсуждаемом разделе механики твердого деформируемого тела. Это:

1)отыскание усилий и перемещений в элементах многостержневых конструкций при любых фиксированных воздействиях;

2)кинематический анализ расчетных схем сооружений;

3)отыскание опасных положений временной нагрузки на конструкции и обусловленных ими напряженно-деформированных состояний тела;

4)численная реализация методов строительной механики.

Подходы к решению указанных задач могут быть разными. В частности, возможен традиционный при решении краевой задачи путь: получить полную систему уравнений многостержневой конструкции, а затем перейти к разрешающим уравнениям в силах или перемещениях. Такая возможность демонстрируется в главах 1, 2 и 4. Указанный подход удобен при составлении вычислительных алгоритмов и программ, но поскольку он слишком формален и перегружен матричным аппаратом, понять с его помощью качественные явления, сопровождающие процесс деформирования конструкции, непросто. Вот почему ниже особое внимание уделяется тем методам анализа состояния стержневых систем, которые были разработаны в конце XIX – начале XX века и которые составляют классическое наследие строительной механики. Эти методы не утратили своего значения и сегодня. Заключает данную часть пособия глава, посвященная методу конечных элементов

– самому распространенному численному способу расчета любых инженерных конструкций – стержневых, плит, оболочек, массивных тел. Очевидная связь этого метода с классическими методами строительной механики и определила его место в настоящем разделе пособия.

ГЛАВА 1. ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВЫЕ КОНСТРУКЦИИ

1.1. Принцип двойственности. Простейшая шарнирно-стержневая конструкция (одноузловая ферма) была рассмотрена в п. 1.9 главы 1 части II настоящего курса. Там же приводились условия равновесия (II.1.27) узла фермы, связывающие усилия Ni в ее стержнях с узловой нагрузкой, а также кинематические соотношения (II.1.28), в которых удлинения ∆i стержней выражаются через перемещения узла. Для одноузловой фермы, состоящей из трех стержней, названные уравнения имеют вид:

где li, mi – направляющие косинусы стержня с номером i= 1 , 2, 3. В матричной записи эти уравнения таковы:

Видно, что матрицы A и B взаимно транспонированные. Надо ожидать, что отмеченное свойство матриц статических и кинематических уравнений конструкции с числом стержней не связано, т. е. равенство

справедливо при любом C. И это действительно так. Однако для соблюдения условия (1.1) требуется, чтобы статические и кинематические параметры задачи были сопряжены друг с другом по работе (см. п. II.9.2). В данном случае такое соответствие есть: силы Px, Py и перемещения u, v попарно коллинеарны, продольная сила Ni и удлинение ∆i направлены по оси одного и того же стержня. Сказанное и составляет содержание так называемого принципа двойственности: если статические и кинематические параметры состояния конструкции выбраны сопряженными друг с другом, то матрицы ее статических и кинематических уравнений являются взаимно транспонированными. Принцип двойственности справедлив для любых конструкций,

ане только для одноузловой фермы. Он позволяет после того, как будут получены условия равновесия задачи, не выводить кинематические уравнения,

азаписывать их по схеме:

A → A , N → U, P → ∆.

Другими словами, если AN = −P , то A U = −∆.

1.2. Полная система уравнений произвольной шарнирно-стержне- вой конструкции. В п. II.1.9 такая система была предложена для плоской одноузловой фермы. Она состоит из двух уравнений равновесия (II.1.27), C кинематических уравнений (II.1.28) и C уравнений (II.1.29) закона Гука. Через C обозначено число стержней фермы. В п. II.1.9 были подробно проанализированы и способы решения полной системы уравнений одноузло-

вой фермы. Настало время рассмотреть произвольные шарнирно-стержневые конструкции.

Пусть пространственная ферменная конструкция имеет C стержней, включая опорные, и K не соприкасающихся с землею узлов. Все стержни и узлы фермы нумеруются, при этом опорные узлы получают последние номера. Считается, что стержень начинается в узле с меньшим номером и ось каждого элемента фер-

мы направлена от начала стержня к его концу. Это важно при вычислении направляющих косинусов li, mi и ni оси стержня. В частности, для плоской фермы, изображенной на рис. 1.1, C = 14, K = 6. Узлы с номерами 7, 8, 9 являются опорными.

Пусть k и j – номера узлов, в которых стержень с номером i соответственно начинается и заканчивается. Тогда

Для каждого узла фермы можно составить три независимых условия равновесия, так что при C >3K конструкция является статически неопределимой. Поэтому для расчета такой конструкции надо обращаться к полной системе уравнений. Сначала записываются условия равновесия. Для узла с номером k это будут уравнения

Каждое из них помимо заданной узловой нагрузки Xk, Yk, Zk должно содержать усилия Ni в тех и только тех стержнях, которые примыкают к узлу с номером k. Для того, чтобы это требование отразилось при записи уравнений (1.3), используются обозначения

для так называемых обобщенных направляющих косинусов i-го стержня. Величины (1.4) равны обычным направляющим косинусам (1.2), если стержень с номером i начинается в узле с номером k. Если же i-й стержень в узле k заканчивается, то обобщенные направляющие косинусы берутся равными величинам (1.2) с обратными знаками. Наконец, если стержень i к узлу k вообще не примыкает (в таком случае говорят, что стержень и узел

не инцидентны друг другу), то принимается lki = mki = nki = 0. При этих обозначениях уравнения (1.3) запишутся следующим образом:

Статические соотношения для конструкции в целом получаются объединением 3K равенств (1.3a), составленных для каждого из K неопорных узлов. Матричная запись объединенной системы имеет точно такой же вид, что и в случае одноузловой фермы:

только теперь матрица A содержит 3K строк и C столбцов. Элементами этой матрицы являются обобщенные направляющие косинусы. Векторы N и P насчитывают по C и 3K компонент соответственно.

Кинематические соотношения задачи, т. е. условия совместности перемещений uk, vk, wk неопорных узлов и интегральных деформаций ∆i стержней, записываются по уравнению (1.5). Речь идет об использовании принципа двойственности:

Вектор U содержит 3K перемещений uk, vk, wk, а столбец ∆ – C величин ∆i. Оба этих вектора неизвестны, но при анализе уравнений (1.6) удобно считать искомым одномерный массив U, а вектор ∆ интерпретировать как столбец свободных членов.

Замыкают полную систему уравнений конструкции физические соотношения. Они состоят из C формул закона Гука и также допускают матричную запись:

Помимо уже знакомых по формулам (1.5) и (1.6) векторов N и ∆ сюда входит диагональная матрица D порядка C:

Матрицу D называют матрицей податливости шарнирно-стержневой конструкции, ибо ее элементами являются обратные по отношению к осевым жесткостям стержней величины – так называемые осевые податливости стержней.

1.3. Статическая определимость. Неизменяемость. Если в случае

3K = C определитель det A матрицы A не равен нулю, система (1.5) имеет единственное решение. Это случай статически определимой конструкции. При 3K > C задача решения, вообще говоря, не имеет: неизвестных меньше, чем уравнений, а потому система (1.5) может оказаться противоречивой. Если же 3K < C, то существует множество решений системы (1.5), среди которых содержится и искомое решение N, т. е. то, которое удовлетворяет не только условиям равновесия, но и остальным соотношениям полной системы уравнений. Это случай статически неопределимой конструкции.

Если статически определимая конструкция не испытывает силового воздействия, т. е. P = 0, система (1.5) становится однородной:

При det A= 0 система (1.5a) имеет только нулевое решение: N = 0. Этим доказано утверждение: в статически определимой шарнирно-стержневой кон-

струкции ненулевые усилия возможны только при наличии силового воздействия. Указанным свойством обладают все статически определимые конструкции, а не только шарнирно-стержневые.

Если det A= 0, то и det A = 0, а потому единственное решение имеет и кинематическое уравнение (1.6). При всех ∆i = 0 это уравнение однородно:

Его решение таково: U = 0. Это означает, что при отсутствии деформаций стержней узлы фермы не перемещаются, т. е. нет жестких смещений. Такая конструкция неизменяема. Стало быть, статически определимая конструкция, у которой 3K = C и det A= 0, относится к неизменяемым.

Равенство

называют условием достаточности связей. Такое название связано с трактовкой шарнирно-стержневой конструкции как совокупности K точек (узлов), связанных друг с другом и с землею при помощи C связей – стержней. В случае соблюдения равенства (1.8) имеющихся связей как раз достаточно для того, чтобы погасить 3K степеней свободы всех неопорных узлов. Теперь условие неизменяемости конструкции может быть сформулировано так: кон-

струкция с достаточным числом связей неизменяема тогда и только тогда,

когда определитель ее уравнений равновесия отличен от нуля. Этот признак (критерий) неизменяемости конструкции называют статическим (или аналитическим), ибо о подвижности или неподвижности конструкции судят по условиям равновесия, а не по кинематическим уравнениям. Возможность такого образа действий вытекает из принципа двойственности.

При 3K > C говорят, что у конструкции не хватает связей для обеспечения ее неизменяемости. Такая конструкция допускает жесткие смещения. Это видно и из соотношений (1.6a): поскольку число C уравнений меньше числа 3K искомых перемещений узлов конструкции, однородная система (1.6a) имеет множество ненулевых решений для величин uk, vk, wk. Все эти перемещения относятся к жестким, ибо им отвечают нулевые деформации стержней (нулевым является вектор ∆). Следовательно, рассматриваемая конструкция изменяема.

При избыточном числе связей, т. е. при 3K < C, кинематические уравнения (1.6) неразрешимы. По существу, здесь можно сказать то же самое, что говорилось при обсуждении геометрических соотношений Коши (I.5.7), а именно: по заданным изменениям ∆i длин стержней определить перемещения узлов фермы нельзя, тогда как по известным перемещениям узлов удлинения стержней устанавливаются однозначно. Поэтому полезно иметь не только условия совместности перемещений узлов и удлинений стержней, аналогичные геометрическим уравнениям Коши, но и уравнения совместности интегральных деформаций стержней фермы, т. е. нечто подобное условиям сплошности Сен-Венана (I.5.9). Такие уравнения можно получить, если отобрать среди C равенств (1.6) 3K независимых соотношений, найти из них перемещения узлов конструкции и найденные перемещения подставить в оставшиеся

условий (1.6). В итоге получится система n уравнений вида

где G – матрица размерами n ×C. Процесс образования матрицы G называют построением фундаментального решения системы линейных однородных уравнений с прямоугольной матрицей. Наиболее сложным этапом вычислений является отбор независимых уравнений в системе (1.6). Более подробно данная проблема здесь не обсуждается.

1.4. Решение полной системы уравнений шарнирно-стержневой конструкции. Сначала о решении в перемещениях. Здесь все достаточно просто. Подстановка закона Гука (1.7) в кинематическое уравнение (1.6) дает:

A U = −DN.

Матрица D квадратная, невырожденная, а потому существует обратная к ней матрица D−1. В этом случае из последнего равенства следует

Остается подставить найденные усилия в условия равновесия (1.5):

и тем самым прийти к разрешающим уравнениям шарнирно-стержневой конструкции в перемещениях.

Матрица, которая вычисляется как произведение AD−1A , является квадратной и симметрической. В данном случае ее порядок равен 3K. Это число совпадает с числом искомых перемещений неопорных узлов фермы, т. е. с числом элементов вектора U. Если воспользоваться обозначением

то можно будет представить уравнение (1.12) и его решение в виде:

Окончательная формула может быть предложена и для усилий:

Более сложно строится решение в силах. Разрешающая система уравнений получается при добавлении к 3K условиям равновесия (1.5) n условий (1.10) совместности деформаций, в которые вместо удлинений ∆i стержней по закону Гука (1.7) вводятся усилия. Всего (см. формулу (1.9)) получится 3K+n= 3K+C−3K = C равенств – по числу искомых усилий. Теперь становится ясным, почему число n, даваемое формулой (1.9), называют степенью статической неопределимости конструкции: ведь оно в точности равно числу уравнений, которые надо добавить к условиям равновесия задачи с тем, чтобы можно было найти усилия во всех стержнях.

Анализ полной системы уравнений шарнирно-стержневой конструкции можно было бы считать завершенным, если бы не ряд обстоятельств, заслуживающих внимания. Прежде всего о записи второго из уравнений (1.12a), возможной лишь при условии, что матрица R невырождена. Для этого, как следует из формулы (1.13), необходимо, чтобы матрица A имела максимальный ранг rA = min(C, 3K) = 3K. Если же rA <3K, уравнение RU = P решения не имеет, а конструкция, разрешающие уравнения в усилиях которой имеют вырожденную матрицу, изменяема. Сказанное означает, что аналитический признак неизменяемости конструкции в общем случае может быть сформулирован следующим образом: при C ≥3K конструкция неизменяема тогда и

только тогда, когда ранг матрицы ее уравнений равновесия максимален.