Основы механики твердого деформируемого тела

шить задачу без помощи гипотез Бернулли – Мариотта. На нижней и верхней гранях бруса нет нагрузки, а потому нет и напряжений σr. Следовательно (см. формулу (5.12)1),

1)r = b : σr = 0 → 0 = A/b2 +B(1+2ln b)+2C,

2)r = a : σr = 0 → 0 = A/a2 +B(1+2ln a)+2C.

Напряжения σθ должны уравновешивать заданные торцевые моменты:

b

Z

M = σθ rdr · 1 .

a

Вычислить этот интеграл проще всего при помощи равенства (5.7)2, согласно которому σθ = d2ϕ/dr2. Так как

то (см. также формулу (5.11))

3) M = −A ln (b/a) + B(b2ln b−a2ln a) + (B+C)(b2 −a2).

Совместное рассмотрение граничных условий 1) – 3) дает:

Полученное решение справедливо для бруса узкого прямоугольного сечения. Если задаваемые моменты M распределяются по высоте торцевых сечений иначе, нежели напряжения σθ, то формулы (5.12a) можно применять лишь за пределами зон местных деформаций. Последние занимают приторцевые области бруса глубиною, примерно, h.

По напряжениям (5.12) можно найти перемещения ur и uθ точек рассматриваемого тела. Сделать это надо хотя бы для того, чтобы оправдать

применение гипотезы плоских сечений в технической теории кривого бруса (см. п. II.5.1). В отличие от напряжений искомые перемещения зависят не только от переменной r, но и от угла θ. Пусть этот угол отсчитывается от вертикальной оси симметрии KK (см. рис. 5.8), а точка 0, принадлежащая данной оси, закреплена от любых смещений. Ясно, что с увеличением модуля угла θ от нуля до максимального значения перемещения |uθ| и |ur| также будут возрастать от нуля до своих наибольших значений.

Подстановка напряжений (5.12) в уравнения (5.5) дает

εr = [A(1+ν)/r2 + 2B(1−ν)ln r + (1−3ν)B + 2(1−ν)C] /E,

εθ = [−A(1+ν)/r2 + 2B(1−ν)ln r + (3−ν)B + 2(1−ν)C] /E, γrθ = 0.

Тогда в соответствии с первой из формул (5.4)

ur = [−A(1+ν)/r + 2B(1−ν)rln r −B(1+ν)r + 2C(1−ν)r] /E + f1(θ), (5.14a)

где f1(θ) – функция интегрирования. Теперь видно, что

rεθ − ur = 4Br/E − f1(θ).

С другой стороны (см. равенство (5.4)2), ∂uθ/∂θ = rεθ −ur. Значит,

Z

uθ = 4Brθ/E − f1(θ)dθ + f2(r). (5.14b)

При γrθ = 0 уравнение (5.4)3 принимает вид:

∂u∂θr + r ∂u∂rθ − uθ = 0

или – после подстановки перемещений (5.14a) и (5.14b) –

Пользуясь независимостью аргументов r и θ, можно свести это равенство к двум зависимостям:

где C1 – константа. Первое из соотношений (5.15) эквивалентно уравнению f100 +f1 = 0 с известным решением

f1 = C2 sin θ + C3 cos θ.

На оси KK перемещения uθ отсутствуют при любом значении аргумента r. Значит, C2 = C4 = 0. Постоянную C3 можно найти, полагая, что при θ = 0 и r = (a+b)/2 обращается в нуль перемещение ur. После этого формулам (5.14c) и (5.14d) можно будет придать окончательный вид:

ur = [−A(1+ν)/r+2B(1−ν)rln r −B(1+ν)r+2C(1−ν)r] /E+C3 cos θ,

uθ = 4Brθ/E − C3 sin θ.

Постоянные A, B, C даются зависимостями (5.13). Перемещения uθ линейно зависят от аргумента r, следовательно, поперечные сечения бруса не искривляются. Этим и объясняется практическое совпадение результатов вычислений по формулам (5.12a), полученным без помощи гипотез Бернулли

– Мариотта, и по формулам (II.5.12), (II.5.18) элементарной теории изгиба. Рассмотренная в этом пункте задача была решена в 1881 г. Х. С. Головиным, видным ученым в области теории упругости и строительной механики.

5.4. Задача о полом цилиндре, находящемся под действием внешнего и внутреннего давления. Решение данной задачи получил в 1852 г. Ламе. Полый толстостенный цилиндр (его поперечное сечение изображено на рис. 5.9) подвергается равномерному давлению изнутри и снаружи. Интенсивности нагрузок и радиусы внешнего и внутреннего контуров сечения заданы. Ясно, что напряженно-деформированное состояние тела не зависит от координаты θ, поэтому

τrθ = 0. Напряжения σr и σθ определяются формулами (5.12):

σr = A/r2 + B(1+2ln r) + 2C,

(5.16)

σθ = −A/r2 + B(3+2ln r) + 2C.

Эти напряжения должны удовлетворять только двум граничным условиям:

а потому три константы A, B, C оказываются связанными всего лишь двумя соотношениями. На помощь можно привлечь те же соображения, что использовались в главе 3 при обсуждении краевого эффекта. Дело в том, что функции (5.16) являются решением задачи при любых нагрузках qa, qb и, в частности, при отсутствии внешнего давления. Если же qb = 0, то напряжения σr должны убывать по r, что возможно лишь при B = 0. В этом случае условия 1) и 2) дают:

и так как b>r, то радиальные напряжения σr во всем теле трубы являются сжимающими, обращаясь в нуль лишь при r = b. Окружные напряжения всюду положительны.

Из формул (5.17) видно, что σr +σθ = const, т. е. при любом нагружении сумма радиальных и окружных напряжений постоянна и одинакова во всех точках тела. Стало быть, в зависимости от знаков и значений интенсивностей нагрузок на границах цилиндра последний в направлении оси 0z либо равномерно сжимается, либо равномерно расширяется (эффект Пуассона). В обоих случаях деформация любого тонкого слоя трубы не стесняет деформирования соседних слоев, так что состояние тела можно трактовать и как плоское напряженное, и как плоское деформированное.

5.5. Расчет опорного катка. Пусть длинное цилиндрическое тело нагружается равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q по двум диаметрально противоположным образующим. Каждый тонкий слой тела может рассматриваться как диск, сжатый направленными навстречу друг другу сосредоточенными силами P = q·1 (рис. 5.10a). Если трактовать границу диска как круг Буссинеска и находить напряжения σr(1) и σr(2) в произвольной точке M этой границы от сил P1 и P2 соответственно (см. рис. 5.10b

и формулу (5.10)), то будет получен следующий результат:

σr(1) = σr(2) = −2P/(πD).

Условия равновесия элемента, выделенного около точки M, дают:

т. е. граница диска оказалась равномерно сжатой нагрузкой с интенсивностью q = 2P/πD (рис. 5.10c).

Сказанного достаточно для понимания того, что решение обсуждаемой задачи может быть разбито на четыре этапа. А именно:

1.Для области, ограниченной окружностью диаметром D, решается задача Фламана при воздействии P1 (рис. 5.11a).

2.Для указанной области решается задача Фламана при воздействии P2 (рис. 5.11b)

3. Для этой же области решается задача Ламе при воздействии qa = 0, qb = −σn = 2P/πD (рис. 5.11c), нейтрализующем нагружение (5.18). (При использовании формул (5.17a) берется a=0, b=D/2.)

4. Полученные напряжения приводятся к единой системе координат и складываются.

Доводить решение этой задачи до конца необходимости нет.

5.6. Растяжение пластины, ослабленной круглым отверстием. О такой пластине говорилось при изучении концентрации напряжений. Но если в п. I.3.7 был указан экспериментальный путь исследования проблемы, то теперь будет найдено теоретическое решение.

На рис. 5.12 изображена тонкая пластина, растягиваемая равномерно распределенными торцевыми силами интенсивностью σ. Заданы ширина 2h пластины и диаметр d = 2a кругового отверстия. Считается, что h a. Согласно принципу Сен-Венана, уже в точках окружности радиусом h напряженное состояние будет таким же, что и за пределами круга, очерченного на

рис. 5.12 штриховой линией и ограничивающего зону местных деформаций. Напряжения σn и τn, действующие на площадке, наклоненной под углом θ к вертикали, даются формулами

Из этих равенств видно, что напряжения в зоне местных деформаций могут быть найдены при решении задачи о состоянии кольца, загруженного так, как это показано на рис. 5.13.

Нагрузка q1 приводит к напряжениям σr и σθ, вычисляемым по формулам (5.17) при b= h, qa = 0, qb = −σ/2:

При h a величиною a2/h2 по сравнению с единицей можно пренебречь:

Нормальная нагрузка q2 и касательная нагрузка q3 к полярно симметричным не относятся, а потому при отыскании порождаемых ими напряжений надо обратиться к общим уравнениям плоской задачи теории упругости, например, к уравнению (5.8). Судя по рис. 5.13b и рис. 5.13c, можно ожидать, что при воздействии q2 +q3 напряжения σr и σθ меняются в окружном направлении пропорционально cos 2θ, а напряжения τrθ – пропорционально sin 2θ. В этом случае

где f(r) – функция аргумента r. И в самом деле, согласно формулам (5.7),

т. е. функция Эри (5.20) действительно обеспечивает ожидаемую зависимость напряжений от полярного угла. Подстановка зависимости (5.20) в бигармоническое уравнение (5.8) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно функции f(r):

Общее решение этого уравнения четвертого порядка имеет вид:

f = Ar2 + Br4 + C/r2 + D.

Тогда

df/dr = 2Ar + 4Br3 − 2C/r3, d2f/dr2 = 2A + 12Br2 + 6C/r4,

Граница r = a свободна от нагрузки, так что

1)r = a, σr = 0 : 0 = 2A + 6C/a4 + 4D/a2,

2)r = a, τrθ = 0 : 0 = 2A + 6Ba2 − 6C/a4 − 2D/a2.

На линии r = h напряжения σr, τrθ уравновешиваются нагрузками q2, q3:

3)r = h, σr = 0, 5σ cos 2θ : σ/2 = −2A − 6C/h4 − 4D/h2,

4)r = h, τrθ = −0, 5σ sin 2θ : −σ/2 = 2A + 6Bh2 − 6C/h4 − 2D/h2.

Система уравнений 1) – 4) решается совместно. При этом учитывается, что h a, а потому можно пренебречь слагаемыми a2/h2 и a4/h4 по сравнению с единицей. Итог вычислений следующий:

A= −σ/4 , B = 0 , C = −a4σ/4 , D = a2σ/2 .

Подстановка этих констант в формулы (5.21a) и добавление к напряжениям (5.21a) напряжений (5.19), обусловленных нагрузкой q1, приводят к окончательному результату:

Эпюра напряжений σθ(r), построенная на лучах θ = π/2 и θ = 3π/2, приведена на рис. 5.14. Здесь (см. формулу (5.22)2)

Так как σ – это номинальное напряжение в ослабленном сечении, то коэффициент концентрации напряжений равняется трем. В

точках 1 и 2, где θ = π и θ = 0 соответственно, σθ = −σ, т. е. окрестности названных точек в окружном направлении сжаты. Вычисления показывают, что выведенными для случая h a формулами (5.22) можно пользоваться, если a<h/4. При a= h/4 погрешность зависимостей (5.22) составит 6%.

КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ

Материал настоящей части курса широко освещен в литературе. Это относится как к разделам, посвященным расчету плит и оболочек, так и к части курса, относящейся к анализу плоской задачи теории упругости. Среди многочисленных публикаций по указанным темам есть и чисто теоретические работы, и справочники, и, конечно же, учебные пособия. К последним, в частности, относятся учебники О. И. Теребушко [33] и В. И. Самуля [28], которые содержат все три рассматриваемые здесь раздела механики, но обычно в учебные пособия по теории упругости теорию оболочек не включают. Однако в любом случае авторы отбирают для обсуждения в своих книгах те проблемы, которые более всего отвечают их вкусам и видению курса. Сказанное относится и к настоящему изданию, а потому для приобретения более глубокого и более широкого взгляда на предмет исследования необходимо обращаться к дополнительной литературе. Некоторые сведения о ней приводятся ниже.

Кглаве 1

Вкниге О. И. Теребушко [33, с. 120–188] теория тонких пластин дается достаточно подробно. Возможно, для первого чтения этот учебник труден, так как изложение в нем начинается с вывода уравнений Кармана (в настоящем пособии приводимых без вывода), которые в книге при решении конкретных задач не используются. Но зато в нем даются примеры расчета круглых и кольцевых пластин (с. 138–144, 171–177), а также плит, выполненных из анизотропного материала (с. 168–171). Есть в учебнике [33] и другие интересные примеры, но уж если речь зашла о примерах, то в этом отношении весьма полезна монография С. П. Тимошенко и С. ВойновскогоКригера [37]. В ней каждое сколь-нибудь важное или интересное теоретическое положение иллюстрируется хорошо подобранным, обстоятельно выполненным и всесторонне прокомментированным примером. В книге [37] говорится также о плитах на упругом основании (с. 290–315) и о температурных напряжениях в пластинах. Полезно обратить внимание и на то, как в монографии [37, с. 100–106] формулируются граничные условия при расчете плит. Наконец, здесь можно получить историческую справку почти

окаждой рассматриваемой задаче. Нуждающимся же в сведениях о напряжениях и перемещениях в конкретных конструкциях следует обращаться к специальным изданиям типа справочника [3].

К главе 2

Теория оболочек (даже построенная на основе гипотез Кирхгоффа) перегружена громоздким математическим аппаратом. Другое дело, что вне рамок технической теории анализ напряженно-деформированного состояния оболочек еще более сложен, но для того, кто впервые знакомится с предметом, сказанное служит слабым утешением. Особенно тяжело осмысливать формулы, которые приводятся без вывода, но на которые приходится опираться при изучении материала. Вот почему главу 9 в книге [33, с. 231– 268] лучше читать уже после того, как начальные сведения об оболочках будут получены. Если при изучении главы 2 настоящей части курса возникнут осложнения, то более подробную информацию об основных уравнениях упругих оболочек можно будет почерпнуть в книге Н. В. Колкунова [15, с. 7–41]. Не исключено, что многие предпочтут поступить иначе, а именно: сперва познакомиться с упрощенными вариантами теории (например, при помощи монографии [37, с. 474–625]), а затем уже приступить к изучению общего случая. Содержательная книга А. П. Филина [44] полезна, помимо прочего, и потому, что в ней более или менее подробно излагается теория поверхностей (с. 13–46).

К главе 3

Здесь приводятся частные теории тонких жестких оболочек. Как уже говорилось, в книге С. П. Тимошенко и С. Войновского-Кригера [37] такие теории строятся самостоятельно, т. е. без ссылок на уравнения общей теории. Изложение материала в монографии [37] сопровождается многочисленными примерами. В пособии Н. В. Колкунова [15] подробно говорится о безмоментном состоянии оболочек, цилиндрических оболочках, краевом эффекте (с. 188–211), пологих оболочках (с. 212–242). Во всяком случае, это сделано более детально, чем в настоящем курсе. То же самое можно сказать и о книге А. П. Филина [44]. Наоборот, в учебнике В. И. Самуля [28] материал изложен весьма компактно (например, краевому эффекту отводится всего 6 страниц: с 241 по 247), что делает этот учебник полезным при первом чтении.

К главам 4 и 5

Плоская задача излагается в любом пособии по теории упругости. Теоретическая основа названной задачи проста, так что отличаются эти пособия одно от другого только набором иллюстративных примеров и глубиною проникновения в них. Здесь следует выделить блестяще написанную книгу С. П. Тимошенко и Дж. Гудьера [38]. Плоской задаче отводятся в ней главы 2–6, т. е. половина всей монографии. Книга изобилует примерами, доведенными до числа. Каждый из примеров тщательно анализируется. Учебник