Основы механики твердого деформируемого тела

где ∆ – гармонический оператор в случае функции двух переменных:

∆ = ∂2 + ∂2 . ∂x2 ∂y2

Для исключения из соотношения (4.12) касательных напряжений используются два условия равновесия (4.3), в которых, как уже говорилось, интенсивности X и Y объемных сил считаются постоянными. Уравнения (4.3) дифференцируются по аргументам x и y соответственно, а затем складываются:

С учетом этой формулы зависимость (4.12) приводится к виду:

При плоском напряженном состоянии σz = 0, а при плоской деформации (см. формулу (4.6)) – σz = ν(σx + σy ), т. е. в любом случае окончательный результат будет одинаковым:

Данное уравнение получил французский инженер, специалист в области теории упругости и строительной механики Морис Леви.

Подстановка Эри (4.10) приводит уравнение (4.13) к виду:

Это и есть искомое разрешающее уравнение плоской задачи относительно функции напряжений. После того, как эта функция будет установлена, по формулам (4.10) вычисляются напряжения, а затем и деформации (4.7) либо (4.8). Наконец, при помощи кинематических уравнений (4.4) получают перемещения u и v.

При заданных граничных условиях уравнение (4.14) всегда можно проинтегрировать численно. Но важно, что зачастую это удается сделать и аналитически. Один из способов построения аналитического решения обсуждается в следующем пункте.

4.4. Решение в полиномах. Пусть ϕ = ky2. Данная функция тождественно удовлетворяет уравнению (4.14) и при отсутствии объемных сил приводит к напряжениям (см. формулы (4.10))

На рис. 4.2a изображена тонкая пластина, загруженная по торцам равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью P/h, где P – равнодействующая рассматриваемого погонного воздействия. Напряжения в этом случае даются формулами (4.15) при k = 0, 5P/h. Стало быть, функция ϕ = ky2 отвечает равномерному растяжению пластины по оси 0x.

Если ϕ = ky3, то уравнение (4.14) также будет удовлетворяться при любом значении ко-

эффициента k. При X = Y = 0 формулы (4.10) дают:

σx = 6ky, σy = τxy = 0.

Такие напряжения возникают при чистом изгибе элемента моментами Mz (см. рис. 4.2b), если под k понимать число Mz /(6Iz ), где Iz = h3/12 – момент инерции поперечного сечения, отнесенный, как и изгибающий момент Mz , к единице толщины пластины. Ясно, что при помощи функции ϕ = k1y2 +k2y3 можно описать напряженное состояние прямоугольного элемента, испытывающего изгиб и осевую деформацию одновременно.

Приведенные примеры подсказывают способ действия при произвольной нагрузке на элемент. Он состоит в том, что функцией ϕ задаются в форме полинома с неопределенными коэффициентами akm:

ϕ(x, y) = akm xk ym, k = 0, 1, . . . , k1 , m = 0, 1, . . . , m1 , (4.16)

k, m

а затем находят константы akm, подчиняя эту функцию уравнению (4.14) и краевым условиям задачи. Степень skm слагаемого akmxk ym суммы (4.16) равна сумме степеней аргументов x и y:

skm = k + m.

Наибольшее из чисел skm называют степенью полинома (4.16). Чем ниже эта степень, тем проще строится решение задачи. Приступая к такому решению, следует брать полином небольшой степени и повышать ее только после того, как начальная попытка окажется неудачной. Неудача может быть связана и с невозможностью точно удовлетворить граничным условиям задачи. Поэтому прежде, чем повышать степень полинома, надо попытаться построить решение при смягченных граничных условиях. Если же ни повышение степени функции ϕ, ни смягчение граничных условий к цели не приводят, от построения решения задачи в полиномах придется отказаться.

4.5. Изгиб консоли прямоугольного профиля. Если размер b пластины вдоль оси 0z мал, то можно положить b = 1 (см. рис. 4.3) и иметь дело с задачей плоского напряженного состояния.

Собственный вес пластины не учитывается, т. е. X = Y = 0. Требуется найти напряжения и перемещения в точках рассматриваемого тела.

Решение предложенной задачи можно построить при помощи полинома степени 4:

Согласно равенствам (4.10), σx = ∂2ϕ/∂y2, σy = ∂2ϕ/∂x2, τxy = −∂2ϕ/∂x∂y. При записи последней формулы было учтено, что X = Y = 0. Значит,

τxy = −a11 − 2a12 y − 3a13 y2 − 2a21 x − 4a22 xy − 3a31 x2.

Функция (4.17) должна удовлетворять уравнению (4.14), а напряжения (4.18) – граничным условиям задачи. Так, при заданной нагрузке на верхней и нижней кромках консоли нет напряжений σy и τxy . Занимаясь сначала напряжениями σy , можно записать два условия:

1)y = h/2 : σy = 0 → 0 = 2a20+6a30 x+12a40 x2+a21 h+3a31 hx+a22 0, 5h2,

2)y = −h/2 : σy = 0 → 0 = 2a20+6a30 x+12a40 x2−a21 h−3a31 hx+a22 0, 5h2,

которые должны выполняться при любых значениях аргумента x. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при различных степенях независимой переменной x обращаются в нуль. Из сказанного тут же следует, что

Если теперь условия 1) и 2) сложить, получится равенство

4a20 + a22 h2 + 12a30 x = 0,

из которого видно, что

a30 = 0, 4a20 + a22 h2 = 0.

Но если a30 = 0, то и a31 = 0, ибо только при этих коэффициентах в условиях 1) и 2) имеется множитель x. В таком случае разность между условиями 1) и 2) дает a21 = 0. Итак, для обращения напряжений σy на верхней и нижней границах в нуль требуется, чтобы

Аналогично, но с использованием формул (4.18)3 и (4.19a), учитывается отсутствие на нижней и верхней кромках консоли касательных напряжений:

1)y = h/2 : τyx = 0 → 0 = −a11 − a12 h−0, 75a13 h2 −2a22 hx,

2)y = −h/2 : τyx = 0 → 0 = −a11 + a12 h−0, 75a13 h2 +2a22 hx.

Аргумент x содержится лишь при коэффициенте a22, поэтому

a22 = 0. (4.20)

Но тогда и a20 = 0, что видно по последней из формул (4.19a). Если же из условия 1) вычесть условие 2), то получится равенство a12 = 0. Таким образом,

Полином (4.16) содержит всего три члена степени 4: это слагаемые с коэффициентами a04, a22 и a40. Согласно формулам (4.19) и (4.20), два из них равны нулю. Значит, при подстановке функции ϕ в левую часть дифференциального уравнения (4.14), имеющего четвертый порядок, из всех элементов суммы (4.17) останется только тот, что имеет множитель a04. Стало быть, и этот множитель должен равняться нулю:

Уже выявлено достаточно много коэффициентов полинома (4.17), поэтому имеет смысл заново переписать формулы (4.18) с учетом равенств (4.19a), (4.20a) и (4.21):

σx = 2a02 + 6a03 y + 6a13 xy, σy = 0, τxy = 3a13 (h2/4−y2). (4.18a)

Неопределенными остались три коэффициента. Два из них можно найти сразу же, если учесть, что на краю x = 0 сила P направлена по касательной к контуру пластины, а потому σx = 0. Это условие может быть выполнено лишь при

Уравновешивают же силу P на свободном торце консоли касательные напряжения:

h/2

P = − τxy · 1 · dy .

−h/2

Знак минус перед интегралом поставлен потому, что внешняя нормаль к торцу x = 0 антипараллельна оси 0x, тогда как сила P и ось 0y направлены одинаково. Подстановка под знак интеграла напряжений (4.18a)3 дает:

−h/2

Теперь надо ввести коэффициенты (4.22) и (4.23) в формулы (4.18a), учесть, что h3/12 = Iz , и получить окончательные выражения для искомых напряжений:

Эти напряжения можно записать и иначе, если заметить, что величины

0, 5(h2/4−y2) = Szотс, −P x = Mz , P = Qy

представляют собой соответственно статический момент отсеченной части прямоугольного сечения единичной ширины, изгибающий момент и поперечную силу в консольном стержне. Тогда

Такие же напряжения получаются и по технической теории изгиба. Правда, последняя позволяет находить напряжения в призматических брусьях любого поперечного сечения, но зато решение (4.24) построено без использования гипотез Бернулли – Мариотта. По этой причине его можно рассматривать как подтверждение справедливости элементарной теории. Имеется еще одна точка соприкосновения обсуждаемых теорий. Так, если сила P распределена по торцу консоли не по закону квадратной параболы, то решение (4.24) нельзя использовать вблизи края x = 0. Согласно принципу Сен-Венана, зоны местных деформаций глубиною h, которые примыкают к обоим концам консоли, испытывают более сложное напряженное состояние, нежели описываемое формулами (4.24). Об этом говорилось и при построении технической теории изгиба брусьев.

Перемещения u и v находят так же, как это делалось в п. II.2.2. Сначала при помощи закона Гука (4.8) переходят от напряжений (4.24) к деформациям, а затем выражают через них искомые функции u(x, y) и v(x, y):

При интегрировании первых двух из этих уравнений по переменным x и y соответственно появляются функции f1(y) и f2(x), которые должны удовлетворять как граничным условиям задачи, так и третьему из только что записанных соотношений:

Последнюю формулу можно записать в форме равенства

которое должно выполняться при любых значениях независимых переменных x и y. Это возможно, если обе его части равны некоторой постоянной величине C:

Следовательно,

где C1, C2 – константы интегрирования. При y = 0, т. е. на оси консоли, перемещение u отсутствует, что дает C1 = 0. Перемещение v должно равняться нулю в каждой точке защемленного торца, т. е. при x = l и любом y из интервала [−h/2, h/2]. Но, как видно из равенства (4.25)2, это требование невыполнимо. Приходится смягчать и кинематические граничные условия, считая прогиб равным нулю не во всех точках заделки, а только в точке (l, 0). В этом же месте приравнивается к нулю и угол поворота бесконечно малого элемента оси 0x:

1) x = l, y = 0 : v = 0 → 0 = Cl + P l3/(6EIz ) + C2,

2) x = l, y = 0 : ∂v/∂x = 0 → 0 = C + P l2/(2EIz ).

Отсюда видно, что поперечное сечение бруса не остается плоским – ведь перемещение u содержит слагаемое, в состав которого входит величина y3. Но если l h, указанным слагаемым можно пренебречь. Можно также откинуть в формулах (4.25a) и члены, содержащие множители h2 и y2:

Такими получаются перемещения и по технической теории изгиба призматических брусьев.

И последнее. Если граничное условие 2) заменить требованием равенства нулю угла поворота вертикального (а не горизонтального) линейного элемента тела:

2) x = l, y = 0 : ∂u/∂y = 0 → 0 = −2P l2 − 4CEIz − (1+ν)P h2,

то константы C, C2, а стало быть, и перемещения u(x, y), v(x, y) станут иными. И между этими перемещениями и перемещениями (4.25a) будет именно та разница, о которой говорилось в п. II.3.6 при обсуждении влияния напряжений сдвига на углы поворота поперечного сечения стержня и касательной

кего оси.

4.6.Изгиб шарнирно опертой балки. На рис. 4.4 изображена простая балка, несущая равномерно распределенную нагрузку. Собственный вес балки не учитывается, а потому X = Y = 0. Для решения задачи можно исполь-

зовать полином степени 5. Пусть ϕ0 – часть этого полинома, определяемая равенством (4.17). Тогда

ϕ= ϕ0 + a05 y5 +a14 xy4 +a23 x2y3 +a32 x3y2 +a41 x4y+a50 x5

и(см. формулы (4.10), (4.18))

Нормальные напряжения σy на нижней грани бруса отсутствуют, тогда как на верхней грани они должны уравновешивать заданную нагрузку, сжимающую площадки, к которым данная нагрузка приложена:

1)y = h/2 : σy = 0 → 0 = 2a20 +a21 h+12a40 x2 +a23 h3/4,

2)y = −h/2 : σy = −q → −q = 2a20 −a21 h+12a40 x2 −a23 h3/4.

Отсюда вытекает, что

и совместное решение системы (4.28)–(4.29) приводит к коэффициентам

что позволяет привести уравнение (4.14) к виду:

24 a04 + 120 a05 y − 24 qy/h3 = 0.

Полученное равенство должно выполняться при любом значении y. Значит,

a04 = 0, a05 = q/(5h3),

Эти напряжения на торцах балки, т. е. при x = ±l и любом y, должны отсутствовать. Однако наличие в формуле (4.30) слагаемого 4qy3/h3 не позволяет такое требование реализовать. Приходится идти на смягчение граничных

условий, приравнивая к нулю усилия N и Mz , порождаемые напряжениями σx, а не сами эти напряжения:

Далее учитываются формула (4.30) и тот факт, что интегралы от нечетных степеней аргумента y обращаются в нуль:

Интересно сравнить этот результат с напряжениями, даваемыми элементарной теорией изгиба. Согласно последней, σy ≡ 0 (волокна не давят друг на друга). На самом же деле напряжения σy существуют и они меняются по высоте бруса по закону кубической параболы (см. рис. 4.5a), достигая