Основы механики твердого деформируемого тела

Через D обозначена цилиндрическая жесткость (1.8).

Формулы (2.16) не содержат соотношений, связывающих поперечные силы со сдвигами. Это и понятно: согласно гипотезе прямой нормали,

γ13 = γ23 = 0, а потому связь между величинами Q1, Q2 и γ13, γ23 невозможна. Подобная картина наблюдалась также при построении технических

теорий изгиба брусьев и пластин. Поперечные силы находят из двух последних условий равновесия (2.6) уже после того, как будут установлены крутящий и изгибающие моменты.

Из формул (2.16), в частности, следует (ведь F = h · 1):

Стало быть (см. равенство (2.15)),

σ1 = NF1 + MI1 a3.

Точно так же можно связать с усилиями и все остальные компоненты тензора напряжений. Если отождествить координату a3 с переменной z, получаются уже знакомые по теории изгиба брусьев и плит зависимости (i=1, 2):

Эти равенства дают ответ на вопрос, почему задача о напряженном состоянии оболочки считается решенной, как только будут найдены все усилия.

2.5. Полная система уравнений оболочки и способы ее решения.

Полная система уравнений оболочки состоит из пяти условий равновесия (2.6), шести геометрических соотношений (2.7), (2.13) и шести физических уравнений (2.16), т. е. всего из 17 равенств. Неизвестными являются:

–усилия N1, N2, T , Q1, Q2, M , M1, M2;

–деформации ε1, ε2, γ, κ1, κ2, χ;

–перемещения u1, u2, u3,

т.е. 17 функций координат α1 и α2. Таким образом, полная система урав-

нений краевой задачи о напряженно-деформированном состоянии оболочки является замкнутой. Эта система должна быть проинтегрирована с учетом граничных условий, определяемых способами закрепления оболочки. Наиболее просто формулируются граничные условия в случае, когда края оболочки принадлежат главным нормальным сечениям срединной поверхности. Краевые условия, как известно, могут быть кинематическими, статическими и смешанными.

a) Кинематические граничные условия. Если край оболочки защемлен по линии α1, то в точках этой линии, т. е. при α2 = const, должны отсутствовать как линейные перемещения u1, u2, u3, так и угол поворота θ2. Таким образом, здесь формулируются четыре граничных условия.

b) Статические граничные условия. На незакрепленном и ненагруженном крае оболочки отсутствуют все пять компонент усилий. При учете данного обстоятельства необходимо иметь в виду, что усилия M , Qi и T связаны между собой. Эту связь можно установить точно так же, как были установлены зависимости (1.12) между усилиями в плитах. Другими словами, потребуется записать условия равновесия элемента, выделенного из тела оболочки четырьмя нормальными сечениями, содержащими линии α1 и α2. Получающиеся в результате соотношения между усилиями в оболочке приводятся здесь без вывода:

В частности, на свободном крае α2 = const должны выполняться четыре условия:

c) Смешанные граничные условия. Если край оболочки не является защемленным или свободным, то граничные условия на нем будут смешанными. Примеры формулировки смешанных краевых условий приведены на

рис. 2.16. Из рисунка видно, что и здесь дело сводится к записи некоторых четырех соотношений.

Решать полную систему уравнений оболочки можно в усилиях, перемещениях или смешанным способом. При решении в усилиях в качестве основных неизвестных выбираются функции N1, N2, T , M1, M2 и M , зависящие от аргументов α1 и α2. Шесть уравнений, связывающих между собой названные усилия, получают следующим образом. Сначала из условий равновесия (2.6) при помощи формул (2.6)4 и (2.6)5 исключают поперечные силы и к трем оставшимся равенствам добавляют три соотношения (2.14), предварительно заменив в них деформации на усилия при помощи закона Гука (2.16). После упрощающих преобразований получаются соотношения, аналогом которым являются уравнения Бельтрами – Мичелла (I.7.2).

Приводить разрешающие уравнения задачи о напряженно-деформиро- ванном состоянии оболочки ни в усилиях, ни в какой-либо иной форме необходимости нет: такие уравнения в настоящем пособии использоваться не будут. Однако иметь представление о том, как разрешающие уравнения могут быть выведены, полезно. Это относится и к уравнениям в перемещениях. Основные неизвестные u1, u2 и u3 находят из тех трех условий равновесия (2.6), которые остаются после исключения поперечных сил. Но сперва в них по закону Гука (2.16) усилия заменяются на деформации, каковые и переводятся в перемещения при помощи формул (2.13).

Если же оболочка рассчитывается смешанным методом, то в роли основных неизвестных выступают частично усилия и частично перемещения. Выбор основных неизвестных неоднозначен, и в зависимости от него система разрешающих уравнений имеет тот или иной вид.

ГЛАВА 3. ЧАСТНЫЕ ТЕОРИИ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК

3.1. Введение. Многие оболочки обладают свойствами, учет которых позволяет заметно упростить расчет этих конструкций. В качестве одного из примеров можно привести оболочки вращения (см. рис. 2.4), статические и кинематические уравнения которых из-за осевой симметрии конструкции имеют более простую, чем в общем случае, форму. Наделены индивидуальными качествами и так называемые пологие оболочки. При описании их геометрии пользуются евклидовой метрикой на плоскости, полагая, что ds2 = dx2 +dy2, т. е. что A1 = A2 = 1. Особый интерес представляют безмоментные оболочки. В п. II.5.5 было введено понятие рациональной арки как конструкции, в которой при данном воздействии отсутствует деформация изгиба. При другом воздействии та же арка уже не будет безмоментной. Но ось арки – это всего лишь одна искривленная линия, тогда как срединная поверхность оболочки состоит из бесчисленного множества различным образом искривленных линий, образующих единое целое. Поэтому зачастую обеспечить безмоментное состояние одной и той же оболочки удается при самых разных нагружениях. Оболочку называют безмоментной, если в ней нет деформаций изгиба и кручения. Естественно считать состояние оболочки безмоментным и в том случае, когда усилия M1, M2, M , Q1 и Q2 приводят к напряжениям, пренебрежимо малым по сравнению с напряжениями от усилий N1, N2 и T . Исследования показывают, что состояние оболочки может рассматриваться как безмоментное, если выполняются нижеперечисленные условия.

1.Срединная поверхность оболочки гладкая и односвязная.

2.Нагрузка на оболочку меняется плавно и непрерывно.

3.Края оболочки могут беспрепятственно перемещаться в направлении нормали к срединной поверхности.

4.Нагрузка на краю оболочки расположена в касательной к срединной поверхности плоскости.

На первый взгляд, эти ограничения столь жестки, что класс безмоментных оболочек должен быть весьма узким. Особенно обременительными выглядят требования 3 и 4. Но во многих случаях нарушение этих требований приводит лишь к появлению у границ оболочки зон локальных деформаций, т. е. к возникновению изгиба и кручения только в непосредственной близости от опор. Такое явление называют краевым эффектом. При разделении напряженно-деформированного состояния оболочек на общее и краевой эффект их расчет упрощается.

Из сказанного становится ясной необходимость в построении индивидуальных теорий, с помощью которых напряженно-деформированное состояние каждого конкретного класса оболочек описывается наиболее просто. Имеется еще одна причина, заставляющая обращаться к частным теориям оболочек. Дело в том, что найти усилия и перемещения в оболочке произвольного вида можно лишь численно. Анализ результатов расчета, установленных численными методами, при первом знакомстве с предметом малоэффективен. Путь же к аналитическим решениям задачи открывают частные теории.

3.2. Уравнения состояния безмоментных оболочек. При отсутствии всех трех моментов и обеих поперечных сил из пяти условий равновесия (2.6) нетривиальными остаются только три первых уравнения:

Эти три уравнения содержат три неизвестных усилия: N1, N2, T . Стало быть, безмоментное состояние оболочки статически определимо. После решения системы (3.1) можно найти деформации ε1, ε2 и γ, для чего потребуются физические соотношения (2.16). Последние сводятся к трем равенствам:

Геометрические уравнения также состоят из трех зависимостей (см. формулы (2.7)):

Отсюда по известным деформациям находят перемещения u1, u2 и u3. Интегрирование уравнений (3.1)–(3.3) в общем случае выполняется численно, и все же данная краевая задача намного проще исходной.

Физические соотношения сохраняют форму (3.2).

Если нагрузка осесимметрична, то решение задачи может быть получено в замкнутой форме. Из трех уравнений равновесия (3.8) в этом случае нетривиальными остаются только два:

d(rN1)/dϕ − N2R1 cos ϕ + q1rR1 = 0, N1/R1 + N2/R2 = q3

или

N2R1 = q3R1R2 − N1R2, d(rN1)/dϕ + R2N1 cos ϕ = R1(q3R2 cos ϕ − q1r).

Но (см. равенство (3.4)) R2 = r/ sin ϕ, cos ϕ = d(sin ϕ)/dϕ, так что d(rN1 sin ϕ)/dϕ = R1R2 (q3 cos ϕ − q1 sin ϕ) sin ϕ,

а тогда

N2 = R2q3 − R2N1/R1.

Постоянная C определяется граничными условиями задачи. По усилиям (3.10) получают деформации (закон Гука):

ε1 = (N1 − νN2)/(Eh), ε2 = (N2 − νN1)/(Eh), γ = 0.

Остается найти перемещения u1 и u3. Из формул (3.9), (3.4) следует dudϕ1 + u3 = EhR1 (N1 − νN2) , u1ctg ϕ + u3 = EhR2 (N2 − νN1) .

Дальнейшее определяется заданными функциями q1(ϕ) и q3(ϕ).

3.6. Расчет сферического купола на действие собственного веса.

Пусть срединная поверхность оболочки является частью сферы, характеризуемой центральным углом 2α и радиусом R (рис. 3.3). Оболочка, закрепленная по кромке ϕ = α, несет распределенную нагрузку в виде собственного веса с интенсивностью q. Очевидно,

q1 = q sin ϕ, q3 = −q cos ϕ.

Рассматриваемая конструкция испытывает осесимметричное напряженнодеформированное состояние, а потому усилия в ней определяются формулами (3.10). Так как в сфере R1 = R2 = R, то

Константу C можно найти из условия равновесия верхней отсеченной части сферы (рис. 3.4):

a3 = 0 : (N1 · 2πR sin ϕ) · sin ϕ + qΩ = 0,

где

Ω= 2πR2 (1 − cos ϕ)

–площадь поверхности части купола с углом раствора 2ϕ. Таким образом,

Из сравнения двух полученных выражений для усилия N1 видно, что C = 0. Следовательно,

Эпюры этих усилий даны на рис. 3.5. Для оболочки, выполненной в виде полусферы (α = π/2), нижние ординаты эпюр равны величинам −qR и qR соответственно. На параллели ϕ ≈52o окружная сила N2 равна нулю. Значит, при α < 52o в оболочке растягивающих усилий не будет вообще, что важно, если материал оболочки плохо работает на растяжение.

Если α = π/2 и оболочка оперта так, как это показано на рис. 3.6a, то условия существования безмоментного состояния (см. п. 3.1) выполняются. Такая конструкция и в самом деле является безизгибной. Но при α = π/2 (рис. 3.6b) опорные реакции не будут направлены по касательным к меридиа-