Основы механики твердого деформируемого тела

302 Часть III

вают, что уже при b/a = 5 значения максимальных по модулям прогибов и усилий мало отличаются от тех, что отвечают случаю b/a → ∞.

Пусть плита по кромкам x=0 и x=a шарнирно оперта. Согласно формулам

При x=a/2 прогиб w максимален: max w =5qa4/(384D). Усилия в конструкции определяются формулами (1.10):

Нетрудно также, отталкиваясь от зависимости (1.15) и используя граничные условия типа (1.13), найти прогибы и усилия в плите, длинные кромки

1.6. Изгиб эллиптической плиты. Плита эллиптического контура, изображенная на рис. 1.11, защемлена по краям. Требуется найти усилия и перемещения в плите при действии равномерно распределенной нагрузки. Задача состоит в интегрировании уравнения (1.9) при граничных условиях типа

Второе из ограничений (1.17) можно заменить условиями

∂w/∂x|S = 0, ∂w/∂y|S = 0,

ибо если линейный элемент, выделенный около точки A контура S, не поворачивается относительно осей 0x и 0y, то не будет он поворачиваться и относительно нормали n к линии (1.18).

Структуру функции w(x, y), доставляющей решение задачи, можно указать априори. И в самом деле (ср. со сказанным в п. II.7.3 относительно выбора функции напряжений для закручиваемого эллиптического сечения), ведь зависимость w(x, y) должна быть такой, чтобы четвертые производные от w(x, y) были постоянными – иначе не удовлетворится уравнение (1.9), а сама функция w(x, y) и ее первые производные должны обращаться в нуль на линии (1.18). Всем этим требованиям удовлетворяет поверхность

Для определения усилий надо воспользоваться соотношениями (1.10). Если в зависимости (1.20) перейти к пределу при b → ∞, то получит-

ся решение (1.16) для бесконечно длинной прямоугольной плиты, а если принять a=b=R, то функция

опишет прогибы защемленной по контуру круглой пластины радиусом R.

1.7. Изгиб прямоугольной плиты.

Пусть плита, шарнирно опертая по всем четырем кромкам, несет синусоидальную нагрузку (рис. 1.12):

удовлетворяет краевым условиям (1.14a) и подстановка зависимостей (1.21) и (1.22) в формулу (1.9a) приводит к равенству

определяющему прогиб w0 в середине плиты, то решение получено:

прогибы плиты определяет зависимость

а так как ограниченную функцию можно представить в форме двойного ряда Фурье по синусам, то решение задачи об изгибе шарнирно опертой прямоугольной плиты при произвольной нагрузке имеет вид:

Постоянная величина q раскладывается в двойной ряд Фурье при нечет-

поэтому в случае действия равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q прогибы плиты определяет функция

Приведенное решение задачи принадлежит Навье.

Ряд (1.23a) быстро сходится, что видно на примере вычисления максимального прогиба плиты квадратного плана. При a = b, x = y = a/2 формула

Значения αmn для m, n = 1, 3, 5 приводятся в таблице 1.1. Глядя на эту таблицу, можно понять, почему при отбрасывании в сумме (1.24) всех слагаемых, кроме первого, погрешность не превышает 3%.

1.8. О классификации плит. Плиты, толщина h которых не выходит за пределы верхней границы неравенств (1.1), называются тонкими. Если к тому же напряженно-деформированное состояние тела таково, что выполняются все четыре гипотезы, сформулированные в п. 1.1, то конструкция относится к категории тонких жестких плит. Такие плиты имеют широкое распространение в строительстве. Нижняя грань неравенств (1.1) для тонких жестких плит условна. Она зависит от материала, способов закрепления пластины, внешнего воздействия. С уменьшением относительной толщины плиты увеличиваются ее прогибы и гипотеза 4 становится неприменимой. Для увеличения жесткости такой пластины ее края закрепляют от горизонтальных перемещений, что приводит к появлению так называемых цепных усилий. Последние порождают осевые и сдвиговые деформации срединной плоскости, а потому неправомерно использовать и третье из разобранных в п. 1.1 допущений. Плиты, для которых остаются справедливыми только две первые гипотезы Кирхгоффа, получили название тонких гибких плит. Гибкие плиты применяются в машиностроительных конструкциях.

Теория тонких гибких плит была разработана в начале ХХ века немецким исследователем Т. Карманом, который пришел к следующей системе из двух разрешающих уравнений относительно двух искомых функций w(x, y)

и F (x, y):

Через F здесь обозначена функция усилий, т. е. функция, при дифференцировании которой получаются продольные и сдвигающая силы:

Система уравнений (1.25) нелинейна. Если прогибы сравнительно невелики, то квадратами вторых производных в правой части первого из уравнений (1.25) пренебрегают, приводя это уравнение к виду F = 0. Отсюда функцию F можно найти независимо от прогибов, после чего из уравнения (1.25)2 определяется перемещение w(x, y). И хотя описываемая задача проще исходной, решать ее в общем случае приходится численно. При F ≡ 0 цепные усилия отсутствуют и система (1.25) сводится к уравнению (1.9).

Существует еще класс абсолютно гибких плит, так называемых мембран. В этих конструкциях возникают только цепные усилия. Уравнения состояния мембраны вытекают из соотношений (1.25) при D = 0. Если сдвиги отсутствуют, а натяжение во всех направлениях одинаково (мыльная пленка), то, согласно формулам (1.26),

Именно это уравнение было получено в п. II.7.5 при описании мембранной аналогии в задаче свободного кручения брусьев.

Уравнения Кармана необходимы при анализе устойчивости любых тонких плит, в том числе и жестких. Кроме того, только с их помощью можно с полной определенностью установить, к какому классу пластин относится рассматриваемая конструкция. Что же касается толстых плит (h>0, 2L), то для описания их состояния используются различные технические теории, построенные на разных предположениях о характере деформирования тела. Здесь такие теории не рассматриваются.

ГЛАВА 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК

2.1. Геометрия оболочек и основные допущения о характере их деформирования. Оболочка – это тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние h между которыми мало по сравнению с другими размерами тела. Здесь рассматриваются оболочки постоянной толщины h, выполненные из линейно-упругого материала. Поверхность, делящая толщину h попо-

лам, называется срединной поверхностью оболочки. Геометрия оболочки – это геометрия ее срединной поверхности.

Через каждую точку произвольной поверхности Ω можно провести множество линий αi, ей принадлежащих (см. рис. 2.1, на котором изображена малая окрестность точки C). Если поверхность гладкая, то все касательные к линиям α в точке C находятся в одной плоскости T , называемой касательной плоскостью к поверхности. Нормаль n к плоскости T в точке C есть также нормаль к поверхности Ω в этой точке. Любая плоскость, содержащая нормаль n, пересекает поверх-

ность Ω по кривой, центр кривизны которой находится на прямой n. Как раз такие кривые и показаны на рис. 2.1. Радиусы Ri кривизн различных кривых αi в точке C различны. Из теории поверхностей известно, что среди множества линий αi, проходящих через точку C и принадлежащих нормальным сечениям поверхности Ω, имеются две линии α1 и α2, обладающие следующими свойствами:

a) кривые α1 и α2 ортогональны друг к другу;

b) радиусы R1 и R2 кривизн линий α1 и α2 являются наибольшим и наименьшим (соответственно) на множестве радиусов Ri линий αi.

Плоскости, содержащие линии α1 и α2, называются главными нормальными сечениями поверхности, а радиусы R1 и R2 – главными радиусами

кривизны в точке C. Обратные к радиусам R1 и R2 величины κ1 = 1/R1,

κ2 = 1/R2 – суть главные кривизны поверхности. Гауссовой кривизной поверхности в точке C называют произведение

κ = κ1κ2.

Если κ > 0, то говорят, что поверхность в точке C имеет положительную гауссову кривизну, или просто – положительную кривизну. Кривизна поверхности в точке C считается отрицательной при κ < 0 и нулевой – при κ = 0. К поверхностям, кривизна которых всюду положительна, относятся сфера, параболоид вращения, некоторые другие поверхности (см. рис. 2.2a). Всюду отрицательна гауссова кривизна у гиперболоида вращения и седлообразной поверхности (рис. 2.2b). В любой точке конической, цилиндрической или складчатой поверхности кривизна равна нулю (рис. 2.2c). На торе (рис. 2.2d) представлены области всех трех типов. На линиях L1, L2 гауссова кривизна нулевая, на внешней по отношению к оси z–z части тора – положительная, а на внутренней – отрицательная.

Положение точки на поверхности удобно фиксировать в криволинейной системе координат, в частности, в системе, образованной линиями α1 и α2. Такой базис называют главным. Метрика поверхности в этом ортогональном базисе, т. е. правило, по которому измеряется расстояние между двумя точками на поверхности, устанавливается следующим образом. С точностью до величин второго порядка малости можно считать, что длины хорд ds1 и ds2 (рис. 2.3) пропорциональны длинам dα1 и dα2 их дуг:

Коэффициенты пропорциональности A1 и A2, называемые также коэффициентами Ламе поверхности, определяются формой последней. Очевидное соотношение ds2 = (ds1)2 + (ds2)2 с учетом равенств (2.1)

может быть преставлено в виде:

ds2 = A21(dα1)2 + A22(dα2)2.

Пусть (рис. 2.4) поверхность, образованная вращением гладкой кривой относительно оси 0z, отнесена к цилиндрической системе координат r, θ, z. Так как

ds1 = rdθ, ds2 = 1 + (dr/dz)2 dz,

то, согласно формулам (2.1),

A1 = r, A2 = 1 + (dr/dz)2 .

Приведенных выше сведений о геометрии поверхностей достаточно, чтобы перейти к построению так называемой технической теории деформирования тонких жестких оболочек. Этот термин свидетельствует о том, что в классификации плит и оболочек есть много общего. В частности, к тонким оболочкам относят конструкции, для которых R2/30 > h > R2/1000 (предполагается, что R2 < R1). Данному диапазону толщин отвечают жесткие, гибкие и абсолютно гибкие оболочки. Грань между этими типами оболочек условна. Многое зависит от того, с какой точностью допустимо находить напряжения и перемещения в теле. Тонкой жесткой оболочкой считается конструкция, при анализе напряженно-деформированного состояния которой можно опереться на следующие допущения.

1)Гипотеза прямой нормали: прямолинейный элемент, ортогональный к срединной поверхности, при деформировании оболочки не искривляется, не удлиняется, а лишь поворачивается, оставаясь ортогональным к названной поверхности.

2)Гипотеза об отсутствии взаимодействия между слоями оболочки: нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями на площадках, ортогональных к ней.

3)Перемещения точек тела оболочки малы.

Допущение же о недеформируемости срединной поверхности оболочки принимать нельзя (ср. с гипотезой 3 п. 1.1). В этом отношении оболочка так же отличается от плиты, как арка от балки. И арка, и оболочка – распорные конструкции, и в них обязательно присутствуют цепные усилия. Более того, нетрудно указать силовое воздействие, которое в арке (см. п. II.5.5) или в оболочке вообще не вызовет изгиба, тогда как представить себе реальную нагрузку, не приводящую к продольным силам в указанных конструкциях, сложно. Поэтому жесткие и гибкие оболочки отличают друг от друга не