Основы механики твердого деформируемого тела

которых раздавались упомянутые выше векселя, будут основательно забыты. Многое из того, о чем пойдет речь в этой части курса (см. главы 4–5), имеет прямое отношение к сказанному.

ГЛАВА 1. ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛИТ

1.1. Вводные положения. Плита (пластина) постоянной толщины – это тело, имеющее форму прямой призмы с небольшой по сравнению с размерами оснований высотой h. Плоскость, которая делит высоту плиты пополам, называют срединной плоскостью. Контур плиты представляет собой линию, получающуюся при пересечении срединной плоскости с боковыми гранями пластины (рис. 1.1). Ниже рассматриваются только тонкие плиты, толщины

которых h удовлетворяют условию

Через L обозначен меньший из размеров A и B.

При исследовании напряженно-де- формированного состояния тонких изгибаемых плит используются так назы-

ваемые гипотезы Кирхгоффа. Речь идет о допущениях относительно характера деформирования указанных тел, сформулированных Кирхгоффом в середине XIX века. Выдвигая эти гипотезы, известный немецкий физик во многом следовал Бернулли и Мариотту (см. п. II.2.1).

1.Гипотеза прямой нормали: отрезок, перпендикулярный к срединной плоскости, при изгибе плиты не искривляется, не меняет своей длины, а только поворачивается, оставаясь нормальным к изогнутой срединной поверхности.

2.Гипотеза о ненадавливании слоев плиты друг на друга: нормальные напряжения между слоями плиты, параллельными срединной плоскости, пренебрежимо малы по сравнению с нормальными напряжениями в сечениях, ортогональных к этой плоскости.

При помощи этих гипотез можно построить только теорию чистого изгиба плит. Впрочем, и гипотез Бернулли – Мариотта было достаточно лишь для изучения изгиба брусьев без поперечной силы, тогда как в общем случае пришлось еще пренебречь влиянием сдвигов на нормальные напряжения. Об

этом было сказано в п. II.3.1. В теории плит аналогичное допущение оформляется следующим образом:

3. Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: при изгибе плиты срединная плоскость переходит в искривленную поверхность, не испытывая осевых и сдвиговых деформаций.

Принятие гипотез 1 и 3 приводит к тому, что сдвигов γxz и γyz не будет во всем теле плиты. Это означает, что при выводе формул для касательных напряжений на связь между деформациями γxz, γyz и напряжениями τxz, τyz, даваемую законом Гука, опереться не удастся. Касательные напряжениях, как и в брусьях (см. вывод формул (II.3.4) и (II.3.6)), придется находить из условий равновесия.

Осевая деформация срединной поверхности плиты возможна лишь при наличии осевых усилий. Последние могут быть порождены внешней нагрузкой. Ниже будет рассматриваться только силовое воздействие, прикладываемое перпендикулярно к одному из оснований плиты. Для отсутствия продольных сил требуется также, чтобы опорные устройства не препятствовали перемещениям точек контура плиты в горизонтальном направлении либо прогибы w плиты были незначительны. Причем незначительны они должны быть настолько, чтобы обеспечить высший порядок малости перемещений u и v по сравнению с прогибами. Такое ограничение полезно и в том отношении, что оно позволяет решать задачу об изгибе плиты в геометрически линейной постановке. Итак,

4. Гипотеза о малости вертикальных перемещений: прогибы точек срединной плоскости не превышают 0, 1÷0, 2 толщины плиты.

И последнее: материал пластины считается линейно-упругим.

1.2. Напряжения в тонких плитах. На рис. 1.2 изображен фрагмент пластины до и после ее изгиба. Так как срединная плоскость не деформируется (гипотеза 3) и перемещения малы (гипотеза 4), то точка 01, принадлежащая срединной плоскости, перейдет в положение 001, двигаясь строго по вертикали. Находящаяся на этой же вертикали точка A займет положение A0. Отрезок 01A в процессе деформирования плиты длины не меняет (гипотеза 1), а так как 001A0 ≈ 001A00 = z, то все точки, принадлежащие нормали к срединной поверхности, перемещаются вдоль оси 0z на одинаковое расстояние. Сказанное означает, что прогибы плиты зависят только от координат x и y ее точек: w =w(x, y), а потому в дальнейшем под w можно понимать вертикальные перемеще-

ния точек срединной плоскости плиты.

Из гипотезы прямой нормали и выполненного на ее основе рис. 1.2 следует, что

u = A0A00 = −ztgα = −z · ∂w∂x .

Аналогично выражается через прогиб и перемещение v, так что

Теперь для представления напряжений в виде функции прогиба w нужно лишь последовательно использовать основные уравнения теории упругости. Прежде всего при помощи геометрических соотношений Коши (I.5.7)

и формул (1.2) через прогиб w выражаются деформации:

Эти же деформации связаны с напряжениями по закону Гука (I.6.6), при записи которого модуль сдвига заменяется на модуль E по формуле (I.6.3):

В этих формулах отсутствуют напряжения σz, вклад которых в процесс деформирования плиты, согласно гипотезе 2, пренебрежимо мал по сравнению со вкладом двух других нормальных напряжений. Из формул (1.4) следует:

Таким образом, и напряжения σx, σy, связанные с деформацией изгиба, и напряжения τxy, порождающие крутящий момент, меняются по толщине плиты линейно, что и демонстрирует рис. 1.3.

Для отыскания напряжений τxz и τyz используются уравнения равновесия (I.2.6). Первое из них имеет вид:

∂σ∂xx + ∂τ∂yxy + ∂τ∂zxz + X = 0.

При X = 0, т. е. при отсутствии объемных сил, отсюда следует (см. также формулы (1.5)):

Прогиб w – функция только двух переменных. Оператор Лапласа (I.7.1) для таких функций имеет вид: =∂2/∂x2 +∂2/∂y2, так что

Эти напряжения должны удовлетворять граничным условиям

Эпюры этих напряжений даны на рис. 1.4.

1.3. Разрешающее уравнение изгиба плиты. Из равенств (1.5) и (1.6) следует, что функция w(x, y) играет роль функции напряжений: после того, как прогибы w(x, y) будут найдены, все искомые напряжения устанавливаются при помощи операции диф-

ференцирования. Другими словами, перемещение w(x, y) полностью определяет напряженно-деформированное состояние плиты. Для отыскания одной неизвестной функции нужно лишь одно уравнение и его можно получить при помощи третьего из условий равновесия Навье (I.2.6):

∂τxz + ∂τyz + ∂σz + Z = 0. ∂x ∂y ∂z

В задачах статики объемные силы обычно связаны с собственным весом тела. Как правило, собственный вес плиты намного меньше поверхностной нагрузки, так что им можно либо пренебречь, либо добавить к основному воздействию. Если же Z =0, то

∂σ∂zz = −∂τ∂xxz − ∂τ∂yyz .

Напряжения τxz и τyz подставляются сюда по формулам (1.6):

Выражение в квадратных скобках можно записать более компактно, если воспользоваться обозначением

поправки, после чего провозгласил автора доклада победителем конкурса. Софи Жермен опубликовала свою работу в откорректированном виде только в 1815 г. С тех пор уравнение (1.9) связывают то с именем Лагранжа, то с именем Софи Жермен, а иногда – и с именами обоих исследователей.

Константа (1.8), входящая в уравнение (1.9), называется цилиндрической жесткостью пластины. Изгибная жесткость EI стержня прямоугольного поперечного сечения высотой h и шириной в единицу равна величине Eh3/12. Стало быть, цилиндрическая жесткость больше изгибной жесткости в 1/(1−ν2) раза.

Техническая теория изгиба плит практически построена. Остается обсудить лишь ряд вопросов, связанных с реализацией вычислений. Но перед этим имеет смысл обратить внимание на те уравнения теории упругости, которые с предлагаемым решением задачи не согласуются. Поскольку прогиб w зависит только от координат x и y, а перемещения u и v определяются равенствами (1.2), то из геометрических соотношений Коши (I.5.7) получается, что

Но тогда (закон Гука)

σz = ν(σx + σy), τxz = 0, τyz = 0,

а это противоречит как соотношению (1.7a), так и равенствам (1.6). Однако погрешность решения, получаемого на основе рассматриваемой здесь теории изгиба плит, незначительна, а потому на отсутствие полного соответствия друг другу деформаций и напряжений не обращают внимания.

1.4. Краевые условия. Усилия в плитах. Способы закрепления пластин многообразны. Каждое опорное устройство накладывает свои ограничения на перемещения и напряжения в том месте, где оно расположено. Например, все точки защемленного края плиты не имеют никаких перемещений, тогда как во всех точках свободного торца отсутствуют какие бы то ни было напряжения. Если край шарнирно оперт, то на нем невозможны нормальные напряжения и прогибы. Указанные ограничения совершенно естественны, однако настаивать на их безусловном выполнении было бы бессмысленно. И в самом деле, нельзя же требовать от функции w, зависящей лишь от координат x и y, чтобы она удовлетворяла граничным условиям и по координате z, т. е. чтобы прогиб равнялся, скажем, нулю не только в точках контура S пластины, но и во всех других точках рассматриваемой кромки плиты. Аналогично обстоит дело и с напряжениями. Сказанное означает, что краевые условия придется смягчать, относя кинематические ограничения лишь

к точкам линии S, а статические – к интегральным характеристикам напряжений, т. е. к усилиям. При использовании смягченных граничных условий (см. п. I.3.8) получаемое решение нельзя будет распространить на зоны, примыкающие к кромкам плиты. Как известно, глубина таких зон местных деформаций относительно мала: она не превышает размера h.

Итак, переход от напряжений к усилиям необходим хотя бы потому, чтобы иметь возможность формулировать краевые условия задачи. Однако опыт изучения простейших деформаций стержней свидетельствует о том, что роль усилий в механике твердого деформируемого тела участием в записи смягченных граничных условий не исчерпывается. В плитах

под усилиями понимают составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил взаимодействия, приходящиеся на единицу длины вертикального разреза плиты. Ниже будут рассматриваться разрезы x = const и y = const. По определению (рис. 1.6):

Формулы для усилий My и Qx записываются аналогично. Подстановка в приведенные выше равенства напряжений (1.5) и (1.6) дает:

и т. д. Следовательно,

где I – момент инерции прямоугольника единичной ширины относительно центральной оси. При сопоставлении этого равенства с первым из равенств (1.10) видно, что σy = Mxz/I. Всего же будет пять зависимостей между напряжениями и усилиями, внешне похожих на аналогичные зависимости для брусьев:

В этих формулах Sотс = (h2 −4z2)/8 – статический момент отсеченной части сечения плиты относительно оси 0x или 0y, приходящийся на единицу длины сечения.

Усилия (1.11) не являются независимыми. Они, как и в балках, связаны между собой дифференциальными соотношениями, которые можно установить при помощи условий равновесия элемента, выделенного из плиты вертикальными разрезами (рис. 1.7). Через t–t на рис. 1.7 обозначена ось, проведенная через центр элемента параллельно оси 0x. Приравниваются к нулю проекции всех сил, приложенных к элементу, на ось 0z и момент этих же сил относительно оси t–t:

(Qx + dQx)dy − Qxdy + (Qy + dQy)dx − Qydx + qdxdy = 0,

(Mx + dMx)dx − Mxdx + (Mxy + dMxy)dy − Mxydy−

− (Qy + dQy)dxdy/2 − Qydxdy/2 = 0

или

dQxdy + dQydx + qdxdy = 0,

dMxdx + dMxydy − Qydxdy − dQydxdy/2 = 0.

Подчеркнутый член имеет высший порядок малости по сравнению с остальными слагаемыми и может быть отброшен. Tак как

то полученные выше равенства и добавленная к ним при помощи круговой подстановки символов еще одна зависимость примут окончательный вид:

Теперь все готово для того, чтобы обратиться к обсуждению правил формирования граничных условий. На рис. 1.8 изображен прямолинейный участок AB контура пластины, ориентированный параллельно оси абсцисс. Если край AB защемлен, то на искомую функцию w(x, y) накладываются ограничения

смысл которых очевиден. Если по краю AB поставлен цилиндрический шарнир (свободное опирание), то в этом месте, помимо прогиба, должен отсутствовать и изгибающий момент Mx (см. формулы (1.10)):

Так как линия AB при изгибе плиты остается прямой, т. е. сохраняет свою кривизну нулевой: ∂2w/∂x2 = 0, то в соответствии с формулой (1.14) и ∂2w/∂y2 = 0, а потому вместо условия (1.14) можно использовать более

компактное равенство

не содержащее в отличие от зависимости (1.14) коэффициента Пуассона. Итак, на свободно опертом крае

Пусть теперь кромка AB не закреплена вообще и какие-либо воздействия на нее отсутствуют. В этом случае естественно было бы положить, что на линии AB

Mx = Mxy = Qy = 0.