Основы механики твердого деформируемого тела

Пусть с помощью формулы (9.17) надо найти перемещение UA некоторого узла A фермы. Ясно, что входящий в эту формулу интеграл можно заменить суммой C интегралов (C – число стержней фермы) и, учтя, что в пределах каждого стержня j длиною lj усилия Nj, NAj и осевые жесткости EFj не

R

меняются, а dsj =lj, получить

C

UA = X NjNAj lj . (9.17a)

j=1 EFj

При определении перемещений изгибаемых конструкций, состоящих из призматических стержней, можно применять правило Верещагина, о котором шла речь в п. 6.4. Так, использование формулы (6.11) при вычислении интеграла (9.18d) приводит к соотношению

C

UA = X Ωj mAj , (9.19)

j=1 EIzj

где Ωj, mAj – площадь эпюры "Mz" и ордината эпю-

ры "MzA", соответствующая центру тяжести фигуры "Mz" на участке с номером j. Разбиение осевого контура конструкции на C участков выполняется так, чтобы в пределах каждого из них эпюра "MzA" была линейна.

Формулой (9.19) можно пользоваться лишь тогда, когда на каждом участке известна площадь одной из эпюр и положение ее центра тяжести. Существуют специальные таблицы, в которых эти данные приводятся для фигур, наиболее часто встречающихся в

инженерной практике. Но если перемещения вызваны сосредоточенными воздействиями или равномерно распределенной нагрузкой, прибегать к помощи таблиц необязательно. При указанных воздействиях любые эпюры усилий можно представить в виде суперпозиции треугольников и квадратных парабол, а потому для использования формулы (9.19) достаточно запомнить только приведенные на рис. 9.9 данные. Если же обе используемые при вычислениях перемещения эпюры линейны, то можно применить правило (6.11a) перемножения трапеций.

Пусть, например, отыскиваются угол поворота и вертикальное перемещение сечения A простой балки. При N ≡0 формула (9.18b) имеет вид:

UA = (Mz, MzA) + (Qy, QyA).

282 Часть II

Все нужные для решения задачи эпюры усилий представлены на рис. 9.10a. По формуле Qy(x) = q(t−x)/2 нетрудно получить крайние ординаты эпюры поперечных сил: Qy(0) = −Qy(l) = ql/2, которые потребуются при последующих вычислениях. Эпюры изгибающих моментов нелинейны, поэтому ось балки необходимо разбить на участки (см. рис. 9.10b), представить на каждом из них эпюру "Mz" в виде набора двух простых фигур и выполнить вычисления по формуле (9.19):

Далее используется обозначение B =2µz(1+ν)rz2 и приводятся подобные члены:

q

UAпов = 24EIzl [ x3(4t + x) − t3(4x + t)] .

Вертикальное перемещение достигает максимума f при x = t = l/2, т. е. в середине пролета балки, а модуль ϕ угла поворота – в одном из торцевых сечений, т. е. при x=0 либо x=l, t=0:

Данные перемещения интересно сравнить с перемещениями, которые получаются в результате решения задачи методом начальных параметров. Балка статически определима, поэтому из четырех начальных параметров три параметра известны:

v0 = 0, P0 = −ql/2, M0 = 0.

Угол поворота v00 наклона касательной к оси балки в точке x=0 определяется из условия v(l)=0, которое имеет вид (см. формулы (4.4a)1):

что с углом ϕ не совпадает. Что же касается перемещения v(l/2), вычисленного по формуле (4.4a)1, то оно от прогиба f ничем не отличается.

Разница между величинами v00 и ϕ объясняется просто. Как уже отмечалось в п. 3.6, результатом интегрирования уравнения изогнутой оси бруса является угол наклона касательной к ней и что при наличии сдвига этот угол с углом поворота поперечного сечения не совпадает. Последний как раз и вычисляется при помощи интеграла Мора. И в самом деле, теорема Кастильяно, порождающая этот интеграл, дает перемещение по направлению той обобщенной силы, по которой дифференцируется потенциальная энергия. В частности, угол поворота сопряжен с моментом, а последний, как известно (см., например, рис. 2.2 и комментарии к нему), воспринимается именно поперечным сечением бруса. Кстати, из рис. 3.17c видно, что сдвиги действительно не приводят к поворотам сечений балки.

Формулы (9.18) занимают важное место в механике твердого деформируемого тела. По существу, именно с них началось развитие строительной механики стержневых конструкций как самостоятельной науки. Эти равенства удобны не только по причине своей универсальности и не только изза удачной интегральной формы, освобождающей от необходимости иметь дело с граничными условиями задачи, но еще и потому, что позволяют выразить перемещения через усилия, т. е. через те функции напряженнодеформируемого состояния тела, с которыми специалисты, ведущие прочностные расчеты, имеют дело особенно часто.

Зависимость (9.17a) для вычисления перемещений в фермах получил в 1864 году Дж. Максвелл, но результат Максвелла оставался незамеченным до 1874 года, в котором О. Мор пришел к более общим формулам (9.18). Вот почему интегралы, входящие в правые части равенств (9.18), называют интегралами Мора, хотя термин "интеграл Максвелла – Мора" тоже встречается в литературе. Как раз для вычисления интеграла Мора и предложил свой прием А. К. Верещагин.

9.8. Формулы для температурных перемещений. В этом пункте рассматриваются только плоские стержневые конструкции, состоящие из элементов со слабоискривленной осью. Предполагается, что конструкция симметрична относительно плоскости, содержащей ее (конструкции) осевой контур. Считается также, что изменение температуры окружающей среды не приводит к нарушению физических свойств материала и что температура меняется по сечению каждого стержня системы линейно, оставаясь по его длине постоянной. Эти условия выполняются для достаточно широкого класса инженерных кон-

струкций.

Если приложить воздействие PB по направлению искомого перемещения UB, а затем изменить температуру пространства, окружающего конструкцию, то совершится возможная работа A(B(T)) = PBUB, которая при PB = 1 окажется численно равной определяемой величине UB:

Остается выразить работу A(B(T)) через усилия.

В верхней части рис. 9.11 изображен бесконечно малый элемент конструкции, которая находится в единичном состоянии "B", а в нижней ча-

Здесь lj – длина участка конструкции с номером j, в пределах которого

величины αj, NBj, Tсрj, hj, Tj не меняются, а ωBj – площадь единичной эпюры "MzB" на участке с номером j.

9.9. Перемещения при кинематическом воздействии. В простейших случаях перемещение UB некоторого сечения конструкции, вызванное кинематическим воздействием, может быть установлено непосредственно по чертежу, изображающему конструкцию в новом положении. Так, составляющие перемещения сечения B, вызванного осадкой правой опоры балки, приведенной на рис. 9.12, устанавливаются из элементарных геометрических соображений:

UB верт = (a/l) · C, UB пов = C/l.

В более сложных случаях перемещения от кинематических воздействий находят иначе. Пусть uBC – перемещение сечения B конструкции от

осадки опоры на единицу. Перемещение UB связано с величинами uBC и C, где C – заданная осадка опоры, зависимостью

UB = uBC · C.

Согласно второй теореме взаимности Рэлея (см. формулу (9.10)), перемещение uBC равно по величине и обратно по знаку реакции rCB, которая возникнет в смещаемой связи, если по направлению искомого перемещения приложить воздействие PB =1 : uBC =−rCB. Таким образом,

Чтобы найти с помощью этой формулы угол поворота сечения B рассматриваемой балки (см. рис. 9.12), надо приложить в сечении B единичный момент, изобразить в опоре C положительную реакцию rCB (т. е. направленную туда же, что и заданная осадка C) и выполнить

следующие вычисления (см. рис. 9.13):

X MA =0 : rCB =−1/l , UB пов =−rCB C = C/l .

Результат получился таким же, что и несколькими строчками выше.

Формула, основанная на теореме Рэлея, пригодна для определения перемещений от кинематических воздействий в любых линейно деформируемых конструкциях, в том числе и в статически неопределимых. Однако пользоваться ею удобно лишь при решении статически определимых задач.

КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ

Если в части I пособия обсуждались сами основы механики твердого деформируемого тела, а исследование напряженно-деформированного состояния конструкций при различных их формах и нагружениях оставалось по сути дела в тени, то здесь такое исследование выходит на первый план. Правда, пока рассматриваются лишь тела, имеющие форму брусьев, и только такой метод решения краевой задачи (полуобратный метод), который достаточен для построения технических теорий изгиба и кручения стержней. Объект и метод исследования и определяют подбор литературы, способствующей более глубокому проникновению в суть изучаемых в настоящем разделе проблем. В следующих ниже примечаниях преобладают ссылки на публикации по сопротивлению материалов, ибо все технические теории деформирования стержней разработаны как раз в этом разделе механики. Но если речь заходит о вычислениях, то приходится адресоваться к литературе по строительной механике. Ссылки на аппарат теории упругости необходимы тогда, когда заходит речь о достоверности результатов, полученных с помощью технических теорий стержней.

К главе 1

Даже с учетом сказанного об осевой деформации в части I пособия указанную тему нельзя считать исчерпанной. В частности, не рассматривались конструкции, состоящие из большого числа стержней, по существу, не изучалось влияние на напряженно-деформированное состояние несиловых воздействий, некоторые другие проблемы. Данный пробел как раз и восполняется в комментируемой главе. В дополнение к ней можно порекомендовать ознакомиться с книгами Ю. Н. Работнова [23, с. 38–61] и С. П. Тимошенко [36, с. 22–35]. Вторая из них содержит множество численных примеров. Учебник [1, с. 32–75] может оказаться полезным для всех желающих более детально познакомиться с теорией и расчетом висячих конструкций.

К главе 2

Теории чистого изгиба призматических брусьев, а также изгиба в сочетании с продольной силой в данной главе изложены достаточно подробно, а за ее пределы (в приложение 1) вынесены вопросы вычисления геометрических характеристик поперечных сечений стержней. Эти же вопросы, как и многочисленные примеры построения эпюр усилий, освещены в учебниках

[6, с. 155–160, 447–451; 23, с. 207–218; 35, с. 67–84, 350–359; 39, с. 106– 124]. В курсе С. П. Тимошенко достаточно много внимания уделено изгибу брусьев с несимметричным поперечным сечением [35, с. 194-207].

К главе 3

Основу теории изгиба с поперечной силой (такой изгиб часто называют поперечным изгибом) составляет теория касательных напряжений. В учебнике [35, с. 96–122] теоретические рассмотрения дополнены многочисленными примерами. Заслуживают внимания точки зрения на рассматриваемую проблему В. А. Гастева [6, с. 177–190] и В. И. Феодосьева [39, с. 133–141]. Необходимо также выделить приводимое на с. 179 настоящего пособия равенство (3.6). Если Д. И. Журавский установил свою формулу для напряжений τxy еще в 1855 году, то формула (3.6) для составляющих τxz была получена сравнительно недавно (1978 г). Сделал это профессор кафедры сопротивления материалов Санкт-Петербургского архитектурно-строительного университета В. Д. Харлаб [10, с. 92–95]. О влиянии деформации сдвига на перемещения и на нормальные напряжения в изгибаемом брусе можно прочитать в учебниках [6, с. 210–221; 35, с. 150–154].

К главе 4

Дополнительная информация о методе начальных параметров содержится у С. П. Тимошенко [35, с. 123–150]. Много интересного об использовании этого метода можно узнать также из книг [6, с. 192–203; 23, с. 250–258; 42, с. 141–149]. В учебнике Ю. Н. Работнова [23, с. 263–266] говорится также о математическом аппарате, который был использован академиком А. Н. Крыловым для решения задачи о балке на упругом основании. Эта задача привлекала к себе внимание и специалистов в области строительной механики [24, с. 140–149].

К главе 5

Большая´ часть главы посвящается задаче изгиба брусьев с криволинейной осью. Эта задача описана и в курсах [6, с. 319–330; 39, с. 160–166]. Об арках и кривых давления в них говорится в работе А. Р. Ржаницына [24,

с.37–39] и несколько подробнее – в учебнике А. В. Даркова и Н. Н. Шапошникова [8, с. 70–88].

Кглаве 6

Оцентре изгиба и секториальных координатах сечений можно прочесть также в учебниках [6, с. 292–298, 311–316; 23, с. 279–282, 283–292; 39,

с.324–333, 336–341].

К главе 7

Деформацию кручения все авторы приводимых ниже книг описывают по-своему, в чем нетрудно убедиться, ознакомившись с трактовками этой деформации В. А. Гастевым [6, с. 222–230], Ю. Н. Работновым [23, с. 186– 206], С. П. Тимошенко [35, с. 238–254] и В. И. Феодосьевым [39, с. 77– 106]. Казалось бы, что свободное кручение призматических брусьев изучено во всех деталях, однако публикации, содержащие новые факты об этой деформации, продолжаются. К таким публикациям относится статья в сборнике [10, с. 119–124], в которой показано, что касательные напряжения в тонкостенном сечении открытого профиля с криволинейной средней линией скорлупы распределяются относительно названной линии несимметрично.

К главе 8

Дополнительную информацию о стесненном кручении можно почерпнуть из учебников В. А. Гастева [6, с. 298–310, 316–318], Ю. Н. Работнова [23, с. 273–279, 282–283, 293–299] и В. И. Феодосьева [39, с. 333–336]. Особое внимание следует обратить на примеры расчета и на то, как каждый из авторов говорит о связи между деформациями изгиба и кручения.

К главе 9

Энергетические теоремы, а также формулы для потенциальной энергии деформации и перемещений от силовых воздействий в стержневых конструкциях приводятся практически во всех учебниках по сопротивлению материалов. Имеются они и в курсах [6, с. 263–275, 330–332; 23, с. 331–346; 39, с. 168–194]. Особого внимания заслуживает изящная геометрическая трактовка интеграла Мора В. И. Феодосьевым [39, с. 178]. Однако теоремы взаимности в большинстве книг по сопротивлению материалов не рассматриваются, а если и рассматриваются, то не в полном объеме. Это и понятно: свою основную роль указанные теоремы начинают играть при изучении методов строительной механики. Из книг по указанной дисциплине можно порекомендовать учебники [8, с. 159–192; 24, с. 43–73].

ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Теперь, когда все виды простейших деформаций бруса рассмотрены, можно было бы обратиться к исследованию усилий и перемещений в системах брусьев, т. е. к задаче расчета стержневой конструкции. Логика такой последовательности изучения курса заключается в том, чтобы продолжить и довести до конца анализ самой простой одномерной модели твердого деформируемого тела. Правда, надо иметь в виду, что применяемые для анализа состояния стержневой конструкции методы и по форме, и по существу отличаются от методов, используемых при изучении деформирования отдельного стержня.

Вторая возможность продолжения курса состоит в применении уже привычного метода исследования к новым объектам, таким, например, как плиты и оболочки. Эти конструкции имеют два характерных размера, а потому находить в них напряжения и перемещения сложнее, чем в стержне. Однако подход к решению задачи остается прежним. Он основан на выдвижении ряда предположений о поведении тела под нагрузкой, которые позволяют установить вид всех или части искомых функций. Далее справедливость сделанных допущений проверяется при помощи полной системы уравнений механики деформируемого твердого тела, в частности, полной системы уравнений теории упругости. Другими словами, речь идет о методах, давших возможность построить технические теории изгиба, свободного кручения и стесненного кручения отдельного бруса. Именно по пути преемственности метода, а не объекта исследования, предполагается вести дальнейшее изучение курса. В пользу указанного выбора можно привести и такой довод. При анализе напряженно-деформированного состояния тела полуобратным методом зачастую обнаруживалось, что искомые функции удовлетворяли полной системе уравнений задачи с некоторой погрешностью. Иногда такая погрешность поддавалась оценке средствами самой технической теории, но в большинстве случаев судить о точности решения задачи изнутри метода было невозможно. Малость погрешности здесь просто декларировалась, правда, с той оговоркой, что в дальнейшем полученные на основе технических теорий результаты будут подвергнуты строгому анализу. Пора таким анализом заняться, а не затягивать дело до тех пор, пока все те задачи, при решении