Основы механики твердого деформируемого тела

Если силе P и моменту M отвечают линейное перемещение U и угол поворота θ, то будет совершена работа

A = P U + Mθ.

Возможны такие представления (и не только они) работы в форме (9.1):

A = P U + MP θ = M U MP + θ = 2P U2 + 2MP θ .

В каждом из этих произведений множитель перед круглыми скобками представляет собой обобщенную силу, а выражение в скобках – обобщенное перемещение.

Еще один пример (рис. 9.1) – работу совершает равномерно распределенная нагрузка на перемещении v(x):

ll

ZZ

A = qv(x) dx = q v(x) dx = PобUоб.

00

Теперь в качестве обобщенной силы выступает интенсивность нагрузки, а в роли обобщенного перемещения – площадь эпюры прогибов балки. Таким образом, обобщенной силой может быть любая скалярная величина, численно равная значению силы, момента, интенсивности нагрузки и т. п.

В дальнейшем термины "обобщенная" и "обобщенное" перед словами "сила" и "перемещение" ради краткости зачастую будут опускаться. Это не должно приводить к путанице, ибо никакие иные силы и перемещения в настоящей главе не рассматриваются.

9.3. Теоремы Лагранжа, Кастильяно и Клапейрона. Пусть силы

P1, . . . , Pn производят работу A на тех перемещениях, которые этими же силами и вызваны. В процессе совершения такой работы и силы, и отвечающие им перемещения меняются, возрастая от нуля до своих конечных значений. На некотором этапе деформирования силы Pi можно зафиксировать, а соответствующим перемещениям дать малые приращения δUi. С точностью до бесконечно малых высшего порядка величины δUi совпадают с линейной частью изменения перемещений Ui, т. е. с дифференциалами dUi : δUi ≈dUi, что объясняется малостью рассматриваемых перемещений. Это позволяет изменение δA ≈dA работы A, обусловленное изменением перемещений при постоянных силах Pi, представить в виде

dA = P1dU1 + . . . + PndUn.

Таким образом, работа A есть функция перемещений U1, . . . , Un, а потому ее полный дифференциал можно записать и иначе:

Из сравнения двух последних формул следует

Работа, представленная как функция обобщенных перемещений, называется работой деформации. Равенство же (9.2) выражает собой теорему Лагранжа: производная от работы деформации по обобщенному перемещению равна отвечающей этому перемещению обобщенной силе.

Для упругого тела работа деформации целиком переходит в потенциальную энергию W , накапливаемую при его деформировании, что позволяет представить теорему Лагранжа еще в одной форме:

Пусть теперь на некотором этапе деформирования тела фиксируются перемещения Ui, а малые изменения δPi ≈ dPi претерпевают силы Pi. Обу-

словленное таким изменением сил приращение работы обозначается через

δA ≈dA :

dA = U1dP1 + . . . + UndPn.

Работа A является функцией обобщенных сил. Ее именуют дополнительной работой деформации. Из только что записанного равенства и понятия полного дифференциала вытекает следующий результат:

известный как теорема Кастильяно: производная от дополнительной работы деформации по обобщенной силе равна соответствующему этой силе обобщенному перемещению.

Смысл терминов работа деформации и дополнительная работа иллюстрирует рис. 9.2, на котором представлена диаграмма "P –U". Ясно, что величина A равна площади фигуры 0bd0, а величина A – площади фигуры

0cb0, поэтому

A + A = PbUb.

Стало быть, работа A дополняет работу A до значения PbUb, т. е. до величины той работы, которую совершила бы сила Pb, будь она постоянной. Если материал следует закону Гука, то линия 0b – прямая. Тогда

A = P U/2, A = W = A.

Этот результат уже встречался в первой части курса (см. п. I.4.6). Он известен как теорема Клапейрона и распространяется на случай, когда работа деформации производится группой сил:

Таким образом, работа деформации линейно-упругого тела равна полусумме произведений обобщенных сил на отвечающие им обобщенные перемещения.

Для линейно деформируемых сред не только теорема Лагранжа, но и теорема Кастильяно может быть выражена через потенциальную энергию деформации тела:

9.4. Линейная зависимость между обобщенными силами и перемещениями. Пусть перемещения Ui линейно зависят от сил Pi:

U1 = u11P1 + u12P2 + . . . + u1nPn,

U2 = u21P1 + u22P2 + . . . + u2nPn,

(9.5)

· · · · · · · · ·

Un = un1P1 + un2P2 + . . . + unnPn.

Чтобы обнаружить смысл коэффициентов пропорциональности uij, надо в уравнении с номером i положить

Pj =1, а все остальные силы принять равными нулю. В результате получится равенство Ui =uij, из которого становится ясным, что uij – это перемещение по направлению силы Pi, вызванное силой Pj = 1. Силу, равную по величине единице, называют единичной силой, а порожденное ею перемещение

– единичным перемещением. Таким образом, uij – единичное перемещение, сопряженное по работе с силой Pi и обусловленное силовым воздействием с номером j. Говорят также, что uij есть перемещение по направлению силы Pi от единичной силы, приложенной по направлению j. Данное понятие иллюстрирует рис. 9.3.

Обратные по отношению к равенствам (9.5) зависимости имеют вид:

В них уже обобщенные силы представлены как функции обобщенных перемещений. При Ui = 1, Uj = 0, j =1, . . . , n, но j 6=i, из равенства с номером j следует

Pj = rji,

т. е. коэффициент пропорциональности rji представляет собой обобщенную силу, сопряженную с перемещением Uj и порожденную единичным перемещением Ui при всех других перемещениях, равных нулю. Но равенство нулю перемещения Uk означает, что по направлению k поставлена связь. Сила же, направленная вдоль связи, есть не что иное, как реакция данной связи. По этой причине коэффициенты пропорциональности в формуле (9.5) называют единичными реакциями и обозначают малыми буквами r, а не p. Таким образом, rji – это реакция связи, поставленной по направлению j, от смещения на единицу связи вдоль направления i, т. е. от кинематического воздействия Ui =1 (рис. 9.4).

9.5. Теоремы взаимности. Таких теорем четыре. Они устанавливают важные в теоретическом и практическом отношениях соответствия между различными обобщенными силами и перемещениями.

Теорема 1. Теорема взаимности единичных перемещений (теорема взаимности Максвелла). Дифференцирование i-го и j-го равенств из системы (9.5) по силам Pj и Pi соответственно дает:

Согласно теореме Кастильяно (9.3), Ui = ∂W/∂Pi,

Uj =∂W/∂Pj, и

Левые части здесь отличаются лишь очередностью дифференцирования по обобщенным силам, что при непрерывных функциях на результатах вычисления смешанных производных не сказывается. Значит,

Это и есть теорема взаимности Максвелла: перемещение по направлению обобщенной силы Pi от воздействия Pj = 1 равно перемещению по направлению обобщенной силы Pj, вызванному единичной силой Pi.

Совокупность усилий и перемещений в конструкции называют ее состоянием. Если состояние порождается воздействием с номером i, то таким же номером помечается и само состояние. Если же воздействие равно единице, то состояние именуется единичным. На рис. 9.5, иллюстрирующем теорему Максвелла, изображена изогнутая ось одной и той же балки в двух ее единичных состояниях j и i. С помощью понятия состояния теорему взаимности (9.7) можно сформулировать наиболее компактно: перемещение по направлению i в единичном состоянии j равно перемещению по направлению j в единичном состоянии i.

Теорема 2. Теорема взаимности единичных реакций (1-я теорема взаимности Рэлея). Если исходить из равенств (9.6), теоремы Лагранжа (9.2) и действовать точно так же, как и при выводе формулы (9.7), то в итоге получится соотношение

указывающее на симметрию матрицы системы уравнений (9.6). Иными словами, реакция связи i от смещения на единицу связи j равна реакции связи j от единичного перемещения связи i.

Теорему (9.8) иллюстрирует рис. 9.6, помогая также понять и иную ее формулировку: реакция связи i в единичном состоянии j равна реакции связи j в единичном состоянии i данного тела.

Теорема 3. Теорема взаимности возможных работ (теорема Бетти). Возможной называют работу, совершаемую силами на возможных перемещениях, т. е. на перемещениях, которым не препятствуют на-

ложенные на тело связи. В качестве возможных могут быть взяты действительные перемещения, если только они вызваны не теми силами, что производят работу. Возможная работа в отличие от работы деформации совершается постоянными силами. Возможная работа сил Pi состояния i на перемещениях Ui(j) состояния j обозначается через A(ij). Очевидно,

n

X

A(ij) = PiUi(j).

i=1

X X

A(ij) = PiuijPj.

i=1 j=1

Аналогично можно представить работу A(ji), совершаемую силами Pj на перемещениях, порождаемых силами Pi:

nn

Таким образом, работа сил состояния i на перемещениях состояния j равна работе сил состояния j на перемещениях состояния i. Эта теорема допускает и более обстоятельную формулировку: возможная работа сил Pi

на перемещениях, вызванных силами Pj, равна возможной работе, производимой силами Pj на перемещениях от сил Pi. Смысл же в обоих случаях одинаков. Если к телу приложить силу P1, дать ему прийти в состояние равновесия, а затем добавить нагрузку P2, то на дополнительном перемещении, обусловленном воздействием P2, сила P1 совершит работу, которая была бы точно такой же, если бы порядок приложения сил P1 и P2 был обратным.

Теорема 4. Теорема взаимности единичных силы и перемещения (2- я теорема взаимности Рэлея). На рис. 9.7 изображены перемещения и

Из рис. 9.7 видно, что силы состояния i производят на перемещениях состояния j работу

A(ij) = Piuij + rjiUj = uij + rji.

Реакции R1 – R3 работу не совершают, ибо в состоянии j им отвечают нулевые перемещения. Силам R4 – R7 состояния j также отвечают нулевые перемещения в состоянии i, так что A(ji) =0 и по теореме (9.9)

Итак, перемещение по направлению i от смещения на единицу связи j равно по величине и обратно по знаку реакции связи j от единичной силы Pi.

9.6. Потенциальная энергия деформации стержневой системы. Теоремы Лагранжа (9.2) и Кастильяно (9.3) относятся ко всем упругим телам, а остальные теоремы, доказанные в предыдущих пунктах, – ко всем линейноупругим телам, а не только к тем, что имеют форму брусьев. Но теперь речь пойдет исключительно о стержневой конструкции. Сначала выводится формула для потенциальной энергии деформации плоской системы, состоящей из брусьев малой кривизны, после чего рассмотрение общего случая затруднений не вызовет.

Потенциальная энергия, накапливаемая в малом элементе тела, может быть вычислена по формуле (I.6.8a):

2EdW = [σx2 + σy2 + σz2 −2ν(σxσy + σyσz + σzσx) + 2(1 + ν)(τxy2 + τyz2 + τzx2 )]dV,

где dV – объем элемента. В рассматриваемом случае (см. рис. 9.8)

σy = σz = τxz = τyz = 0, dV = dF ds,

так что

В брусьях малой кривизны

поэтому

Остается проинтегрировать обе части полученного равенства по площади поперечного сечения и по осевому контуру L конструкции (см. также формулу (I.6.3), с помощью которой исключается коэффициент Пуассона):

где µz – коэффициент формы поперечного сечения, который был введен формулой (3.13) еще в главе 3. Следовательно,

Совершенно аналогично выводится формула для потенциальной энергии

Для прямоугольного, круглого и ряда других сечений µy =µz. Потенциальная энергия, накапливаемая при деформировании стержней

большой кривизны, также может быть выведена из равенства (9.11), но теперь в него надо подставить другие выражения для напряжений (см. главу 5). Ниже приводится только окончательный результат:

Через r0 и e обозначены радиус нейтрального слоя бруса и расстояние между нейтральной и центральной осями поперечного сечения.

Вклад слагаемых, входящих в подынтегральные выражения формул (9.12)–(9.14), различен. В конструкциях с преобладающим изгибом, состоящих из стержней, для которых l h, обычно принимают

L

Остальные формулы для перемещений в стержневых конструкциях уже можно приводить без вывода (но со ссылкой на зависимости (9.12)–(9.14) из предыдущего пункта). Все они носят имя их автора – Отто Мора.

a) Пространственная конструкция со слабоискривленными или прямолинейными стержнями:

(9.18a) b) Та же конструкция, но состоящая из стержней достаточно большой

длины (l h):

c) Плоская конструкция со слабоискривленными или прямолинейными стержнями:

d) Та же конструкция, но состоящая из стержней достаточно большой длины (l h):

Во всех этих формулах чертой отмечены усилия, возникающие в конструкции при приложении по направлению искомого перемещения UA воздействия PA =1. Такие усилия называют единичными усилиями. При записи интегралов (9.18) удобно пользоваться обозначениями (см. формулы (9.16))

UA = (NA, NA), UA = (Mz, MzA) и т. д.

По формулам (9.18) находят перемещения и тогда, когда стержни имеют переменное сечение. В этом случае, как и при наличии криволинейных стержней, интегрирование обычно выполняется численно. И наоборот, если все элементы конструкции призматические, интегралы (9.18) сводятся к конечным алгебраическим выражениям.