Основы механики твердого деформируемого тела

Интеграл справа равен секториальному моменту инерции Iω сечения, а интеграл в левой части полученного соотношения называют бимоментом и обозначают через Bω:

Иллюстрирует бимомент рис. 8.2. На нем изображен фрагмент двутаврового бруса, в одинаковых полках которого действуют антипараллельные пары

Z

M ≡ −M1 = M2 = zσxdF ,

f

где f – площадь одной полки двутавра. Совокупность указанных пар называют бипарой. Эта нагрузка самоуравновешена, поэтому если момент M1 неизвестен, то найти его из условий равновесия бруса нельзя. Для симметрично расположенных относительно оси Cz точек нижней и верхней полок двутавра секториальные координаты имеют одинаковый модуль |z|h/2, но разный знак, поэтому, согласно формуле (8.4),

Следовательно, бимомент равен произведению значения одной из пар, образующих бипару, на расстояние между плоскостями действия пар.

Именно с бимоментом связано дополнительное закручивание стержня. В самом деле, если бы полки сечения не соединялись между собой, то моменты M1 и M2 изогнули бы каждую из них в своей плоскости, т. е. так, как это показано на рис. 8.3a. Примерно так же будут деформироваться полки при условии, что они не прикреплены к стенке сечения жестко (рис. 8.3b). Но если стержень снабжен диафрагмами жесткости и контур сечения деформироваться не может, то при действии бипары сечение будет вынуждено повернуться как единое целое на некоторый угол θ (рис. 8.3c). Таким об-

разом, изгиб полок двутавра приводит к закручиванию стержня относительно его оси.

Из сказанного, в частности, следует, что если в сечении бимомент реализоваться не может, то брус стесненного кручения не испытывает. Это относится к тавровому, уголковому, крестовому и узкому прямоугольному се-

чениям. Впрочем, тот факт, что в названных сечениях бимомента быть не может, вытекает из формулы (8.5) и из доказанного в конце главы 6 утверждения о равенстве нулю главных секториальных моментов инерции этих сечений.

Напряжения σx должны удовлетворять условиям

говорящим об отсутствии в поперечных сечениях бруса усилий N, My и Mz. С учетом равенства (8.6) отсюда следует:

Сопоставление этих формул с формулами (6.9) и (6.10) показывает, что условия (8.7) будут выполнены, если для решения задачи выбирается главная секториальная система координат. Кроме того, становится ясным, что центр изгиба и центр кручения сечения – это одна и та же точка: при выводе формулы (8.6) полюс был помещен в центр кручения и при таком положении полюса осевые секториальные статические моменты сечения обратились в нуль.

8.2. Касательные напряжения стесненного кручения. Бимомент и связанные с ним нормальные напряжения не остаются вдоль оси бруса постоянными, следовательно, равновесие выделенного из стержня элемента (рис. 8.4) возможно лишь при наличии касательных напряжений. Эти напряжения по толщине скорлупы не меняются, так что условие P X = 0

По найденным при помощи формул (8.16) усилиям вычисляются напряжения σx и τω стесненного кручения (см. равенства (8.6) и (8.11)), а также касательные напряжения (7.30)2 свободного кручения. Завершает расчет оценка прочности материала стержня по одной из теорий прочности. Стесненное кручение обычно сопровождается изгибом, а иногда и осевой деформацией, так что при вычислении напряжений σx следует опереться на принцип наложения:

Вычисления показывают (см. следующий пункт), что нормальные напряжения стесненного кручения дают заметный вклад в сумму (8.17).

8.4. Иллюстративный пример. На рис. 8.7a изображена двутавровая балка, имеющая по концам цилиндрические опоры. Равномерно распределенная нагрузка приложена к балке с эксцентриситетом, поэтому последняя помимо изгиба испытывает еще и кручение. Требуется построить эпюры усилий в конструкции и оценить ее прочность. Необходимые исходные данные приведены на рис. 8.7a.

Полный крутящий момент, изгибающий момент и поперечная сила определяются условиями равновесия балки в целом и ее отсекаемых частей, так что эпюры "Mкр", "Mz" и "Qy", изображенные на рис. 8.7b, строятся без всяких затруднений. Несколько сложнее вычислить усилия Bω, Mω и Mx. Из формул (8.16) видно, что эти усилия зависят от констант Ci. Одна из них может быть установлена сразу. Поскольку в середине пролета Mкр = 0 (см. рис. 8.7b), то из равенства (8.16)5, записанного при x=l/2, следует

C2 = mxl/(2GIx) = alq/(2GIx).

Далее нужно воспользоваться условиями θ(0) = 0, Bω(0) = 0, фиксирующими отсутствие угла закручивания и бимомента в начале стержня (см. рис. 8.6b и формулы (8.16)). Они дают

0 = C1 + C3, 0 = −C3GIx + mxα−2.

Отсюда вытекает, что

C3 = −C1 = mx/(α2GIx).

Наконец, константу C4 можно найти, приравняв к нулю бимомент в конце стержня (т. е. при x= l):

Чтобы получить численные значения постоянных Ci, надо знать пара-

q

метр α = GIx/(EIω) , введенный при записи уравнения (8.15b). Моменты инерции Ix и Iω можно вычислить по правилам, изложенным в главах 6 и 7. Но можно опереться и на справочные данные, например, на те, что приведены на с. 842 учебника Н. М. Беляева "Сопротивление материалов", который был выпущен в 1956 году московским издательством технико-теоретической литературы:

После того, как константы Ci будут введены в

формулы (8.16), останется воспользоваться какимлибо вычислительным средством и построить графики искомых усилий. На рис. 8.8 приведены результаты таких вычислений. По эпюрам (см. также рис. 8.7b) видно, что самым опасным является центральное сечение балки, в котором максимальны изгибающий момент и бимомент, тогда как все остальные усилия обращаются в нуль. Это означает, что проверка прочности должна вестись только по нормальным напряжениям, т. е. по формуле (см. соотношение (8.17))

(8.19)

или (используются формулы (8.18) и рис. 8.7 и 8.8)

Для вычислений понадобится эпюра секториальных площадей и схема сечения с указанием расчетных точек. И та, и другая приведены на рис. 8.9 . Эпюра "ω" отнесена к главным секториальным координатам с началом отсчета и полюсом, помещенными в центр изгиба. Последний в данном случае совпадает с центром тяжести сечения.

Так как ширина и толщина полки двутавра 30a равны соответственно 12,6 см и 1,44 см, то

max |ω| = 6, 3 см · (15 см − 0, 72 см) = 89, 96 см2.

Дальнейшее ясно. Например, для точки 1, где y = 15 см, ω = 89, 96 см2, формула (8.19a) дает:

σx = 67, 04 · 15 + 5, 328 · 89, 96 =

= 1006 + 479 =

= 1485 кГ/см2 < 1600 кГ/см2.

Отсюда видно, что доля напряжений, обусловленных стесненным кручением (бимоментом), равна примерно одной

трети. Полная эпюра напряжений σx приведена на рис. 8.9.

ГЛАВА 9. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ

9.1. Об использовании энергетических свойств упругих тел. Краевая задача – одна из основных задач механики деформируемого твердого тела, о чем говорилось еще в п. I.1.9, и именно ей были посвящены предыдущие главы настоящего пособия. Правда, в них рассматривались лишь проблемы, связанные с простейшими типами деформаций брусьев, а в этом случае от дифференциальных уравнений в частных производных, каковыми являются основные уравнения теории упругости, возможен переход к конечным соотношениям, описывающим напряженно-деформированное состояние исследуемых тел. Для таких же тел, как оболочки, пластины, некоторые непризматические брусья, проинтегрировать полную систему уравнений теории упругости в замкнутой форме, как правило, не удается. Не случайно в главах 4 и 5 ничего не говорилось о том, как надо находить прогибы или углы поворотов в стержнях переменного сечения или в брусьях с криволинейной осью. Но даже и для конструкций, состоящих из призматических стержней, задачу об отыскании усилий и перемещений решенной считать нельзя. И в самом деле, метод начальных параметров позволяет сравнительно просто сделать это в отдельном стержне или в системе из двух-трех стержней, но опереться на способ Клебша для исследования состояний стержневой конструкции, насчитывающей десятки и сотни элементов, невозможно. Здесь нужны иные подходы к решению задачи, один из которых и обсуждается в настоящей главе.

Речь идет об использовании энергетических свойств конструкции для исследования ее напряженно-деформированного состояния. Дело в том, что накапливаемая при нагружении упругого тела потенциальная энергия деформации несет в себе обширную информацию о состоянии этого тела. Воспользоваться данной информацией можно по-разному, в частности, и так, как это было сделано в п. I. 8.5 при изучении теорий прочности. Но теперь на передний план выдвигается то обстоятельство, что при помощи энергетических рассмотрений можно установить важные закономерности, которые присущи всем конструкциям, выполненным из упругого материала. Эти закономерности не только помогают глубже понять природу твердых деформируемых тел, но и составляют основу многих практических методов расчета инженерных конструкций. Особый интерес представляют формулы для определения перемещений в многостержневых конструкциях, как плоских, так и

пространственных, которые испытывают сложное напряженное состояние и содержат не только призматические брусья. Без помощи такого рода формул невозможно составить кинематические уравнения многостержневых систем, а значит, нельзя найти и усилия в них.

Сказанного достаточно, чтобы оценить важность тех проблем, которые подлежат дальнейшему обсуждению. Но прежде, чем приступить к их решению, надо дать основные определения, ввести основные понятия, установить некоторые общие для упругих тел закономерности. Этим вопросам посвящены следующие четыре пункта настоящей главы.

9.2. Обобщенные силы и перемещения. Напряженное состояние тела характеризуется шестью компонентами тензора напряжений, а именно

– тремя нормальными и тремя касательными напряжениями. Многогранно и внешнее воздействие, которое может включать в себя самые различные нагрузки. Однако при теоретических рассмотрениях конкретизация статических и кинематических факторов требуется далеко не всегда. Более того, при изучении явлений, общих для всех типов деформирования, она приводит лишь к загромождению выкладок и затрудняет логические построения. В подобных случаях удобнее оперировать с обобщенными понятиями, а к конкретным объектам изучения возвращаться уже тогда, когда используются полученные теоретические результаты. К одним из самых важных при анализе энергетических свойств упругих тел относятся понятия обобщенной силы и обобщенного перемещения.

Под обобщенной силой Pоб понимается некоторая численная характеристика силового воздействия, а под обобщенным перемещением Uоб – множитель, который стоит при обобщенной силе в выражении для работы:

Если сила совершает работу на некотором перемещении, то говорят, что эти сила и перемещение соответствуют (отвечают) друг другу. Сопряжены

друг с другом по работе и обобщенные сила и перемещение.

Работу любых сил можно представить в форме (9.1). Пусть, например, силам P1, P2, . . . , Pn отвечают перемещения U1, U2, . . . , Un. Тогда

Ясно, что величины Pоб и Uоб можно было выбрать и иначе.