Основы механики твердого деформируемого тела

торая представлена на рис. 7.10a. Из-за малости размера b по сравнению с размером h касательные напряжения кручения можно считать равномерно распределенными вдоль скорлупы и распределенными по линейному закону по ее толщине (см. рис. 7.10b). Эти напряжения сводятся на каждом бесконечно коротком участке скорлупы к парам dT1. Касательные напряжения по торцам сечения также образуют пару. Силы, порождающие такую пару, обозначены на рис. 7.10 через T2. Крутящий момент Mx уравновешивается как касательными напряжениями τ1, направленными параллельно средней линии скорлупы, так и торцевыми напряжениями τ2, т. е.

Mx = M1 + M2,

где M1 = Mx(T1), M2 = Mx(T2). В конце п. 7.3 было показано, что M1 = M2. Для рассматриваемого сечения к этому результату можно прийти и при помощи рис. 7.10. И в самом деле,

С учетом формулы (7.32)4 отсюда следует:

M1 = 16 b2h · 3bM2hx = 12 Mx .

Таким образом, торцевые силы T2 действительно "берут" на себя ровно половину прикладываемого крутящего момента.

Если средняя линия скорлупы представляет собой полигон (рис. 7.9d), то сечение рассматривается как набор связанных между собой полос, которые при закручивании стержня поворачиваются на один и тот же угол ψ. Это означает, что на каждую полосу приходится такая доля Mx(i) крутящего момента Mx (см. формулу (7.32)3), которая пропорциональна крутильной жесткости GIx(i) данной полосы:

Mx(i) = (1/3) · ψGδi3hi, Mx = X Mx(i) = (1/3) · ψG · X δi3hi .

i i

Из второго равенства можно найти величину ψG/3 и подставить полученное выражение в первую формулу:

Полагая в равенстве (7.32)4 b = δi и h = hi, можно отыскать наибольшие касательные напряжения на каждом участке с номером i:

Стало быть, опасен участок сечения с наибольшей толщиной. Если же все прямоугольные полоски, на которые разбито сечение, по толщине одинаковы, а L – общая длина средней линии скорлупы, то формула (7.33) дает:

Формула (7.34) применима и при криволинейном контуре сечения. Так,

Любопытно сопоставить напряжения (7.31a) и (7.34a), возникающие в сплошном и разомкнутом кольцевых сечениях. Пусть эти напряжения обозначаются через τзамк и τоткр соответственно. Тогда

τоткр = 3 R τзамк δ

и при R/δ ≥10 тонкостенный стержень открытого профиля будет, по крайней мере, в 30 раз более напряжен, чем стержень замкнутого профиля. Для объяснения описанного факта можно привлечь аналогию Прандтля. Мембрана, натянутая на контур разомкнутого кольца, имеет разнонаправленные скаты (рис. 7.11a), а потому касательные напряжения по разные стороны от средней линии скорлупы антипараллельны. Наиболее напряжены слои сечения, примыкающие к границам скорлупы, тогда как средняя ее часть недо-

гружена. Силы T1 и T2, к которым на участке длиною ds сводятся касательные напряжения, порождают момент, равный заданному крутящему моменту Mx. При этом малое расстояние между силами T1 и T2 компенсируется их большими значениями. Но тогда и касательные напряжения должны быть велики.

В замкнутом кольце напряжения τ по толщине скорлупы не меняются, а потому все зоны поперечного сечения в равной мере сопротивляются усилию

Mx. Кроме того, силы, образующие пару, действуют по концам диаметра средней линии кольца, т. е. сравнительно далеко друг от друга (см. рис. 7.11b). Чем больше плечо сил, тем меньше сами силы при одном и том же моменте и тем меньше напряжения τ.

Цельное и разомкнутое сечения можно сопоставить и по крутильной жесткости. Последняя характеризуется моментом инерции при кручении. Для замкнутого кольца

Ix = Iзамк = 2πR3δ.

Данный результат вытекает из формулы (7.16a)1 (см. стр. 240) при условии, что разность δ = R−r – малая по сравнению с радиусом R величина. Момент инерции Ix для разомкнутого кольца такой же, как у прямоугольника высотой h= 2πR и шириной b= δ. Он дается формулой (7.32)1:

Ix = Iоткр = 2πRδ3/3.

Следовательно,

Iзамк = 2πR3δ = 3 R2

Iоткр 2πRδ3/3 δ2

и при R/δ 10 относительный угол закручивания ψ = Mx/(GIx) тонкостенного стержня открытого профиля в 300 и более раз превышает угол закручивания стержня с замкнутым поперечным сечением.

Еще больше отличаются по крутильной жесткости сплошное круглое сечение и разомкнутое кольцо. Для круга Ix ≡Iкруг = πR4/2 и

Iкруг = πR4/2 = 3 R3 .

Iоткр 2πRδ3/3 4 δ3

При R/δ = 10 это отношение равно 750. Таким образом, все сказанное в п. 6.1 о сравнительной жесткости при кручении массивного и тонкостенных стержней нашло здесь численное подтверждение.

И последнее замечание. Как отмечалось, формула (7.34) применяется для вычисления касательных напряжений в любых тонкостенных сечениях открытого профиля. Из этой формулы, в частности, следует, что как бы ни было составлено сечение из одних и тех же прямоугольников (рис. 7.12), максимальные напряжения в нем будут одними и теми же. Сказанное

относится и к крутильной жесткости GIx = (G/3) ·P δi3hi сечения. Наблюдения, однако, этого не подтверждают. Крутильная жесткость двутавра оказывается несколько большей,´ чем у швеллера, в свою очередь швеллер лучше сопротивляется кручению, чем узкий прямоугольник. Поэтому при расчетах используется следующая формула для крутильной жесткости тонкостенного сечения рассматриваемого типа:

GIx = (kG/3) · X(δi3hi).

Для двутавра k = 1, 20 , для швеллера – k = 1, 12 .

7.7. Оценка прочности и жесткости при кручении. Каким бы ни было поперечное сечение стержня, расчетные формулы для наибольших касательных напряжений и относительного угла закручивания можно представить в стандартной форме:

Величины же Wx и Ix определяются формой и размерами сечения. Условия прочности и жесткости записываются привычным образом:

Правда, обычно ограничивают не относительный, а абсолютный угол θ закручивания стержня. На участке бруса длиною l, в пределах которого кру-

тящий момент постоянен, угол θ равен произведению lψ, так что

Данное равенство называют законом Гука при кручении (ср. с формулой (2.11)). Условие жесткости по абсолютному углу закручивания имеет вид:

θ = |Mx|l ≤ [θ]. GIx

На практике кручение в чистом виде встречается крайне редко, но искусственно его можно реализовать, загружая незакрепленный стержень по торцам взаимно уравновешенными парами M (см. п. 7.1). К этому можно добавить, что нагрузка, приводящая к моменту M, должна распределяться по торцу стержня таким же образом, каким распределяются касательные напряжения кручения по любому сечению бруса. В противном случае

вблизи торцов бруса возникнут зоны местных деформаций и лишь за их пределами оценивать прочность и жесткость стержня можно по формулам (7.35)–(7.36). С этой оговоркой полученные выше результаты распространяются и на случай, когда крутящий момент меняется вдоль оси 0x (см. рис. 7.13). При ступенчатой эпюре "Mx" и сам брус часто делают ступенчатым, а потому его прочность и жесткость необходимо оценивать на каждом участке.

Если на деформацию кручения накладываются изгиб и (или) осевая деформация, то вывод о несущей способности стержня делается на основе одной из теорий прочности. Однако и при изгибе, и при кручении опасные точки находятся на контуре сечения, что облегчает их поиск. Простейший пример. Пусть в прямоугольном поперечном сечении, изображенном на рис. 7.14, действуют усилия

где P , l – заданная сила и длина бруса. Отрицательные знаки у изгибающих моментов означают, что усилия Mz

иMy приводят к растяжению верхних и левых волокон стержня соответственно. Надо подобрать размеры сечения (т. е. назначить величину a) так, чтобы материал конструкции не разрушился.

Впрямоугольном сечении проверке на прочность подлежат точки 1, 2

и3. В угловой точке 3 возникают только нормальные напряжения, но там они самые большие по сравнению с нормальными напряжениями в любых

других точках сечения. Величину σx(3) вычисляют по формуле (2.20) при y = −a/2, z = −a и усилиях (7.38):

Условие прочности записывается в форме неравенства σx(3) ≤[σ]+:

Размер a отсюда устанавливают подбором.

В точке 1 нормальные напряжения порождаются лишь усилиями N и My, а в точке 2 – усилиями N и Mz:

Кроме того, в этих точках действуют касательные напряжения кручения (касательными напряжениями изгиба ввиду их малости пренебрегают). Согласно формулам (7.30),

Коэффициенты k2 и k3 проще всего взять из таблицы 7.1 по отношению h/b= 2: k2 = 0, 246 ≈0, 25, k3 = 0, 795 ≈0, 8 . Таким образом, Wx = a3/2 и

Из сопоставления пар напряжений σx(1), τ1 и σx(2), τ2 (см. формулы (7.40) и (7.41)) видно, что более опасной является точка 1, поэтому точка 2 из дальнейших рассмотрений исключается.

В точке 1 прочность оценивается по эквивалентным напряжениям, которые находят по одной из теорий прочности. В частности, по теории прочности Мора, согласно которой (см. формулу (I.8.8))

где k = [σ]+/[σ]−, а σ1, σ3 – главные напряжения. В общем случае их определяют по правилам, изложенным в главе I.2. Но в данной задаче напряженное состояние плоское. Как следует из гипотез о деформировании стержней при изгибе и кручении (см. также рис. 7.14), от нуля отличаются лишь напряжения σx = σx(1) и τxy = τ1. Уравнение (I.2.13), определяющее главные напряжения в рассматриваемой точке тела, принимает в этом случае вид:

Если σx >0, то второй из корней отрицателен и следует положить

при σ2 = 0. Подстановка напряжений σ1 и σ3 в формулу (7.42) дает

Для материала, прочность которого при растяжении и сжатии одинакова, k = 1 и формула (7.43) упрощается:

q

σэкв = σx2 + 4τxy2 . (7.43a)

Условие прочности σэкв(1) ≤[σ]+ для такого материала представляется с помо-

Размер a подбирается так, чтобы разница между левой и правой частями соотношения (7.44) не превышала 5%.

Вобщем случае подбор размера a по формулам (7.39) и (7.44) приводит

кразным результатам. Из двух полученных значений этого размера выбира-

ется большее. В данном примере σэкв(1) >σx(3), что следует из сравнения левых частей условий прочности (7.39) и (7.44). При l >a неравенство

(или 6a < 19l) совершенно очевидно. Значит, наиболее опасная точка сечения – точка 1.

7.8. Заключительные замечания. Результаты, полученные в настоящей главе, относятся к призматическим стержням. Однако их распространяют и на брусья переменного сечения, если только угол наклона касательной к профилю стержня не превышает 10–12 градусов. Закон Гука (7.37) в этом случае записывается иначе:

Полезно сопоставить также картины разрушения пластических и хрупких стержней при кручении. На рис. 7.15a изображено круглое поперечное сечение образца, который доводится при испытаниях на кручение до разрушения. Все точки, лежащие на контуре сечения, равноопасны. В самом сечении от нуля отличаются лишь касательные напряжения

τ. Главные площадки наклонены к плоскости сечения под углом в 45o,

Для пластического материала опасны большие касательные напряжения, а потому изготовленный из него образец, достигнув предельного состояния, перерезается по плоскости поперечного сечения, где касательные напряжения максимальны (см. рис. 7.15b). Хрупкий же материал разрушается от больших деформаций растяжения, поэтому следует ожидать, что трещины при закручивании хрупкого образца будут ортогональными к направлениям нормальных напряжений σ1 (см. наклонную линию на рис. 7.15c). Так оно и происходит на самом деле. Характер излома образца из хрупкого материала при разрушающей крутящей нагрузке показан на рис. 7.15d.

Важно также отметить ту роль, которую играет деформация кручения при экспериментальном изучении свойств конструкционных материалов и прежде всего – пластических материалов. Одной из важнейших характеристик последних является предел текучести при сдвиге. Зная эту величину, можно при помощи коэффициента запаса перейти к допускаемому касательному напряжению (см. п. I.4.7):

[τ] = τт/nт .

Опыты ставятся на тонкостенных трубках. При их закручивании касательные напряжения (7.31) в сечении постоянны, а поэтому предельные значения напряжений τ достигаются во всех точках тонкостенного сечения практически одновременно. Зафиксировать в эксперименте резкий переход в пластическую стадию деформирования намного проще, чем постепенно нарастающую текучесть, которая наблюдается, например, при закручивании сплошных круглых образцов. Именно при испытаниях тонкостенных трубок на кручение и был установлен тот результат, о котором говорилось в п. I.8.7: если допускаемое напряжение на сдвиг выводят теоретически, то это следует делать на основе энергетической теории прочности. Кроме того, трубчатые образцы незаменимы при исследовании напряженно-деформированного состояния материала при сложном нагружении, ибо их можно одновременно подвергать растяжению (сжатию), кручению и внутреннему давлению, комбинируя указанные воздействия самым произвольным образом. Более подробно данные вопросы освещаются в части VII настоящего пособия.

ГЛАВА 8. СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ

8.1. Нормальные напряжения стесненного кручения. О стесненном кручении упоминалось в п. 7.2. Если перемещения точек вдоль оси закручиваемого бруса ограничены, то могут возникнуть нормальные напряжения σx. Таких напряжений не будет лишь в тонкостенных стержнях таврового, уголкового и крестового профилей, в элементах, имеющих форму полосы, да в брусьях круглого или кольцевого сечений. Причина, по которой отсутствуют напряжения стесненного кручения в указанных выше тонкостенных элементах, станет ясной позже, что же касается брусьев второго типа, то, как известно, при их кручении поперечные сечения из своих плоскостей не выходят. Но если даже напряжения σx и отличны от нуля, то далеко не во всех случаях они заслуживают внимания. Анализ задачи о стесненном кручении линейно-деформируемых массивных стержней и тонкостенных стержней замкнутого профиля показывает, что возникающими при таком кручении нормальными напряжениями можно пренебречь. Но когда ограничиваются перемещения вдоль оси тонкостенного стержня открытого профиля, не учитывать связанных с такими ограничениями эффектов нельзя. Впрочем, после того, что было сказано об особенностях напряженно-деформированного состояния тонкостенных стержней в предыдущей главе, этот вывод не является неожиданным.

Пусть в поперечных сечениях бруса из шести компонент усилий от нуля отличается только крутящий момент Mx. Брус закреплен по торцам так, что депланация сечений ограничена. Как и в случае свободного кручения, предполагается, что σz = σy = τyz = 0, но только теперь ни напряжения σx, ни деформация εx в нуль не обращаются. По закону Гука и первому из геометрических уравнений Коши

Таким образом, при стесненном кручении перемещение u зависит и от координаты x рассматриваемой точки бруса.

Естественно предположить, что напряжения σx по толщине тонкой скорлупы не меняются, что позволяет отыскивать значения σx только на ее (скорлупы) средней линии. Касательные напряжения, уравновешивающие в

Если первое равенство умножить на dy, а второе – на dz, а затем сложить результаты, получится соотношение

Пусть сечение при закручивании бруса поворачивается на угол θ относительно некоторой точки C, называемой центром кручения поперечного сечения. Пусть также в этой точке помещено начало декартовой системы координат с осями Cy и Cz. Из рис. 8.1 видно, что

y = ρ cos θ, z = ρ sin θ, dy = −ρ sin θ dθ, dz = ρ cos θ dθ

и

z dy − y dz = −ρ2(sin2 θ + cos2 θ) dθ = −ρ2dθ = −ρ ds = −dω,

где ω – секториальная координата точки средней линии скорлупы при полюсе C. Таким образом (см. формулу (8.2)), du= −ψ dω, а тогда

u = −ψω + B.

Через B обозначена постоянная интегрирования. Далее полученное выражение для перемещения u вводится в

равенство (8.1):

σx = −ωEψ0,

Данный результат приводится к стандартному в технических теориях стержней виду. Для этого обе части равенства (8.3) умножаются на произведение ω dF и интегрируются:

ZZ