Основы механики твердого деформируемого тела

212 Часть II

Степень искривления бруса характеризуют отношением η радиуса ρ0 кривизны центрального слоя к высоте h его сечения:

При помощи этого обозначения формула (5.7)2 запишется так:

h 1 i

e = h η − ln((2η + 1)/(2η − 1)) . (5.9)

Для круглого поперечного сечения радиусом R (в этом случае h= 2R) формула, определяющая эксцентриситет e, дается без вывода, ибо выкладки,

R

связанные с вычислением интеграла dF/ρ, малоинтересны:

Треугольное сечение может быть обращено к центру кривизны нейтрального слоя либо основанием, либо вершиной (сечения типов a и b на рис. 5.4). Соответственно, имеются и две формулы для величины e:

a) Тип a треугольного сечения:

b) Тип b треугольного сечения:

Чтобы установить напряжения σx, надо по одной из формул (5.8)–(5.9) вычислить размер e, найти радиус r0 = ρ0−e нейтрального слоя бруса, и, наконец, обратиться к соотношению (5.5). Ординату y рассматриваемой точки сечения здесь приходится отсчитывать от нейтрального слоя бруса. Все это не слишком удобно при вычислениях, поэтому от переменной y переходят к переменной y1 = y−e, т. е. приводят равенство (5.5) к виду

Ясно, что y1 – это расстояние от центральной оси поперечного сечения до точки, в которой вычисляются напряжения.

5.3. Брусья большой и малой кривизны. Модули напряжений σx в

нижних и верхних волокнах стержня не равны между собой и отличие этих модулей тем больше, чем сильнее брус искривлен, т. е. чем меньше отношение (5.8). Наоборот, если радиус кривизны оси бруса велик, то результаты вычислений по формуле (5.12) близки к значениям напряжений при чистом изгибе призматических стержней:

В этом случае ρ0 h, η 1 и e≈0. Равенство e= 0 можно установить, если привести правые части зависимостей (5.9)–(5.11) к общему знаменателю и, переходя к пределу при η → ∞, применить правило Лопиталя. Итак, в слабоискривленных брусьях нейтральный и центральный слои почти сливаются друг с другом. Для призматических брусьев разницы между этими слоями просто нет. При e → 0, ρ0 → ∞ формула (5.12) переходит в равенство

Из сравнения же формул (5.12a) и (5.13) следует, что lim (F eρ0) = Iz. Важно установить грань, отделяющую случай, в котором напряжения

σx могут с достаточной для практических целей точностью вычисляться по формуле (5.13), от случая, когда необходимо обращаться к равенству (5.12). Здесь все определяется требованиями, которые предъявляются к качеству вычислений. Обычно 5-процентная точность при подсчете напряжений считается достаточной. Другими словами, результаты вычислений по формуле (5.13) признаются удовлетворительными, если они не более чем на 5% отличаются от результатов вычислений по формуле (5.12), т. е. если отношение

напряжений (5.12) к напряжениям (5.13) находится в пределах

0, 95 ≤ ≤ 1, 05 .

Величина зависит от формы сечения и параметра η. В табл. 5.1 приводятся значения зависимости Δ(η) для поперечных сечений четырех типов. Вычисления выполнялись для наиболее напряженных волокон бруса, т. е. волокон, имеющих наибольшую кривизну. Для первых трех типов сечений, представленных в таблице, погрешность формулы (5.13) составляет менее 5% при η ≥ 7, а для треугольного сечения типа b – только при η ≥ 11.

Отталкиваясь от этих результатов, можно рекомендовать определять нормальные напряжения в кривых брусьях при помощи равенства (5.9), если η ≤10, а при η >10 – находить значения σx так, как если бы брус имел прямую ось. Соответственно элементы, для которых η ≤ 10, именуют брусьями

большой кривизны, противопоставляя им брусья малой кривизны (η >10).

Имеется еще одно обстоятельство, с которым необходимо считаться, проводя расчеты по формулам (5.7)–(5.11). Оно связано с малостью размера e по сравнению с высотой h поперечного сечения. Например, при η = 5 в треугольном сечении типа b e/h= 1, 133 · 10−2, а при η = 10 – e/h= 5, 583 · 10−3. Структура формул (5.9)–(5.11) одинакова: e/h = η −f(η), и из нее видно, что малое число e/h определяется как разность двух больших по сравнению с ним чисел. Это вынуждает выполнять вычисления по формулам (5.9)– (5.11) с высокой точностью. Особая аккуратность требуется в случае, когда параметр η приближается к границе η = 10, разделяющей брусья малой и большой кривизн. Для треугольных же сечений недопустимая погрешность при вычислении напряжений возникает уже при η = 4. Чтобы увеличить точность вычислений и не оперировать с большим числом значащих цифр, правые части соотношений (5.9)–(5.11) раскладывают в ряд по параметру η. Такие ряды быстро сходятся и в них достаточно удерживать не более двух–

5.4. Изгиб с продольной и поперечной силами. В отличие от призматического бруса в брусе с криволинейной осью случаи Qy ≡ 0 при N ≡/ 0 и N ≡ 0 при Qy ≡/ 0 невозможны. На рис. 5.5 изображен элемент, выделенный из бруса двумя поперечными сечениями. Через qn и qs обозначены интенсивности нагрузок, распределенных вдоль оси бруса и направленных по нормали и по касательной к этой оси соответственно. Усилия N, Qy и Mz отнесены к центру тяжести сечения. Условие P X = 0 равновесия выделенного элемента имеет вид (α= dθ/2):

−N cos α + (N + dN) cos α − Qy sin α − (Qy + dQy) sin α + qsds = 0.

Угол α мал, поэтому dθ ≈ ds/ρ0, cos α ≈ 1, sin α ≈ α = dθ/2 и записанное выше уравнение упрощается:

dN − Qyds/ρ0 − 0, 5dQyds/ρ0 + qsds = 0.

Подчеркнутое слагаемое можно отбросить, ибо оно имеет второй порядок малости, а все остальные слагаемые – первый. При помощи уравнений P Y = 0,

P

MC = 0 равновесия рассматриваемого элемента устанавливаются еще две зависимости между усилиями и интенсивностями распределенной нагрузки. В итоге получаются три соотношения:

которые при ρ0 → ∞ и ds → dx переходят в известные соотношения (I.1.8) между усилиями и интенсивностями нагрузок для призматических стержней, выведенными, правда, при другом правиле знаков для изгибающего момента Mz:

dN/dx = −qx , dQy/dx = −qy , dMz/dx = −Qy .

Для брусьев большой кривизны распределенная нагрузка не типична. Если же qs = qn = 0, то

Отсюда как раз и видно, что при поперечной силе, тождественно не равной нулю, не обращается в нуль и продольная сила. Аналогично, если есть продольная сила, то присутствует и усилие Qy.

Считается, что в кривом брусе, как и в призматическом стержне, нормальные напряжения от сдвигов не зависят, а усилие N распределяется по поперечному сечению равномерно. При этих предположениях (см.

формулу (5.12))

Для отыскания касательных напряжений используется тот же прием, что и при выводе формулы (3.4).

Из условия P MA = 0 равновесия элемента бруса (рис. 5.6) следует

В этой формуле (см. равенство (5.15))

где b – ширина поперечного сечения на уровне волокна dc. Первое из этих соотношений при помощи зависимостей (5.14) и dθ = ds/ρ0 преобразуется к виду (ρ0 +y1 = r ):

Глава 5

Тогда

и (τxy = τyx)

ρ − e QySотс

0 c .

r2 F be

Через Scотс обозначен статический момент отсеченной части поперечного сечения относительно его (сечения) центральной оси. Из-за наличия в знаменателе формулы (5.17) множителя r2 касательные напряжения распределяются относительно центральной оси поперечного сечения несимметрично даже в том случае, когда эта ось есть ось симметрии сечения.

Напряжения σy особого интереса не представляют (см. п. 5.1), но их имеет смысл найти хотя бы ради того, чтобы непосредственно сравнить с напряжениями σx. Если воспользоваться уравнением P Y = 0 равновесия элемента, изображенного на рис. 5.6, учесть, что S = σybrdθ, и проделать выкладки, аналогичные тем, что были выполнены при выводе формулы (5.17), то в итоге получится соотношение

берутся по отсеченной части поперечного сечения.

На рис. 5.7 результаты вычислений по формулам (5.15)–(5.18) приведены для бруса прямоугольного поперечного сечения при двух различных значениях параметра (5.8), характеризующего искривленность стержня: η = 1, 5 и η = 4. Используются обозначения

σxm = mσx(Mz), σxn = nσx(N), σym = mσy(Mz), σyn = nσy(N), τ = qτxy,

m = bh2/Mz , n = bh/N, q = bh/Qy ,

которые позволяют представить ординаты эпюр напряжений в безразмерной форме. Значения σx(Mz) и σy(Mz) вычисляются по формулам (5.15) и (5.18) при N = 0, а значения σx(N) и σy(N) – по этим же формулам, но уже при Mz = 0. Штриховой линией на эпюрах напряжений σxn и τ показаны решения, отвечающие призматическому стержню. Видно, что даже в сильно искривленном стержне (η = 1, 5) разница между максимумами касательных напряжений в призматическом и кривом брусьях составляет

всего 4,9%, а если η = 4, то эта разница становится меньше 1%. Но и при η = 1, когда погрешность формулы Журавского (3.4) доходит до 11%, нет смысла отказываться от сравнительно простой зависимости (3.4) и переходить к громоздким вычислениям по формуле (5.17) по причинам, о которых достаточно подробно говорилось в главе 3.

Наконец, из рис. 5.7 видно, что напряжения σy действительно малы по сравнению с напряжениями σx:

a)η = 1, 5 : max |σxm|/(max |σym|) = 7, 2 и max |σxn|/(max |σyn|) = 10, 6 ,

b)η = 4 : max |σxm|/(max |σym|) = 17, 4 и max |σxn|/(max |σyn|) = 36, 5 . Аналогичная картина наблюдается и для брусьев непрямоугольных попе-

речных сечений. Таким образом, в плоских кривых брусьях напряжения σx следует вычислять по формуле (5.12), тогда как касательные напряжения можно оценивать при помощи формулы (3.4), предназначенной для определения средних по ширине сечения значений напряжений τxy в призматических стержнях.

5.5. Криволинейные стержни как элементы конструкций. Крюки подъемных кранов, звенья цепей, обоймы подшипников, многие другие детали машин и механизмов являются не чем иным, как брусьями большой кривизны. В строительных конструкциях стержни большой кривизны не используются, да и слабоискривленные стержни встречаются не так уж часто. К последним относятся косоуры винтовых лестниц, опорные кольца

куполов, элементы арок. Арки (рис. 5.8) применяются в покрытиях зданий, используются в качестве несущих конструкций мостов. В опорах арок возникают реакции, имеющие вертикальные VA, VB и горизонтальные HA, HB составляющие. Если к арке приложена только вертикальная нагрузка, то HA = HB = H. Величину H называют распором, а саму арку – распорной конструкцией. Распор в значительной степени нейтрализует изгибающие моменты, порождаемые вертикальной нагрузкой и вертикальными составляющими опорных реакций. По этой причине арка является маломоментной конструкцией и с ее помощью удается перекрывать очень большие пролеты.

Если нагрузка фиксирована, то можно подобрать такое очер-

тание арки, чтобы в ней вообще не было изгиба. Безмоментные арки называют арками рационального очертания оси, или рациональными арками. При определении равновесной формы нерастяжимой нити было показано (см. п. 1.3), что эта форма имеет очертание балочной эпюры изгибающих моментов. Точно таким же образом очерчена и ось безмоментной арки, но только контуры оси арки и равновесной нити расположены по разные стороны от линии, соединяющей опорные узлы. В результате нагрузка, направленная вертикально вниз, растягивает нить, но сжимает арку. Сходство между этими конструкциями нашло свое отражение и в терминологии. В арке расстояние l между опорами тоже называют пролетом, а расстояние f от точки оси, наиболее удаленной от прямой AB, – стрелой.

Примеры рациональных арок приведены на рис. 5.9. Каждой схеме загружения двухдисковой конструкции соответствует своя балочная эпюра изгибающих моментов (см. рис. 5.9a, b), а потому и свой безмоментный осевой контур (рис. 5.9c). Решение, отвечающее 1-му способу нагружения, сравнимо с формой нити, показанной на рис. 1.7. Безмоментная арка при равномерно распределенном воздействии очерчена по квадратной параболе

4f

y = l2 x(l − x),

что следует из формулы (1.14a), полученной еще в п. 1.4.

Итак, в рациональной арке нет изгибающих моментов, но продольные силы в ней есть, причем, как и во всех арочных конструкциях, они значительны. Эти силы деформируют ось арки, и та перестает быть безмоментной.

Изгибающие моменты, появляющиеся при обжатии арки, малы, но они все же заметны на фоне полного отсутствия таковых в несжимаемом брусе. Казалось бы, что данное обстоятельство подрывает всю концепцию проектирования арок рационального очертания, но это не так. Ведь при действии нагрузки, не совпадающей с той, что определяет безмоментную ось, изгибающие моменты все равно появляются, а конструкций, которые испытывают строго фиксированное воздействие от первого и до последнего дня своего существования, не бывает. Постоянно приложены к несущей конструкции лишь ее собственный вес и вес неразрывно с ней связанных частей сооружения. Для некоторых арок постоянная нагрузка является основной и как раз по ней подбирается рациональная ось конструкции.

Как известно, каменные материалы плохо работают на растяжение, что необходимо учитывать при проектировании арок. Пусть действие правой отсеченной части конструкции на левую сводится к силе S с составляющими Q и N (рис. 5.10). Если сила N находится в пределах ядра сечения, то растягивающих напряжений не будет. Точки, в которых силы S прикладываются к поперечным сечени-

ям арки, можно соединить непрерывной линией, называемой кривой давления. Ось арки подбирают так, чтобы кривые давления от любых сочетаний постоянной и временных нагрузок проходили через область, образованную ядрами поперечных сечений. Примерами созданных с учетом кривых давле-