3.5. Решение уравнения теплопроводности методом Тейлора

Задача Коши для уравнения теплопроводности имеет вид

(139)

(140)

где – неизвестная функция,– заданы.

Разложим функцию при любом фиксированном в ряд Тейлора по времени относительно точки t=0 (ряд Маклорена)

(141)

Если найти коэффициенты ,то по формуле (141) получим решение. Заметим, что определяется из начального условия (140).

Разложим в ряд Маклорена функцию в правой части уравнения (139)

(142)

Поскольку функция задана, то все могут быть найдены.

Выражения для частной производной и оператора Лапласа в уравнении (139), следуют из (141)

(143)

Подставим (142) и (143) в уравнение (139). В результате получим равенство

Это равенство равносильно соотношениям

(144)

которые определяют коэффициенты и так далее через , заданную в начальном условии (140).

Таким образом, решение задачи Коши (139)–(140) выражается формулой:

(145)

где задана в (140), а остальные находятся по (144)

(146)

Пример 16. Найти решение уравнения

▲ Здесь Так каки, то по (146)Отсюда находим

То есть, все остальные

Подставляем полученные в решение (145)

или

▲

Пример 17. Найти решение уравнения

▲ Здесь Так каки, то по (146)

Найдем по этой формуле

И так далее, все остальные

Подставляем полученные в решение (145)

или

▲

Задания для самостоятельной работы

Решить задачи Коши для уравнения теплопроводности

30. . 31..

32. . 33..

34. . 35..

36. . 37..

38. . 39..

40. .

41. .

4. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

4.1.Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа

Рассмотрим движение несжимаемой жидкости. Пусть некий произвольный фиксированный объем V жидкости, ограниченный поверхностью S, и массой т движется со скоростью . Массат связана с плотностью соотношением

. (147)

Эта масса может изменяться за счет потока жидкости через поверхность S, причем

, (148)

где - внешняя нормаль кS. Тогда из уравнений (147) и (148) получаем

. (149)

Преобразуя поверхностный интеграл, находящийся в правой части выражения (149) по формуле Остроградского (), запишем формулу (149) в виде

.

Отсюда в силу произвольности выделенного объема V следует

.

Это уравнение называют уравнением неразрывности сплошной среды. Для несжимаемой жидкости плотность , и из уравнения неразрывности следует, что

. (150)

Рассмотрим установившееся течение несжимаемой жидкости, для которого . Если это течение безвихревое, то существует потенциал скоростей, такой, что

. (151)

или

, или , (152)

т.е. потенциал скоростей удовлетворяет уравнению (152), которое является уравнением эллиптического типа и называетсяуравнением Лапласа.

Запишем теорему Гаусса для электростатического поля напряженностью в вакууме

. (153)

где - электрическая постоянная в системе Си;- объемная плотность электрических зарядов;V – некоторый объем пространства, ограниченный замкнутой поверхностью S. С помощью теоремы Остроградского соотношение (153) можно преобразовать к дифференциальной форме

. (154)

Поскольку напряженность поля связана с потенциалом этого полясоотношением

,

то из (154) получим уравнение для потенциала электростатического поля

, (155)

которое будет являться уравнением эллиптического типа и называться уравнением Пуассона.

Как и уравнение Лапласа, так и уравнение Пуассона являются стационарными уравнениями, т.к. искомая функция не зависит от времени.

Уравнение Лапласа можно записать не только в системе декартовых координат (152), но и цилиндрической системе

(156)

и сферической системе координат

. (157)

С уравнением Лапласа связано понятие гармонической функции. Функцию называют гармонической в некоторой областиD, если в этой области она непрерывна вместе со своими частными производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа. Так, если функциязависит только от расстоянияточкидо начала координат, то функциябудет гармонической функцией везде в областиDза исключением точкии будет называтьсяфундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве. Функциябудет называтьсяфундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости.

4.2. Решения краевой задачи для уравнения Лапласа внутри круга и вне его

Уравнением Лапласа описываются различные физические процессы и в каждой задаче искомое решение должно удовлетворять уравнению в некоторой области D, а также некоторому дополнительному условию на границеSэтой областиD.

В зависимости от вида граничного условия различают следующие основные виды граничных задач:

- первая краевая задача или задача Дирихле;

- вторая краевая задача или задача Неймана;

- третья краевая задача,

где - определенные на поверхностиS функции; Р – точка поверхности S; - внешняя нормаль кS; .

Краевые задачи могут быть внутренними или внешними. Они различаются в зависимости от того, в какой области внутренней или внешней относительно поверхности S ищется решение.

Внутренняя задача Дирихле формулируется следующим образом: Найти непрерывную в замкнутой области функциюи(М), которая удовлетворяла бы в области D уравнению Лапласа и принимала бы на поверхности S заданные значения F(P). Математически это можно записать следующим образом:

Внутренняя задача Неймана формулируется так: найти внутри области D решение и(М) уравнения Лапласа

непрерывное в замкнутой области и удовлетворяющее на поверхностиS условию

Рассмотрим теперь краевые задачи для уравнения Лапласа внутри круга и вне его. Пусть существует область, представляющая собой круг радиуса R. Запишем двухмерное уравнение Лапласа в полярных координатах, полагая, что , а