Задания для самостоятельной работы

Решить задачу Коши

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

2.3. Решение волнового уравнения методом Тейлора

Задача Коши для волнового уравнения

(40)

с начальными условиями

(41)

где – неизвестная функция,– заданы, может быть решена методом Тейлора. Для этого необходимо разложить функциюпри любом фиксированном в ряд Тейлора по времени относительно точки t=0 (ряд Маклорена)

(42)

Если найти коэффициенты ,то по формуле (42) получим решение. Заметим, что определяются из начальных условий (41).

Разложим в ряд Маклорена функцию в правой части уравнения (40)

(43)

Поскольку функция задана, то все могут быть найдены.

Выражения для второй частной производной и оператора Лапласа , фигурирующих в уравнении (40), следуют из (42)

(44)

Подставим (43) и (44) в уравнение (40). В результате получим равенство

Это равенство равносильно соотношениям

(45)

которые определяют коэффициенты и т.д. через , заданные в начальных условиях (41).

Таким образом, решение задачи Коши (40)–(41) выражается формулой:

(46)

где заданы в (41), а остальные находятся по (6)

(47)

Пример 8. Найти решение уравнения

▲ Здесь Так каки, то по (47)Отсюда

То есть, все остальные

Подставляем найденные в решение (46)

Окончательно,

▲

Пример 9. Найти решение уравнения

▲ Здесь Так каки, то по (47)

Найдем по этой формуле

И так далее, все остальные

Подставляем полученные в решение (46)

Таким образом, решением исходного уравнения является функция

▲

Задания для самостоятельной работы

Решить задачу Коши

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20.

2.4. Краевые задачи для уравнений гиперболического типа

Когда в п.2.1 выводили уравнение колебаний струны, мы определили лишь то, что струна имеет длину l и функция u(x,t), определяющая отклонение от положения равновесия точки струны с абсциссой х в момент времени t, может удовлетворять начальным условиям. Однако мы ничего не сказали о состоянии концов струны, то есть, являются ли концы струны

1. жестко закрепленными;

2. свободными, т.е. могут свободно перемещаться по прямым, параллельным направлению отклонения u;

3. закрепленными упруго, т.е. каждый конец испытывает со стороны заделки сопротивление, пропорциональное отклонению и направленное противоположно ему;

4. двигающимися в поперечном направлении по заданным законам,

поскольку лишь такое знание позволяет корректно находить решение поставленных задач.

Задание состояния концов струны определяет краевые условия исходной задачи. Например,

1. Если концы струны жестко закреплены, то краевые условия имеют вид:

.

2) В случае свободных концов для получения условия при х = 0 необходимо спроектировать на ось ординат Оu силы, действующие на некоторый участок струны. Так как натяжение в точке х = 0 действует лишь параллельно оси абсцисс Ох, то проекция сил натяжения на некоторый участок струны равна . Проекция внешней силы равна, а проекция силы инерции равна -. Приравнивая нулю сумму всех сил, получим

. (48)

Устремив к нулю, получим условие. Аналогично можно получить условие на другом конце струны -.

3) Действие упругих сил заделки на левом конце дается выражением , гдеk – коэффициент упругости упругого закрепления концов струны. В этом случае приравниваем нулю проекцию на ось и всех сил, действующих на некоторый участок, левый конец которого закреплен упруго. Тогда к левой части уравнения (48) добавится член

,

а при → 0, получим

.

На правом, упруго закрепленном конце (x = l), проекция всех сил имеет вид

,

поскольку

.

При → 0, получим.

4) Для этого случая краевые условия имеют вид

,

где функции определяют закон движения концов струны ().

Пример 10. Задачи о колебании стержня. Упругий прямолинейный стержень длиной l выведен из состояния покоя тем, что его поперечным сечениям в момент времени t = 0 сообщены малые продольные смещения и скорости. Поставим задачу об определении малых продольных колебаний стержня при t >0, считая что во время движения поперечные сечения остаются параллельными плоскости перпендикулярной к оси стержня. Рассмотрим случаи, когда концы стержня:

1. закреплены жестко;

2. двигаются в продольном направлении по заданным законам;

3. свободны;

4. закреплены упруго, т.е. каждый конец испытывает со стороны заделки продольную силу, пропорциональную смещению и направленную противоположно смещению.

▲ Рассмотрим рис.1, на котором изображен стержень.

Рис.1.

Пусть ось х совпадает с направлением оси стержня и пусть х – координата сечения pq, когда оно находится в покое. Поскольку мы изучаем малые продольные колебания стержня, то это значит, что внешние силы и силы инерции можно считать направленными вдоль оси стержня. Обозначим через u(x,t) смещение этого сечения в момент t. В рамках нашего предположения о том, что во время движения поперечные сечения остаются параллельными плоскости перпендикулярной к оси стержня, смещения в точке х+∆х будет

.

Поэтому относительное удлинение стержня в сечении х будет равно u_x(x,t). По закону Гука натяжение в этом сечении равно

,

где S – площадь поперечного сечения, Е – модуль упругости материала стержня.

Уравнение колебаний стержня получим, если приравняем нулю сумму всех сил, включая силы инерции, действующие на участок pq,p₁q₁. Равнодействующая сила равна

.

Пусть p(x,t) – объемная плотность внешних сил. Тогда на участок pq,p₁q₁ действует внешняя сила S p(x,t)∆x и сила инерции . Сумма всех сил по принципу Даламбера равна нулю, т.е.

. (49)

Отсюда находим

, (50)

кроме того, функция u(x,t) удовлетворяет начальным условиям

,

где - заданные функции. Если(стержень однородный), то уравнение (50) принимает вид

, (51)

где .

Таким образом, мы видим, что волновое уравнение (51) также описывает и малые продольные колебания стержня.

Теперь обратим внимание на концы стержня и рассмотрим четыре случая, поставленные в условии задачи.

1) В случае жесткого закрепления отклонения концов не происходит, и, следовательно,

.

2) Для этого случая краевые условия имеют вид

,

где функции определяют закон движения концов ().

3) В случае свободных концов необходимо составить баланс действующих сил для обеих концов. На левом конце х=0 равнодействующая упругих сил натяжения равна

,

внешняя сила и сила инерции. Сумма всех сил, действующих на выделенный элемент, равна нулю. Отсюда получаем

, (52)

и при ∆х→0 получаем . Рассуждая аналогично для правого концаx=l, получаем условие . Таким образом, краевые условия для этого случая имеют вид:

.

4) При упруго закрепленных концах к силам, действующим на концы стержня необходимо добавить упругую силу равную . Поэтому уравнение (52) будет иметь вид

.

После перехода к пределу при ∆х→0 получаем

,

или обозначив , получим условие для левого конца

.

На правом конце уравнение баланса сил имеет вид

,

и при ∆х→0 получаем второе краевое условие

.▲