Задания для самостоятельной работы

Определить тип уравнения и привести к каноническому виду

1. . 2.. 3..

4. . 5..

6. .

7. .

2. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

2.1. Уравнение колебаний струны

Рассмотрим струну, под которой понимается тонкая нить, не сопротивляющаяся изгибу, длиной l . Пусть эта струна в плоскости (x,u) совершает малые поперечные колебания около своего положения равновесия, совпадающего с осью Ох, то есть все точки струны движутся перпендикулярно оси Ох. Обозначим через u(x,t) отклонение от положения равновесия точки струны с абсциссой х в момент времени t. Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение в точкех в момент времени t направлено по касательной к струне в точке х. Любой участок струны (а,b) после отклонения от положения равновесия в предположении о пренебрежении величинами высшего порядка малости по сравнению с , не изменит своей длины

(16)

и, следовательно, величина натяжения будет постояннойТ₀, не зависящей от х и t, так как закон Гука гласит: изменение натяжения пропорционально изменению длины выделенного участка.

Составим уравнение движения струны. На элемент струны (х,) действуют силы натяженияи внешняя сила, действующая на струну в точкехв момент времениtи направленная перпендикулярно осиОх.

Сумма сил, действующих на струну, согласно закону Ньютона должна быть равна произведению массы элемента струны на его ускорение

, (17)

где - масса элемента струны (х, );

- единичный вектор, направленный вдоль оси u.

Проектируя векторное равенство (17) на ось u, получим

, (18)

но в рамках приближения

,

поэтому выражение (18) принимает вид

и при , получим

. (19)

Это и есть уравнение малых поперечных колебаний струны. Если F(x,t)0, то колебания струны будут вынужденными, а если F(x,t)=0, то колебания струны будут свободными.

Если , то уравнение (19) принимает вид

, (20)

где .

Уравнение (20) называется одномерным волновым уравнением. Для волнового уравнения может быть поставлена задача Коши, и в этом случае необходимо найти функцию u(x,t), удовлетворяющую начальным условиям

где - заданные функции.

2.2. Формула Даламбера

Поставим задачу Коши для однородного волнового уравнения, т.е. найдем решение уравнения

, (21)

удовлетворяющее начальным условиям

. (22)

Эту задачу (21), (22) можно решить методом Даламбера. Введем новые переменные

.

Вычислим :

и подставим их в уравнение (21)

.

После сокращений получим

. (23)

Интегрирование этого уравнения дает

Возвращаясь к переменным х и у, окончательно будем иметь

. (24)

Функция является решением уравнения (21), еслии₁ и и₂ - произвольные дважды дифференцируемые функции. В решении (24) необходимо выбрать функции и₁ и и₂ так, чтобы удовлетворить начальным условиям (22)

(25)

и

. (26)

Проинтегрировав уравнение (26) в пределах от х₀ до х, получим

. (27)

Разрешив совместно уравнения (25) и (27) относительно и₁(х) и и₂(х), получим

(28)

(29)

Подставив (28) и (29) в решение (24) окончательно получим решение задачи Коши для однородного волнового уравнения

. (30)

Формула (30) называется формулой Даламбера для однородного волнового уравнения. Эта формула дает классическое решение задачи (21), (22) только в предположении, что функция имеет производные до второго порядка включительно, а функция- до первого.

Пример 6. Найти решение уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям

.

▲ Для нахождения решения исходной задачи Коши используем формулу Даламбера (30)

,

в которой .

Следовательно,

Окончательно решение исходной задачи имеет вид

▲

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного волнового уравнения

, (31)

. (32)

Пусть есть решение вспомогательной задачи Коши

, (33)

При

. (34)

Формула Даламбера (30) дает

. (35)

Перепишем формулу Даламбера (30) в виде

, (36)

где

являются решениями задачи (33), (34) при исоответственно, т.к. непосредственное дифференцирование показывает, что

.

Решение неоднородного уравнения (31) с нулевыми начальными условиями

имеет вид

. (37)

Поэтому в силу (36) и (37) решение исходной задачи (31), (32) можно представить в виде

. (38)

Таким образом, с учетом (35), окончательно получим

.(39)

Это формула Даламбера, которая дает решения задачи Коши для неоднородного волнового уравнения.

Пример 7. Найти решение уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям

.

▲ Для нахождения решения исходной задачи Коши используем формулу Даламбера (39)

в которой .

Следовательно,

Окончательно решение исходной задачи имеет вид

▲