4. Регрессионный анализ

Так как по результатам корреляционного анализа в регрессионную модель войдет только один фактор, то будет строится модель множественной регрессии, которая имеет следующий вид: .

Построение множественной регрессии сводится к оценке ее параметров – а₀ и а₁. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от расчетных (теоретических) минимальна:

.

Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была минимальной.

Расчет параметров линейной регрессии проводится в Excel при использовании Пакета анализа. Результаты этого расчета приведены в табл. 3.

Таблица 3.

Расчет параметров регрессии

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	12,44	1,12	11,07	0,00
Х4	-14,36	3,48	-4,12	0,00

Уравнение регрессии запишется в следующем виде:

5. Оценка качества построенной модели

Проверку надежности параметров уравнения регрессии проводят с использованием t - критерия. Расчетное значение вычисляется по формуле , . Фактическое значение t- критерия сравнивается с табличным и если , то тогда соответствующий коэффициент регрессии значим, т.е. отличен от нуля, а влияние j-го фактора следует считать сильным. Факторы, оказывающие несущественное влияние на исследуемый показатель, из модели исключают.

В табл. 3 приведена t-статистика. 4,12 – это t_расч для фактора х₄, t_табл – 2,008. Следовательно, что коэффициент регрессии, находящийся при факторе х₄, признается значимым, а фактор х₄ считается сильным и остается в модели.

Проверка адекватности построенной модели производится с помощью статистических критериев и на их основе делается вывод о статистической надежности построенного уравнения регрессии, о пригодности модели для анализа и прогнозирования исследуемого показателя.

Для проверки надежности модели в целом используется отношение факторной дисперсии к остаточной Известно, что отношение этих дисперсий подчиняется распределению Фишера (F-распределение). Расчетное значение F-отношения сравнивается с табличным значением, которое определяется для конкретного уровня значимости . В экономических исследованиях принимается равным 0,05 (реже 0,01), число степеней свободы . Если , то построенная модель считается статистически надежной, а следовательно, отражает закон изменения исследуемого показателя под действием факторов.

F_расч берется из расчета регрессионной модели с помощью Excel (таблица с дисперсионным анализом), табл. 4.

Таблица 4.

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F-расч	Значимость F
Регрессия	1	87,75085865	87,75085865	17,01562271	0,000136945
Остаток	51	263,0108734	5,15707595
Итого	52	350,7617321

F_табл = 3,18. , значит построенная модель считается статистически надежной, а следовательно, отражает закон изменения исследуемого показателя под действием факторов.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

.

Соответственно величина 1-r² характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием остальных не учтенных в модели факторов. Величина коэффициента детерминации является одним из критериев оценки качества линейной модели. Чем больше доля объясненной вариации, тем соответственно меньше роль прочих факторов и, следовательно, линейная модель хорошо объясняет исходные данные, и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака.

Для рассчитанной регрессионной модели коэффициент детерминации равен 0,25. Доля объясненной дисперсии результативного показателя за счет включения в модель фактора х₈ составила 0,25, остальная доля дисперсии результативного показателя (0,75) вызвана влиянием факторов, неучтенных в модели.

Для измерения точности построенной модели используется средняя относительная ошибка аппроксимации

Для экономических исследований применяются следующие уровни ошибки аппроксимации: если до 10%, то построенное уравнение регрессии достаточно точно выражает закон изменения исследуемого показателя под действием факторов и приемлемо для целей анализа; в случае построения модели для прогнозирования, допустимое значение до 4%. Расчет средней относительной ошибки аппроксимации представлен в таблице 5.

Таблица 5.

Расчет средней относительной ошибки аппроксимации

Наблюдение	Предсказанное Y1	Остатки	Y1
1	9,14	0,12	9,26	0,01
2	8,99	0,39	9,38	0,04
3	9,71	2,40	12,11	0,20
4	10,00	0,81	10,81	0,08
5	9,14	0,21	9,35	0,02
6	6,27	3,60	9,87	0,37
7	7,99	0,18	8,17	0,02
8	8,71	0,41	9,12	0,05
9	5,40	0,48	5,88	0,08
10	7,27	-0,97	6,30	0,15
11	7,13	-0,93	6,20	0,15
12	6,27	-0,78	5,49	0,14
13	7,41	-0,91	6,50	0,14
14	6,98	-0,37	6,61	0,06
15	6,41	-2,09	4,32	0,48
16	8,13	-0,76	7,37	0,10
17	7,85	-0,83	7,02	0,12
18	8,85	-0,60	8,25	0,07
19	7,99	0,16	8,15	0,02
20	8,71	0,01	8,72	0,00
21	7,13	-0,49	6,64	0,07
22	8,28	-0,18	8,10	0,02
23	7,56	-2,04	5,52	0,37
24	9,14	0,23	9,37	0,02
25	10,00	3,17	13,17	0,24
26	8,28	-1,61	6,67	0,24
27	6,55	0,13	6,68	0,02
28	6,55	-1,33	5,22	0,26
29	9,28	0,74	10,02	0,07
30	8,28	-0,12	8,16	0,01
31	5,12	-1,34	3,78	0,35
32	7,27	-0,79	6,48	0,12
33	9,14	1,30	10,44	0,12
34	8,71	-1,06	7,65	0,14
35	8,56	0,21	8,77	0,02
36	8,28	-1,28	7,00	0,18
37	9,42	1,64	11,06	0,15
38	9,28	-0,26	9,02	0,03
39	9,86	3,42	13,28	0,26
40	8,85	0,42	9,27	0,05
41	7,99	-1,29	6,70	0,19
42	6,98	-0,29	6,69	0,04
43	8,99	0,43	9,42	0,05
44	7,99	-0,75	7,24	0,10
45	6,41	-1,02	5,39	0,19
46	5,12	0,49	5,61	0,09
47	7,99	-2,40	5,59	0,43
48	7,13	-0,56	6,57	0,08
49	10,14	-3,60	6,54	0,55
50	9,86	-5,63	4,23	1,33
51	6,27	-1,05	5,22	0,20
52	6,70	11,30	18,00	0,63
53	7,99	3,04	11,03	0,28
	Средняя относительная ошибка аппроксимации			17 %

По результатам расчета видно, что модель регрессии неточна.