От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

Используя линейность смешанного произведения по каждому аргументу, находим

Линейность по второму аргументу вытекает из свойства антисимметричности векторного произведения. 2

Отметим также два простых, но полезных предложения.

~

Критерий коллинеарности. Векторы ~a, b коллинеарны тогда и только тогда,

~

когда [~a, b] = 0.

~

Критерий компланарности. Векторы ~a, b, ~c компланарны тогда и только тогда,

~

когда (~a, b,~c) = 0.

10.6Векторное произведение в декартовых координатах

Пусть ~e1, ~e2, ~e3 базисные векторы декартовой системы координат. Легко проверить, что

+a2b1[~e2, ~e1] + a2b2[~e2, ~e2] + a2b3[~e2,~e3]

+a3b1[~e3, ~e1] + a3b2[~e3, ~e2] + a3b3[~e3,~e3]

= (a2b3 − a3b2) ~e1 − (a1b3 − a3b1) ~e2 + (a1b2 − a2b1) ~e3.

Полученный результат легче всего запомнить, увидев в нем формальное применение теоремы Лапласа для разложения определителя по первой строке:

Задача. Доказать, что уравнение [~a, ~x] + [b, ~x] = [~a, b] имеет решение для любых векторов ~a è b.

~

Найти все решения ~x для заданных ~a è b.

10.7Смешанное произведение в декартовых координатах

только что полученные выражения для координат векторного произведения и правило

70 Лекция 10

вычисления скалярного произведения в декартовой системе, находим

=((a2b3 − a3b2) ~e1 − (a1b3 − a3b1) ~e2 + (a1b2 − a2b1) ~e3, (c1~e1 + c2~e2 + c3~e3))

=c1(a2b3 − a3b2) − c2(a1b3 − a3b1) + c3(a1b2 − a2b1)

Последнее равенство получается из теоремы Лапласа при разложении определителя по последнему столбцу.

Следствие. Определитель по абсолютной величине это объем параллелепипеда, натянутого на векторы, определяемые его столбцами.

~

Замечание. Вывод о том, что смешанное произведение (~a, b,~c) есть определитель,

можно сделать сразу же: мы уже доказали, что смешанное произведение линейно по каждому аргументу и равно нулю в случае линейно зависимых векторов; выполнив одно

единственное вычисление (e~1, e~2, e~3) = 1 для базисных векторов декартовой системы,

заключаем, что смешанное произведение является индикатором линейной зависимости своих аргументов и, следовательно, определителем.

10.8Нормали к прямой и плоскости

Ненулевой вектор, ортогональный прямой, называется ее нормалью. Если прямая на плоскости с декартовой системой координат задана общим уравнением

Ax + By + C = 0,

то вектор ~n = (A, B) ортогонален любому вектору на данной прямой. В самом деле,

точки на данной прямой. Подставляя координаты точек в общее уравнений прямой на плоскости, находим

Аналогично, ненулевой вектор, ортогональный плоскости, называется нормалью для данной плоскости. Если плоскость в пространстве с декартовой системой координат задана общим уравнением

Ax + By + Cz + D = 0,

то вектор ~n = (A, B, C) ее нормаль.

неарных векторов ~a è b, принадлежащих плоскости: вектор [~a, b] ортогонален плоскости

~

векторов ~a и b. (Конечно, нормаль к плоскости определена однозначно с точностью до ненулевого коэффициента.)

10.9Расстояние от точки до прямой на плоскости

Рассмотрим прямую l : Ax+By +C = 0 на плоскости с декартовой системой координат и точку M0 = (x0, y0) / l. Для того чтобы найти расстояние ρ(M0, l) от точки M0 äî прямой l, нужно выполнить такие действия:

•провести через точку M0 прямую l0, ортогональную прямой l;

•найти точку M1 = (x1, y1) пересечения прямых l0 è l;

•вычислить длину отрезка M0M1.

Мы уже знаем, что вектор ~n = (A, B) ортогонален прямой l. Поэтому прямая l0 åñòü множество точек вида

10.10Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим плоскость π : Ax + By + Cz + D = 0 в геометрическом пространстве с декартовой системой координат и точку M0 = (x0, y0, z) / π. Расстояние ρ(M0, l) от точки M0 до плоскости π вычисляется в полной аналогии со случаем точки и прямой

на плоскости:

ρ(M0, π) = |Ax0√+ By0 + Cz0 + D|. A2 + B2 + C2

10.11Критерии параллельности вектора прямой и плоскости

Пусть на плоскости заданы прямая l : Ax + By + C = 0 и вектор ~v = (v1, v2). Если система координат декартова, то вектор ~n = (A, B) является нормалью к прямой l.

Поэтому вектор ~v параллелен прямой l тогда и только тогда, когда (~v, ~n) = 0. Учитывая вид скалярного произведения в декартовых координатах, получаем

Для плоскости π : Ax + By + Cz + D = 0 и вектора ~v = (v1, v2, v3) в пространстве с декартовой системой координат получаем аналогичный критерий параллельности:

Заметим, что критерии параллельности (1) и (2) остаются в силе и в случае произвольной аффинной системы координат.

В самом деле, пусть вектор ~v параллелен плоскости π : Ax+By+Cz+D = 0. Возьмем произвольную точку A(x0, y0, z0) этой плоскости и определим точку B(x1, y1, z1) таким

−→ −→

образом, что AB = v . Тогда параллельность вектора ~v плоскости π равносильна тому,

72 Лекция 10

÷òî B π Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0. Учитывая равенство Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0,

находим A(x1 − x0) + B(y1 − y0) + C(z1 − z0) = 0 Av1 + Bv2 + Cv3 = 0.

То же самое можно получить путем перехода от заданной аффинной к какой-нибудь декартовой системе. Мы знаем, что в любой декартовой системе координат с тем же началом плоскость π имеет

где P матрица перехода от заданной аффинной системы к декартовой (см. раздел 9.11). Координаты (v10 , v20 , v30 ) вектора ~v в декартовой системе и его координаты (v1, v2, v3) в исходной аффинной системе

•1 · a = a a V . 1

Âтаких случаях множество V называется вещественным линейным пространством.

Часто встречающийся термин-синоним векторное пространство.

Заметим, что множество V относительно операции сложения векторов является абе-

левой группой. Роль единичного элемента играет нулевой вектор. Вектор b такой, что a + b = b + a = 0, называется противоположным к вектору a и обозначается b ≡ −a.

Некоторые привычные свойства данных операций, ранее свободно применявшихся к матрицам-столбцам, в рассмотренном более абстрактном случае нуждаются в дока-

зательствах.

Утверждение 1. 0 · a = 0 a V .

Доказательство. В силу дистрибутивности, 0 · a = (0 + 0) · a = (0 · a) + (0 · a). Далее, пусть b = −(0 · a) (противоположный вектор к вектору 0 · a). Тогда 0 = b + (0 · a) =

Доказательство. В силу утверждения 1 и дистрибутивности, 0 = 0·a = (1+(−1))·a =

(1 · a) + ((−1) · a) = a + ((−1) · a). 2

Утверждение 4. Åñëè α · a = 0, òî ëèáî α = 0, ëèáî a = 0.

Доказательство. 2 Пусть α 6= 0. Тогда

Как и раньше, для любых чисел α1, . . . , αn вектор w âèäà

w = α1a1 + . . . + αnan

называется линейной комбинацией векторов a1, . . . an, а множество всех линейных ком- бинаций со всеми возможными значениями коэффициентов α1, . . . , αn называется ли- нейной оболочкой векторов a1, . . . , an и обозначается L(a1, . . . , an).

В дальнейшем число 0 и нулевой вектор 0 будут обозначаться одним и тем же символом 0.

11.2Примеры бесконечномерных линейных пространств

(1) Множество функций с вещественными значениями на отрезке [0, 1].

Сумма f + g функций f и g определяется как функция со значениями (f + g)(x) = f(x) + g(x). При умножении функции на число получается функиця αf, опреде-

ляемая правилом (αf)(x) = αf(x). Роль нулевого вектора выполняет функция, тождественно равная нулю.

1Данное свойство равносильно тому, что каждый вектор a можно представить в виде a = αb для некоторого вектора b и некоторого числа α. В самом деле, если это свойство выполнено, то можно взять b = a и α = 1. С другой стороны, пусть выполнение этого свойства не предполагается, но известно, что a = αb. Тогда, используя аксиому α(β a) = (αβ) a, получаем 1 · (αb) = (1 · α) · b = αb 1 · a = a.

2Утверждение нельзя получить без аксиомы 1 ·a = a. В самом деле, возьмем любую абелеву группу V с нулевым элементом 0 и определим умножение на число правилом αa = 0 для всех чисел α и векторов a V . При этом будут выполнены все аксиомы линейного пространства, кроме данной.

(2) Множество бесконечных последовательностей {xk}∞k=1.

Сумма последовательностей {xk} è {yk} определяется как последовательность {zk} с членами zk = xk + yk. Произведение последовательности {xk} на число

α определяется как последовательность {zk} с членами zk = αxk. Роль нулевого вектора выполняет последовательность, в которой все элементы равны нулю.

(3) Множество сходящихся последовательностей {xk}∞k=1.

Операции определяются так же, как и в случае произвольных бесконечных последовательностей. Необходимо лишь заметить, что сумма сходящихся последовательностей останется сходящейся последовательностью, а умножение сходящейся последовательности на число также дает сходящуюся последовательность.

Примеры (1)-(3) замечательны тем, что соответствующие линейные пространства не являются линейной оболочкой какого-то конечного числа своих векторов. Такие линейные пространства называются бесконечномерными.

Докажем, например, бесконечномерность пространства функций. Предположим от противного, что оно совпадает с линейной оболочкой каких-то функций f1, . . . , fn. Тогда

любая функция f имеет вид

Выберем n попарно различных точек x1, . . . , xn [0, 1] и для произвольно выбранной функции f рассмотрим систему уравнений

Это есть система линейных алгебраических уравнений относительно α1(f), . . . , αn(f). Если матрица коэффициентов данной системы необратима, то заведомо решение существует не для любой правой части. Тогда равенство ( ) не выполняется хотя бы для

одной функции f. Следовательно, матрица коэффициентов должна быть обратимой.

Поэтому для заданной функции f коэффициенты α1(f), . . . , αn(f) определены однозначно.

Пусть теперь точка x [0, 1] не совпадает ни с одной из точек x1, . . . , xn. Заведомо существует функция g такая, что g(xi) = f(xi) ïðè i = 1, . . . , n, íî g(x ) 6= f(x ). ßñíî, ÷òî αi(f) = αi(g) ïðè i = 1, . . . , n, откуда f = g, чего быть не может, поскольку

f(x ) 6= g(x ). 2

Задача. Доказать, что для линейной независимости функций f1(x), . . . , fn(x) необходимо и достаточно, чтобы для некоторых чисел x1, . . . , xn матрица [fi(xj)]nij=1 была обратимой.

11.3Примеры конечномерных линейных пространств

Линейные пространства, представляющие собой линейную оболочку некоторого конеч- ного числа своих векторов, называются конечномерными.

(1) Множество многочленов порядка n.

76 Лекция 11

Многочленом (полиномом) от x порядка n называется выражение вида

f(x) = an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a1x + a0.

Åñëè ak 6= 0 è ak+1 = . . . = an−1 = 0, òî k называется степенью многочлена f(x). Выражения вида axi называются одночленами, èëè мономами.

Будем рассматривать f(x) как функцию от x. Тогда сумма многочленов и умноже-

ние многочлена на число определяются так же, как в случае функций общего вида. При этом ясно, что результаты этих операций остаются многочленами. Очевидно,

линейное пространство всех многочленов порядка n является линейной оболочкой

одночленов вида

xn−1, xn−2, . . . , x1, x0 ≡ 1.

(2) Множество m Ч n-матриц с фиксированными размерами m и n.

В данном случае сложение векторов определяется как сложение матриц, а умножение вектора на число как умножение матрицы на число.

Обозначим через Ekl = [(Ekl)ij] матрицу размеров m × n с элементами вида

Таких матриц ровно mn и очевидно, что все пространство m ×n-матриц является их линейной оболочкой.

(3)Множество всех решений однородной системы линейных алгебраических уравнений Ax = b.

Åñëè ðàíã m×n-матрицы A равен r, то фундаментальная система решений данной

однородной системы содержит n−r векторов, а все множество решений совпадает с их линейной оболочкой.

Данное линейное пространство называется нуль-пространством, èëè ядром матрицы A. Обозначение: ker A (в некоторых книгах null A).

(4) Множество всех столбцов вида y = Ax (для заданной матрицы A).

Это хорошо знакомое нам множество, совпадающее с линейной оболочкой столбцов матрицы A. Оно называется образом матрицы A. Обозначение: imA.

11.4Базис и размерность

Пусть V конечномерное пространство. По определению, оно является линейной оболочкой конечного числа своих векторов:

V = L(a1, . . . , an).

Понятия линейно зависимой и линейно независимой систем векторов в абстрактном случае ничем не отличаются от тех же понятий в случае матриц-столбцов. То же справедливо в отношении базиса и размерности:

• V можно представить как линейную оболочку некоторой линейно независимой подсистемы векторов a1, . . . , an;