От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

вытекает из общеизвестных свойств параллелограмма.

Обратим внимание на то, что при фиксированной системе координат любой направленный отрезок равен некоторому и только одному радиус-вектору.

9.3Отношение эквивалентности

Любое непустое подмножество M X × X определяет на множестве X бинарное отношение между его элементами:

ПРИМЕР. X множество всех матриц, M множество таких пар матриц (A, B), для которых существует произведение AB. Ясно, что имеются пары матриц, не входя-

M M

ùèå â M. Кроме того, если A B, то отсюда не следует, что B A.

Бинарное отношение M íà X называется отношением эквивалентности, если выполняются следующие три свойства:

M

Åñëè íà X задано отношение эквивалентности M è x y, òî x è y называются эквивалентными элементами. Множество всех элементов из X, эквивалентных некоторому

элементу a X, называется классом эквивалентности, порожденным элементом a.

Теорема. Непустое множество X с отношением эквивалентности является объеди-

нением непересекающихся подмножеств, каждое из которых состоит из элементов, эквивалентных между собой и не эквивалентных ни одному из элементов других подмножеств.

Доказательство. Пусть X(a) обозначает класс эквивалентности, порожденный элементом a X. Выберем произвольный элемент x и рассмотрим его класс эквивалентности X(a). Åñëè b, c X(a), то каждый из них эквивалентен a, а значит, в силу транзитивности, b è c эквивалентны между собой (b a, a c b c). Ясно также,

÷òî X(b) = X(c) = X(a) (то есть, класс эквивалентности порождается любым своим представителем).

По определению, X(a) содержит абсолютно все элементы, эквивалентные a. Поэтому если b / X(a), òî b не является эквивалентным a. Отсюда следует, что классы

Таким образом, для произвольных элементов a è b классы эквивалентности X(a)

шения доказательства остается исключить из этого объединения совпадающие классы эквивалентности. 2

ПРИМЕР 1. Пусть G произвольная (не обязательно абелева) группа. Элементы a, b G называются сопряженными, если для некоторого h G (зависящего от a è b)

выполняется равенство a = hbh−1. Сопряженность элементов это бинарное отношение на G, которое, как легко проверить, является отношением эквивалентности.

ПРИМЕР 2. Пусть Z множество целых чисел, а p некоторое натуральное (целое положительное) число. Целые числа x è y называются сравнимыми по модулю p, если они имеют одинаковые остатки при делении на p (это означает, что разность x − y делится нацело на p, òî åñòü x − y = kp для некоторого целого k). Обозначение:

x = y (modp).

Пусть x y x − y (mod). Это бинарное отношение на Z является отношением эквивалентности. В данном случае имеется ровно p различных классов эквивалентности

Z(0), Z(1), . . . , Z(p − 1),

называемых обычно вычетами по модулю p.

9.4Свободный вектор

Утверждение. Отношение равенства направленных отрезков является отношением эквивалентности.

Доказательство непосредственно вытекает из определения равенства направленных отрезков.

Определение. Любой класс эквивалентности направленных отрезков называется

бодным вектором, или, короче, вектором.

Согласно определению, свободный вектор ~a содержит все эквивалентные между со-

бой направленные отрезки. При этом для любой точки A существует единственная

−→

точка B такая, что AB ~a. В частности, при фиксированной системе координат всегда имеется один и только один радиус-вектор, принадлежащий ~a.

Пусть V множество всех точек геометрического пространства. Тогда вектор ~a

задает следующее взаимно-однозначное отображение V → V : точка A V переходит

−→

в точку B V такую, что AB ~a. Такое отображение называется параллельным

переносом, èëè сдвигом на вектор ~a.

−→

Традиционно допускаемый элемент вольности в обозначениях: вместо AB ~a ïðè-

−→

нято писать ~a = AB (вектор как класс эквивалентности отождествляется с любым его представителем).

9.5Линейные операции над векторами

−→ −→

~ ~

Сумма векторов: пусть AB ~a è BC b, тогда ~c = ~a + b определяется как вектор,

−→

порожденный направленным отрезком AC.

Важно, что получаемый таким образом вектор ~c не зависит от выбора точки A.

−→ −→

~

В самом деле, пусть P Q ~a è QR b. Тогда из равенства треугольников 4ABC

−→

è 4P QR вытекает равенство длин и сонаправленность направленных отрезков AC è

−→

P R, а значит, и их равенство.

Множество свободных векторов относительно операции сложения векторов образует

абелеву группу. Роль единичного элемента играет нулевой вектор ~

−→

0 = AA. Äëÿ ~a =

åñëè α 6= 0, является одинаково направленным с AB ïðè α > 0 и противоположно направленным при α < 0. Несложно убедиться в том, что вектор α~a не зависит от выбора точки A.

Несложно проверить, что α (β ~a) = (αβ)~a для любых вещественных чисел α, β. Полезно также заметить, что 1 ·~a = ~a, à (−1) ·~a есть вектор, противоположный к ~a.

9.6Координаты вектора

Пусть фиксирована некоторая аффинная система координат. Как уже отмечалось, каждому свободному вектору соответствует один и только один радиус-вектор. Его координаты и будем называть координатами данного свободного вектора.

Пусть O начало системы координат с числовыми осями l1, l2, l3 и точками X l1, Y l2, Z l3, соответствующими числу 1 на данных осях. Система векторов

называется для даннной системы координат базисной (иногда также реперной). Непосредственно из определения координат точки и линейных операций над векто-

рами вытекает следующее

−→

Утверждение 1. Пусть x, y, z координаты вектора ~a = OA в системе координат

с базисными векторами e~1, e~2, e~3. В этом и только в этом случае имеет место разложение

~a = x~e1 + y ~e2 + z ~e3.

Утверждение 2. Пусть xa, ya, za è xb, yb, zb координаты векторов ~a = OA и b = OB,

~

соответственно. Тогда вектор ~c = ~a + b имеет координаты xc = xa + xb, yc = ya + yb, zc = za + zb,

а вектор ~

d = α~a для любого вещественного числа α имеет координаты xd = α xa, yd = α ya, zd = α za.

Для доказательства достаточно установить, что проекция суммы векторов для каждой оси есть сумма проекций данных векторов, а проекция вектора, умноженного на число, есть умноженная на это число проекция данного вектора.

центром в точке O. Докажите, что OA1 + ... + OAn = 0 .

−→ −→ −→ −→ −→

Задача. В тетраэдре ABCD найдите точку M такую, что MA + MB + MC + MD = 0 .

9.7Изоморфизм и линейная зависимость

Пусть V множество всех свободных векторов. Каждый свободный вектор можно

отождествить с соответствующим ему радиус-вектором, а каждый радиус-вектор вида

−→

OA с точкой A геометрического пространства.

Утверждение 2 позволяет установить такое взаимно-однозначное соответствие между множеством свободных векторов V и множеством матриц-столбцов R3, ïðè êîòî-

Взаимно-однозначные отображения, сохраняющие операции, принято называть изоморфизмами, а множества, между которыми такое соответствие установлено, изоморфны-

ìè. Таким образом, множество свободных векторов V изоморфно R3.

Понятия линейной зависимости и линейной независимости систем свободных векторов вводятся точно так же, как и для матриц-столбцов. То же относится к понятию линейных оболочек. Учитывая изоморфизм, в случае свободных векторов мы можем использовать результаты уже выполненного для матриц-столбцов исследования линейной зависимости и связанных с ней понятий базиса и размерности линейной оболочки.

Легко видеть, что введенные выше базисные векторы ~e1, ~e2, ~e3 являются линейно неза- висимыми, а все множество свободных векторов есть их линейная оболочка:

9.8Коллинеарные и компланарные векторы

Определение 1. Векторы называются коллинеарными, если cреди порождающих их направленных отрезков имеются принадлежащие одной прямой.

Определение 2. Векторы называются компланарными, если среди порождающих их направленных отрезков имеются принадлежащие одной плоскости.

Линейная оболочка любой системы коллинеарных векторов, содержащей хотя бы один ненулевой вектор, имеет размерность 1. Верно и обратное: все векторы из линейной

оболочки размерности 1 являются коллинеарными.

Линейная оболочка любой системы компланарных векторов, в которой имеется хотя бы одна пара неколлинеарных векторов, имеет размерность 2. Все векторы из линейной

оболочки размерности 2 являются компланарными.

Будем отождествлять свободные векторы с порождающими их радиус-векторами. Тогда множество всех векторов, коллинеарных заданному вектору, представляет собой

прямую, проходящую через начало координат. Множество всех векторов, компланарных заданной паре неколлинеарных векторов, представляет собой проходящую через начало кооординат плоскость.

Прямая l = AB, проходящая через точки A è B, представляет собой множество точек (радиус-векторов) следующего вида:

9.9Прямая на плоскости

В качестве геометрического пространства часто рассматривается плоскость. В этом случае система координат состоит из двух осей и устанавливает взаимно-однозначное

соответствие между системами двух вещественных чисел (x, y) и точками (радиус-

векторами) плоскости.

Пусть A è B вещественные числа, не равные нулю одновременно. Уравнение вида

называется общим уравнением прямой на плоскости.

Теорема. Пусть на плоскости фиксирована аффинная система координат. Множество точек с координатами x, y, удовлетворяющими уравнению ( ), представляет собой

прямую, и при этом любая прямая может быть задана уравнением вида ( ).

Доказательство. Пусть l прямая, проходящая через точки (x0, y0) è (x1, y1). Тогда, согласно (1), прямая l состоит из точек (x, y) таких, что

ãäå t R è px = x1 −x0, py = y1 −y0. Отсюда (как определитель с линейно зависимыми столбцами)

Теперь рассмотрим множество точек (x, y), удовлетворяющих уравнению ( ). Î÷å-

видно, оно совпадает с множеством всех решений системы линейных алгебраических уравнений, состоящей из одного уравнения

A B xy = −C.

Поскольку хотя бы одно из чисел A, B отлично от нуля, ранг матрицы коэффициентов

равен 1. Поэтому общее решение данной системы имеет вид ( ), где (x0, y0)> любое фиксированное частное решение, а вектор (px, py)> образует фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы (в данном случае состоящей из одного вектора). 1 2

1Конечно, в данном частном случае этот факт легко доказывается и без ссылок на общую теорию.

9.10Плоскость в пространстве

Пусть A, B, C вещественные числа, не равные нулю одновременно. Уравнение вида

называется общим уравнением плоскости.

Теорема. Пусть в пространстве фиксирована аффинная система координат. Множество точек с координатами x, y, z, удовлетворяющими уравнению (#), представляет собой

плоскость, и при этом любая плоскость может быть задана уравнением вида (#).

Доказательство. Пусть π плоскость, проходящая через точки (x0, y0, z0), (x1, y1, z1), (x2, y2, z2). Тогда, согласно (2), плоскость π состоит из точек (x, y, z) таких, что

Как уравнение относительно x, y, z, очевидно, это уравнение имеет вид (#).

Теперь рассмотрим множество точек (x, y, z), удовлетворяющих уравнению (#). Îíî

совпадает с множеством всех решений системы линейных алгебраических уравнений, состоящей из одного уравнения

x

A B C y = 0. z

Отличие от нуля хотя бы одного из чисел A, B, C означает, что матрица коэффициентов

имеет ранг 1. Значит, общее решение имеет вид (##), где (x0, y0, z0)> некоторое част- ное решение, а векторы (px, py, pz)> è (qx, qy, qz)> образуют фундаментальную систему

решений соответствующей однородной системы. 2

9.11Преобразование координат

Пусть имеются две аффинные системы координат: первая с центром в точке O и базис-

ными векторами e1, e2, e3, вторая с центром в точке O0 и базисными векторами e01, e02, e03. Запишем

и образуем так называемую матрицу перехода (от первой базисной системы ко второй)

"#

p11 p12 p13

P = p21 p22 p23 . p31 p32 p33

Если имеется какая-то третья система базисных векторов и векторы ei, e0i рассматрива-

ются как столбцы из координат разложений по данной третьей системе, то справедиво равенство

равны (x0, y0, z0). Тогда

xe1 + ye2 + ze3 = (x0e1 + y0e2 + z0e3)+

x0(p11e1 + p21e2 + p31e3) + y0(p12e1 + p22e2 + p32e3) + z0(p13e1 + p23e2 + p33e3) =

(x0 + p11x0 + p12y0 + p13z0)e1 + (y0 + p21x0 + p22y0 + p23z0)e2 + (z0 + p31x0 + p32y0 + p33z0)e3.

Следовательно, координаты одной и той же точки в первой и второй системах координат связаны следующим соотношением:

zz0 z0

Отсюда легко понять, например, как связаны общие уравнения одной и той же плоскости в разных аффинных системах координат. Если в первой системе координат имеем

уравнение Ax + By + Cz + D = 0, то, записывая его в матричном виде, находим

Таким образом, уравнение той же плоскости во второй системе получает вид

[A0 B0 C0] = [A B C] P, D0 = D − (Ax0 + By0 + Cz0).

9.12Полуплоскости и полупространства

Пусть на плоскости дана прямая l : Ax + By + C = 0. Тогда любая точка P = (x, y) на плоскости принадлежит одному из трех множеств

l = {(x, y) : Ax + By + C = 0},

π+ = {(x, y) : Ax + By + C > 0}, π− = {(x, y) : Ax + By + C < 0}.

Говорят, что прямая l делит плоскость на две полуплоскости π+ è π−.

Возьмем две точки P = (x1, y1) è Q = (x2, y2), тогда любая точка отрезка P Q имеет координаты

x = x1 + t(x2 − x1) = (1 − t)x2 + tx1, y = y1 + t(y2 − y1) = (1 − t)y2 + ty1, 0 ≤ t ≤ 1.

Отсюда ясно, что если P è Q принадлежат обе одному из множеств π+ èëè π−, òî âñå точки отрезка P Q принадлежат тому же множеству.

66 Лекция 10

Теорема. Пусть в заданной декартовой системе координат вектор ~a имеет коорди-

Доказательство. Запишем

Опираясь на свойства скалярного произведения (2) − (4) и сооношения ( ), находим

33

XX

=aibj(~ei, ~ej) = a1b1 + a2b2 + a3b3. 2

i=1 j=1

Замечание 1. Если в некоторой системе координат скалярное произведение любых

~

векторов ~a è b вычисляется по формуле (#), то данная система координат декартова.

Замечание 2. В случае декартовой системы координат для векторов на плоскости формула (#) приобретает вид

~

(~a, b) = a1b1 + a2b2.

10.3Об обобщениях

Формула (#) и свойства (1) −(4) дают основу для введения скалярного произведения в

более общих случаях для объектов, уже не являющихся векторами в геометрическом пространстве.

Например, если a = [a1, . . . , an]>, b = [b1, . . . , bn]> матрицы-столбцы èç Rn, òî можно определить их скалярное произведение по аналогии с формулой (#):

(a, b) = a1b1 + . . . + anbn. ( )

Есть и другая идея, имеющая более общий характер взять за основу свойства

(1) − (4) и называть скалярным произведением любую функцию от матриц-столбцов

a, b, удовлетворяющую аксиомам (1) − (4).

Для геометрических векторов скалярное произведение определялось на основе таких понятий, как длина вектора и угол между векторами. В более общих случаях проще ввести каким-то образом скалярное произведение и уже с его помощью вводить понятия длины и угла:

Например, опираясь на ( ), можно ввести таким образом длину и угол для векторов a, b Rn. При этом важно, что

pp

|(a, b)| ≤ (a, a) (b, b).

Это неравенство (известное как неравенство Коши Буняковского Шварца) легко выводится из ( ), но в действительно оно справедливо для всех мыслимых способов задания

скалярного произведения подробный разговор на эту тему будет позже.