От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

7.8Теорема Кронекера Капелли

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений Ax = b ñ m × n-матрицей

A = [a1, . . . , an]. Матрица [A, b] = [a1, . . . , an, b] называется расширенной матрицей

данной системы.

Теорема. Система Ax = b совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов совпадает с рангом расширенной матрицы:

rankA = rank[A, b].

Доказательство. Мы уже знаем (см. Лекцию 3), что совместность системы Ax = b равносильна равенству линейных оболочек L(a1, . . . , an) = L(a1, . . . , an, b). Остается

заметить, что rank A = dim L(a1, . . . , an) è rank [A, b] = dim L(a1, . . . , an, b). 2

7.9Общее решение системы линейных алгебраических уравнений

Åñëè U è V два множества векторов из Rn, то суммой U + V называется множество, составленное из всевозможных сумм векторов вида u + v, ãäå u U, v V .

Теорема. Предположим, что система Ax = b совместна, и зафиксируем произвольное частное решение u (Au = b). Тогда множество всех решений системы Ax = b имеет вид u + V , где V множество всех решений соответствующей однородной системы Ax = 0.

x u + V x = u + v, v V A(u + v) = Au + Av = b + 0 = b. 2

Следствие. Общее решение совместной системы Ax = b имеет вид x = u + c1v1 + . . . + cn−rvn−r,

где u произвольное частное решение данной системы, v1, . . . , vn−r линейно незави- симые решения соответствующей однородной системы, r = rank A, а коэффициенты c1, . . . , cn−r произвольные числа.

Задача. Что можно сказать о матрице и правой части системы Ax = b относительно вектора x Rn, если ее решением является любой вектор из Rn?

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

7.10Неустойчивость ранга

Матрица называется матрицей полного ранга, если ее ранг совпадает с одним из ее размеров (то есть, имеет максимально возможное значение). В противном случае говорят

о матрице неполного ранга.

Можно доказать, что если A åñòü m×n-матрица полного ранга, то при всех достаточ- но малых ε > 0 матрица A + F , где все элементы матрицы-возмущения F по модулю меньше ε, будет также матрицей полного ранга. Для этого достаточно заметить, что

любой минор можно рассматривать как функцию своих элементов и это будет непрерывная функция. Если при некоторых значениях переменных непрерывная функция отлична от нуля, то она будет отлична от нуля также в некоторой достаточно малой окрестности этих значений.

В то же время, если A имеет неполный ранг, то для любого сколь угодно малого ε существует матрица-возмущение F с элементами по модулю не больше ε, для которой A + F будет матрицей полного ранга. Например, матрица

имеет ранг 2, но для любого ε 6= 0 матрица

имеет, очевидно, ранг 3.

В дальнейшем первые строка и столбец остаются без изменений. Если во втором столбце имеется не нуль, делаем соответствующую строку второй и с ее помощью исключаем все остальные элементы второго столбца:

Первые два столбца и первые две строки меняться больше не будут. Может случиться так, что у нас получились внеплановые нулевые столбцы. Например, если оставшиесякрестики в третьем и четвертом столбцах оказались нулями, то следует проводить исключение с помощью ненулевого элемента в пятом столбце (если таковой есть):

Кажый шаг, очевидно, сводится к умножению матрицы слева на некоторую матрицу Pl. При этом каждая из матриц Pl, 1 ≤ l ≤ k, может быть представлена как произведение двух матриц:

Pl = ZlΠl,

ãäå Zl отличается от I (единичной матрицы) только в позициях ниже главной диагонали какого-то одного (пусть j-го) столбца:

à Πl получается из I перестановкой столбцов (или строк). Матрицы Πl è Zl указанного специального вида будем для краткости называть элементарными матрицами; матри-

öà Πl называется матрицей перестановки, à Zl матрицей модификации строк. Èõ

роль в процессе исключения объясняется следующими фактами:

•матрица ΠlA отличается от A перестановкой строк;

•åñëè Zl отличается от единичной матрицы j-м столбцом, то матрица ZlA имеет первые j строк те же, что и в матрице A, а i-я строка при i > j есть сумма i-й строки и взятой с некоторым коэффициентом j-й строки матрицы A.

Утверждение 1. Любая матрица перестановки Π обратима и при этом

Π−1 = Π>.

Утверждение 2. Любая матрица модификации строк Z = Zl обратима и при этом обратная матрица получается из Z изменением знаков поддиагональных элементов:

Доказательство сводится к непосредственной проверке равенств ΠΠ−1 = I, ZZ−1 = I.

8.3Ступенчатые матрицы

Будем говорить, что матрица S = [sij] размеров m Ч n является верхней ступенчатой с числом ступеней k, если существуют номера 1 ≤ j1 < . . . < jk ≤ m, для которых:

• åñëè 1 ≤ i ≤ k, òî sij 6= 0 ïðè j = ji è sij = 0 ïðè âñåõ 1 ≤ j ≤ ji − 1;

• åñëè k + 1 ≤ i ≤ m, òî sij = 0 ïðè âñåõ 1 ≤ j ≤ n.

Матрица S называется нижней ступенчатой с числом ступеней k, если S> является верхней ступенчатой с числом ступеней k.

Утверждение. Ранг ступенчатой матрицы с числом ступеней k равен k.

Доказательство. Рассмотрим верхнюю ступенчатую матрицу S и докажем, что ее строчный ранг (размерность линейной оболочки строк) равен числу ступеней k. Ясно, что S имеет ровно k ненулевых строк. Докажем, что эти строки линейно независимы. Приравняем нулю их линейную комбинацию с коэффициентами α1, . . . , αk:

[α1, . . . , αk]S = [0, . . . , 0].

Отсюда

α1 s1i1 = 0 α1 = 0.

Далее,

+ α2s2 i2 = 0 α2 = 0.

Продолжая подобным образом, находим α1 = . . . = αk = 0. В случае нижней ступенча- той матрицы S ее столбцовый ранг, очевидно, совпадает со строчным рангом верхней ступенчатой матрицы S>. 2

8.4Приведение к ступенчатой форме

Теорема 1. Для любой mЧn-матрицы A ранга r существует обратимая матрица P ,

представимая в виде произведения конечного числа элементарных матриц и такая, что матрица S = P A является верхней ступенчатой с числом ступеней r.

Доказательство. Обозначим через j1 номер первого столбца матрицы A, в котором есть хотя бы один ненулевой элемент. (Если таковой столбец отсутствует, то A = 0 и теорема уже доказана.) С помощью умножения слева на некоторую матрицу перестановки

8.7Метод Гаусса и LU-разложение

Рассмотренный выше метод исключения неизвестных обычно называют методом Гаусса. Пусть он применяется к системе Ax = b с невырожденной матрицей A. В данном

случае верхняя ступенчатая матрица, к которой приводится матрица A, оказывается верхней треугольной матрицей.

Метод исключения неизвестных можно трактовать как метод исключения элементов матрицы с целью приведения ее к более простому виду. Если можно обойтись без пере-

становки уравнений (строк матрицы), то метод Гаусса для матрицы порядка n состоит

в последовательном исключении элементов в столбцах от 1-го до n − 1-го и приводит к равносильной системе

ãäå Z1, . . . , Zn−1 матрицы модификации строк, причем Zi отличается от I в точности

i-м столбцом. Каждая из матриц Z1, . . . , Zn−1 является нижней треугольной, поэтому их произведение

Lb = Zn−1 . . . Z1

является также нижней треугольной матрицей. Матрица коэффициентов системы ( )

U = Zn−1 . . . Z1A = Lb A

является верхней треугольной. Матрица L = Lb−1 является также нижней треугольной.

Следовательно, метод Гаусса порождает разложение матрицы A в произведение нижней

и верхней треугольной матриц

A = LU.

Ïðè ýòîì L имеет на главной диагонали единицы, а U является невырожденной матрицей (в силу невырожденности A). Такое разложение называется LU-разложением.

Подсчитаем число арифметических операций при приведении A к верхней треугольной матрице U. Íà i-м шаге требуется получить n − i нулей ниже диагонали в i-м столбце. При получении нуля на пересечении i-го столбца и l-й строки при l > i èç l-é

строки вычитается i-я строка, предварительно умноженная на коэффициент, выбор ко-

торого и обеспечивает получение данного нуля. Поскольку в рассматриваемых строках может быть только n − i ненулевых элементов, число умножений (и вычитаний) при

(n − i)2. Всего потребуется

(n − 1)2 + (n − 2)2 + . . . + 12 = 13n3 + O(n2)

умножений и столько же вычитаний; через O(n2) обозначен многочлен от n степени 2.

Чтобы найти решение системы Ax = b, требуется выполнить еще два действия:

•вычислить вектор Zn−1 . . . Z1b;

•найти решение системы с верхней треугольной матрицей U.

Каждое из этих действий требует лишь O(n2) арифметических операций на порядок меньше, чем приведение к верхнему треугольному виду.

Задача. Невырожденная матрица и обратная к ней разбиты на блоки одинаковых размеров:

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

8.8LU-разложение и строго регулярные матрицы

Допустим, что невырожденная матрица A имеет LU-разложение: A = LU. Обозначим через Ak, Lk, Uk подматрицы порядка k, расположенные в левом верхнем углу матриц A, L, U, соответственно, и рассмотрим равенство блочных матриц

Очевидно, что матрицы Lk è UK невырожденные (как треугольные матрицы с ненулевой диагональю). Поэтому подматрица Ak должна быть невырожденной. Матрица A, â которой все подматрицы Ak невырожденные, называется строго регулярной.

Таким образом, для существования LU-разложения невырожденной матрицы A

необходимо, чтобы она была строго регулярной.

Можно доказать, что это условие является также и достаточным. В самом деле, пусть уже построено LU-разложение для подматрицы Ak = LkUk. Тогда

56 Лекция 9

Легко видеть, что плоскости π1, π2, π3 пересекаются в одной точке M = M(x, y, z). Таким образом устанавливается взаимно-однозначное соответствие

(x, y, z) ↔ M(x, y, z).

Точки X, Y, Z называются проекциями точки M на прямые l1, l2, l3 параллельно плос- костям, соответственно, π1, π2, π3. Числа x, y, z называются координатами точки M = M(x, y, z), а система числовых осей l1, l2, l3 аффинной системой координат. Точка O называется началом (èëè центром) системы координат.

Эпитет аффинная по отношению к системе координат означает только то, что углы между осями могут не быть прямыми, а длины отрезков [OP1(1)], [OP2(1)], [OP3(1)] не обязательно равные. Если углы между осями прямые, а длины указанных отрезков равны 1, то система координат называется декартовой.

9.2Направленные отрезки

Любую упорядоченную пару точек A, B будем называть направленным отрезком ñ íà-

−→

чалом в точке A è концом в точке B. Обозначение: AB.

Если имеется система координат с началом в точке O, то направленный отрезок

−→

âèäà OA называется радиус-вектором точки A. Координаты точки A называются также

−→

координатами радиус-вектора OA.

Точка A 6= B разбивает прямую AB íà äâà ëó÷à: ëó÷ [AB), состоящий из точек данной прямой, лежащих вместе с B по одну сторону от A и дополнительный луч,

состоящий из точек, лежащих по другую сторону (точка A для двух лучей являет-

ся общей). Два луча на одной прямой называются одинаково направленными, если их пересечение является лучом (и противоположно направленными, если их пересечение

является отрезком). Если прямые AB è CD не совпадают, то лучи [AB) è [CD) называются одинаково направленными, если эти прямые параллельны и точки B è D лежат

по одну сторону от прямой AC.

−→

Предположим, что A 6= B, рассмотрим отрезок AB, и пусть C произвольная точка. Проведем через C прямую, параллельную прямой AB или совпадающую с ней в случае C AB. На этой прямой можно найти ровно две точки D1 è D2 такие, что

|CD1| = |CD2| = |AB|. Выберем из них такую точку D {D1, D2}, для которой лучи

−→

[AB) è [CD) одинаково направлены. Направленный отрезок CD будем считать равным

Заметим, что все случаи при определении равенства направленных отрезков можно свести к одному случаю, если принять формально другое (и притом симметрич-

−→ −→

ное ) определение: назовем направленные отрезки AB è CD равными, если середины отрезков [AD] è [BC] совпадают. Эквивалентность нового определения предыдущему