От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

38 Лекция 6

Поэтому, в силу соотношений ( ),

Используя теорему Лапласа для разложения определителя по k-му столбцу, находим

Задача. Докажите, что любую невырожденную матрицу можно сделать вырожденной, изменив лишь один из ее элементов.

6.6Правило Крамера

Теорема. Пусть A невырожденная матрица порядка n. Тогда система линейных алгебраических уравнений Ax = b имеет и притом единственное решение x c компонентами

ãäå Ai матрица, получаемая из A заменой i-го столбца на b.

Доказательство. Согласно теореме об обращении невырожденной матрицы,

n

Остается заметить, что сумма P Ajibj есть разложение по i-му столбцу определителя

j=1

матрицы Ai. 2

6.7Определитель произведения матриц

Теорема. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.

Доказательство. Пусть A = [a1, . . . , an] матрица порядка n со столбцами a1, . . . , an è B = [bij]. Тогда любой столбец матрицы AB есть линейная комбинация столбцов матрицы A с коэффициентами из соответствующего столбца матрицы B:

Лекция 7

7.1Разделение переменных и матрицы

При изучении функций от двух переменных особую роль играют функции с разделенными переменными f(x, y) = u(x)v(y) или суммы таких функций 1

f(x, y) = u1(x)v1(x) + . . . + ur(x)vr(y).

Пусть дана m × n-матрица A. Ее элемент aij

дискретных переменных i {1, . . . , m}, j {1, . . . , n}. В данном случае разделение переменных означает, что

Это же равенство, записанное в виде произведения двух матриц

называется скелетным разложением матрицы A. Оно означает, что каждый столбец матрицы A есть линейная комбинация столбцов матрицы U, а каждая строка матрицы A есть линейная комбинация строк матрицы V >. Отсюда сразу же вытекает

Теорема. Размерность линейной оболочки, натянутой на столбцы матрицы A, совпадает с размерностью линейной оболочки, натянутой на ее строки:

1Разделение переменных с большим успехом применяется для приближения функций общего вида. 2Матрица uv> иногда называется внешним произведением векторов u Cm è v Cn.

41

(Равенство MM−1 = I проверяется непосредственно.) Поскольку M не является обратимой матрицей, непременно

γ = c − u>P −1v = 0 c = u>P −1v.

7.5Теорема о базисном миноре

Теорема. Столбцы (строки), содержащие базисный минор, являются линейно независимыми, при этом любой столбец (любая строка) данной матрицы является их

линейной комбинацией.

Доказательство. Не ограничивая общности, предположим, что базисная подматрица P порядка k расположена в левом верхнем углу матрицы A размеров m × n. Таким

образом,

По условию теоремы, любая подматрица порядка k + 1 âèäà

является необратимой. По лемме о необратимом окаймлении обратимой подматрицы, последний столбец в M есть линейная комбинация первых k столбцов. При этом ко-

эффициенты данной линейной комбинации не зависят от i (поскольку определяются вектором P −1 vj). Значит, j-й столбец матрицы A при j > k есть линейная комбинация первых k столбцов. Линейная независимость первых k столбцов доказывается следующим образом: пусть их линейная комбинация с коэффициентами α1, . . . , αk равна 0,

Утверждение теоремы относительно строк доказывается переходом к транспонированной матрице. 2

Матрица имеет ранг r тогда и только тогда, когда некоторый минор порядка r отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры порядка r + 1 равны нулю.

Следствие 2.

Замечание. Теорема о базисном миноре не использует доказанной ранее теоремы о равенстве столбцового и строчного рангов. По существу, она дает еще одно доказательство этой теоремы.

Задача. Путь A n Ч n-матрица ранга k, а B любая невырожденная подматрица порядка k. Обозначим через R подматрицу размеров k Ч n, состоящую из строк матрицы A, содержащих подматрицу B, а через C подматрицу размеров n Ч k, состоящую из столбцов, содержащих B. Доказать,

÷òî

A = CB−1R.

предыдущего утверждения, rank B ≤ rank A. В то же время, A = P −1BQ−1

rank A ≤ rank B. 2

Это утверждение полезно при вычислении ранга. Обычно это делается с помощью элементарных преобразований строк и столбцов, упрощающих вид матрицы путем исключения ее элементов; эти преобразования сводятся к умножению матрицы слева и справа на некоторые обратимые матрицы (специального вида) и поэтому сохраняют ранг.

Утверждение 4. При изменении k строк (столбцов) матрицы ее ранг не может измениться больше чем на k.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай k = 1. Пусть ранг равен r, а столб-

öû aj1 , . . . , ajr являются базисными. Если столбец aj совпадает с одним из этих столбцов, то при любом его изменении данная система столбцов будет иметь линейно неза-

висимую подсистему с числом столбцов r − 1. Поэтому ранг новой матрицы не меньше

÷åì r − 1 и, конечно, не больше r. Если столбец aj не сопадает ни с одним из выбран- ных базисных столбцов, то любой столбец новой матрицы линейно выражается через столбцы aj1 , . . . , ajr , aj, поэтому ее ранг не превышает r + 1 и не меньше чем r, òàê êàê

имеется система из r линейно независимых столбцов aj1 , . . . , ajr . 2

Следствие. При добавлении (изъятии) k столбцов ранг матрицы не может измениться более чем на k.

Задача. Пусть A è B матрицы ранга 1. Докажите, что если AB = BA 6= 0, то ранг матрицы

A + B не больше 1.

Задача. Заданы столбцы x, y Rn, причем x 6= 0. Докажите, что существует симметричная матрица A Rn×n такая, что rankA ≤ 2 è Ax = y.

Задача. Матрица A имеет r столбцов, а матрица B имеет r строк. Докажите, что

r≥ rank(A) + rank(B) − rank(AB).

7.7Однородная система линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений с нулевой правой частью

Ax = 0 ( )

называется однородной. Пусть в данной системе имеется m уравнений и n неизвестных. Тогда матрица коэффициентов A имеет размеры m × n. Рассмотрим A как систему столбцов A = [a1, . . . , an] и предположим, что ее ранг равен r. Не ограничивая общности, будем считать, что базисная подматрица в A расположена на первых r столбцах

будем называть их базисными. Отвечающие базисным столбцам компоненты решения x1, . . . , xr будем также называть базисными, а оставшиеся компоненты xr+1, . . . , xn свободными. Таким образом, вектор-решение имеет вид

. . .

xn

46 Лекция 7

Система ( ) равносильна равенству

x1a1 + . . . + xrar = −xr+1ar+1 − . . . − xnan. ( )

По теореме о базисной подматрице, столбцы ar+1, . . . , an принадлежат линейной обо- лочке столбцов a1, . . . , ar. Поэтому при любом выборе значений свободных неизвестных значения базисных неизвестных, удовлетворяющих равенству ( ), существуют и определяются однозначно. Таким образом, существуют n − r векторов вида

каждый из который является решением системы ( ):

Av1 = 0, . . . , Avn−r = 0.

Векторы v1, . . . , vn−r линейно независимы:

Кроме того, любая линейная комбинация этих векторов является решением системы ( ) и, более того, если x есть произвольное решение системы ( ), то

x = xr+1v1 + . . . + xnvn−r.

Таким образом, мы доказали следующее важное утверждение.

Теорема. Множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений ( ) совпадает с линейной оболочкой L(v1, . . . , vn−r) линейно независимых векторов

v1, . . . , vn−r.

Следствие. dim L(v1, . . . , vn−r) = n − r.

Линейно независимую систему решений w1, . . . , wk системы Ax = 0 называют фундаментальной системой, если ее линейная оболочка L(w1, . . . , wk) совпадает с множеством всех решений однородной системы Ax = 0.

Следствие. Число векторов в любой фундаментальной системе решений для Ax = 0 равно n − r, где r = rank A.

Для доказательства достаточно заметить, что линейная оболочка векторов фундаментальной системы решений имеет базис из построенных выше векторов v1, . . . , vn−r.

Задача. Даны матрицы A è B порядка n такие, что AB = 0 и при этом матрица A + B невырожденная. Доказать, что rankA + rankB = n.