От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

Тогда для любой подстановки σ Sn имеет место одно из двух:

Δ(x1, . . . , xn) = Δ(xσ(1), . . . , xσ(n)) ëèáî Δ(x1, . . . , xn) = −Δ(xσ(1), . . . , xσ(n)).

Четные подстановки и только они знак сохраняют (первый случай), нечетные и только они знак меняют (второй случай).

Sn образует подгруппу (докажите!), которая называется знакопеременной группой степени n и обозначается An.

Задача. Докажите, что любую четную подстановку степени n ≥ 3 можно представить в виде произведения циклов длины 3.

4.5Единственность индикатора линейной зависимости

Вернемся к построению индикатора линейной зависимости функции f(a1, . . . , an) от векторов

удовлетворяющей требованиям (A), (B), (C). Легко видеть, что

ãäå e1, e2, . . . , en столбцы единичной матрицы размеров n × n.

Если искомая функция f существует, то свойство (A) линейности по каждому аргументу приводит к выражению

Согласно требованию (B), f = 0 на любой линейно зависимой системе векторов.

Очевидно, система векторов ei1 , ei2 , . . . , ein будет линейно зависимой в том и только том

случае, когда среди этих векторов есть равные (если все эти векторы попарно различны, то они образуют перестановку столбцов единичной матрицы). Следовательно, исключая из суммирования заведомые нули, находим

X

f(a1, . . . , an) = aσ(1)1 aσ(2)2 . . . aσ(n)n f(eσ(1)i, eσ(2), . . . , eσ(n)).

σ Sn

Далее, из требований (A) и (B) вытекает, что f должна менять знак при перестановке

любых двух аргументов. Докажем это, например, для первого и второго аргументов. Учтем, что f = 0 в случае равных аргументов и воспользуемся линейностью по каждому

аргументу:

0 = f(a1 + a2, a1 + a2, a3, . . . , an) =

f(a1, a1, a3, . . . , an)+f(a1, a2, a3, . . . , an)+f(a2, a1, a3, . . . , an)+f(a2, a2, a3, . . . , an).

Первое и четвертое слагаемые имеют совпадающие векторы и поэтому равны нулю. Отсюда

f(a1, a2, a3, . . . , an) = −f(a2, a1, a3, . . . , an).

Следовательно, если подстановка σ является транспозицией, то

f(eσ(1), eσ(2), . . . , eσ(n)) = −f(e1, e2, . . . , en) = −1.

В общем случае подстановку σ можно разложить в произведение транспозиций. Пусть δ(σ) есть число транспозиций в каком-либо из разложений. Тогда

f(eσ(1), eσ(2), . . . , eσ(n)) = (−1)δ(σ).

По лемме о числе транспозиций, четность числа не зависит от конкретного разложения в произведение транспозиций, поэтому величина (−1)δ(σ) зависит только от σ. Назовем ее знаком подстановки и обозначим через sgn(σ). Окончательно,

Мы доказали важное

Утверждение. Если функция индикатор линейной зависимости существует, то она определяется формулой ( ).

4.6Определитель

Определение. Функция вида ( ) называется определителем (детерминантом) матрицы A со столбцами a1, a2, . . . , an и обозначается det A èëè |A|.

Таким образом, если матрица размеров n × n, òî

a31 a32 a33

В общем случае сумма (4) содержит n! членов, в каждом из них перемножаются n

элементов матрицы, причем никакие два элемента в одном произведении не принадлежат одной строке или одному столбцу.

Несмотря на то, что определитель вводится как функция от матрицы, исторически понятие определителя сформировалось в 18 веке (сначала в трудах Лейбница и Крамера, затем теория определителей была развита в работах Вандермонда, Лапласа, Коши и К.Якоби) намного раньше понятия матрицы, введенного в алгебру Гамильтоном и Кэли в середине 19 века. Конечно, с самого начала определитель связывался с квад-

ратной таблицей n ×n чисел (поэтому говорили об определителе порядка n). Ýòî áûëè,

в частности, таблицы коэффициентов "квадратной"системы линейных алгебраических уравнений. Но такие таблицы стали называть матрицами позже когда для них ввели операцию умножения.

X

=sgn(σ) aσ(1)1 aσ(2)2 . . . (αpσ(i)i + βqσ(i)i) . . . aσ(n)n

σ Sn

(2) Определитель меняет знак при перестановке двух столбцов.

Доказательство. Пусть матрица B = [bij] отличается от A перестановкой столбцов ai è aj. Тогда для любой подстановки σ Sn

aσ(1)1 . . . aσ(n)n = b(στ)(1)1 . . . b(στ)(n)n,

ãäå τ = (i, j), и поскольку транспозиция меняет знак подстановки,

sgn (στ) = −sgn (σ).

Легко видеть, что отображение σ → στ задает взаимно-однозначное соответствие между подстановками. Каждый член суммы вида (4) определяется одной и только одной

подстановкой. Подстановки σ è στ в разложениях det A è det B определяют члены с

произведением одних и тех же элементов (в разном порядке), но с противоположными знаками. Значит, det A = − det B. 2

(3) Если столбцы матрицы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Прежде всего заметим, что определитель с двумя равными столбцами равен нулю, поскольку в силу утверждения (2) он равен себе самому с противоположным знаком.

Если столбцы a1, a2, . . . , an линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражается через остальные. Пусть

X

ai = αk ak.

k6=i

Обозначим через B матрицу, полученную из A заменой столбца ai íà

X

ai − αk ak = 0.

k6=i

Опираясь на уже установленное свойство (1), находим

X

0 = det B = det A − αk det Ak,

k6=i

где матрица Ak получается из A заменой i-го столбца на ak. ßñíî, ÷òî â Ak равны i-é è k-й столбцы, поэтому det Ak = 0. Таким образом, det A = det B = 0. 2

(4) Определитель как функция строк матрицы обладает свойствами, аналогичными

(1), (2), (3).

Доказательство. Достаточно учесть, что det A = det A>, и рассмотреть det A как функцию столбцов матрицы A>. 2

Задача. Äàíû матрицы-столбцы u1, . . . , uk, v1, . . . , vk Rn è A = u1v1> + ... + ukvk>. Доказать, ÷òî det A = 0, åñëè k < n.

Задача. Пусть u, v Rn è I единичная матрица. Докажите, что det(I + uv>) = 1 + v>u.

5.3Существование индикатора линейной зависимости

Теорема. Индикатор линейной зависимости (функция, наделенная свойствами (A), (B), (C) из первого раздела Лекции 4) существует, единствен и является определителем.

Свойства (A) и (B) индикатора линейной зависимости совпадают с установленными выше свойствами определителя (1) и (3). Свойство (C) означает, что определитель единичной матрицы равен 1 и является следствием следующего более общего утверждения.

Утверждение. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов

Доказательство. Для диагональной матрицы в сумме (4) для ее определителя есть только одно ненулевое слагаемое, равное произведению элементов главной диагонали.

2

5.4Подматрицы и миноры

Для заданной матрицы A = [aij] можно выбрать какие-то из ее строк и столбцов и составить таблицу элементов, расположенных на пересечении выбранных строк и столбцов. Такая таблица называется подматрицей матрицы A.

Пусть A квадратная матрица порядка n. Чтобы задать квадратную подматрицу порядка k, нужно указать номера содержащих ее строк 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n и столбцов 1 ≤ j1 < . . . < jk ≤ n. Обозначим через Nk множество всех систем номеров (i1, . . . , ik),

Пусть I0 = (i01, . . . , i0m) еще одна система номеров, упорядоченных по возрастанию 1 ≤ i01 < . . . < i0m ≤ n. Назовем систему для I = (i1, . . . , ik), åñëè

{i1, . . . , ik} ∩ {i01, . . . , i0m} = , {i1, . . . , ik} {i01, . . . , i0m} = {1, . . . , n}.

Очевидно, в этом случае k + m = n.

Пусть заданы системы строчных и столбцовых номеров I, J Nk и пусть I0 è J0дополнительные системы, соответственно, для I è J. Подматрица A(I0, J0) порядка

m = n−k называется дополнительной подматрицей по отношению к подматрице A(I, J) порядка k.

Определитель подматрицы порядка k называется также минором порядка k, а определитель соответствующей дополнительной подматрицы дополнительным минором.

5.5Замечание о подстановках

Как мы знаем, подстановка σ степени n задается таблицей

Поскольку отображение полностью определяется указанием соответствий i → σ(i), ïî-

рядок столбцов в этой таблице не имеет значения. Другими словами, для любой подстановки

однозначно определяет ту же самую подстановку σ = σe.

При этом очевидно, что четность числа инверсий для σ совпадает с четностью суммы числа инверсий для подстановок π и σπ (поскольку четность числа инверсий для

произведения σπ совпадает с четностью суммы числа инверсий для σ и π). Отсюда ясно, что если подстановка задана таблицей вида

то ее знак равен произведению знаков подстановок s è t.

5.6Разбиение множества подстановок на подмножества

Пусть J = (j1, . . . , jk) фиксированная система номеров и (j10 , . . . , jm0 ) система дополнительных номеров. Таким образом, m = n − k. Возьмем любую систему номеров

Любой системе номеров I = (i1, . . . , ik) Nk поставим в соответствие число

ν(I) = i1 + . . . + ik.

Лемма. При фиксированной системе J подмножества Sn(I, J) не пересекаются при разных I Nk и их объединение дает множество всех подстановок степени n. Если

σ = σI,J (π, τ) Sn(I, J), òî

sgn(σI,J (π, τ)) = sgn(π) sgn(τ) (−1)ν(I)+ν(J).

Доказательство. Первое утверждение леммы о разбиении Sn на непересекающиеся подмножества вида Sn(I, J) очевидно.

В силу сделанного выше замечания о подстановках, знак подстановки σI,J (π, τ), определяемой таблицей ( ), есть произведение знаков подстановок вида

Подсчитаем число инверсий для первой подстановки. Принимая во внимание упорядо- ченность номеров в системах (j1, . . . , jk), (j10 , . . . , jm0 ) и их взаимную дополнительность,

приходим к выводу о том, инверсию могут образовывать только пары вида

(p, q), ãäå p {1, . . . , k}, q {k + 1, . . . , k + m}. ( )

Ïðè ýòîì ÿñíî, ÷òî j1 порождает j1 − 1 инверсий, j2 порождает j2 − 2 инверсий, и так далее: общее число инверсий, таким образом, равно

(j1 − 1) + (j2 − 2) + . . . + (jk − k).

Число инверсий для второй подстановки включает три слагаемых:

(1)число инверсий среди пар вида вида ( );

(2)число инверсий среди пар вида (p, q), ãäå p, q {1, . . . , k};

(3)число инверсий среди пар вида (p, q), ãäå p, q {k + 1, . . . , k + m}. Первое число равно, по аналогии с рассмотренным выше случаем,

(i1 − 1) + (i2 − 2) + . . . + (ik − k),

второе числу инверсий δ(π) для подстановки π Sk, третье числу инверсий δ(τ) для подстановки τ Sm. Таким образом, четность числа инверсий для подстановки σ(π, τ) совпадает с четностью числа

δ(π) + δ(τ) + (i1 + . . . + ik) + (j1 + . . . + jk) = δ(π) + δ(τ) + ν(I) + ν(J). 2

5.7Теорема Лапласа

Теорема Лапласа. Пусть A квадратная матрица порядка n. Зафиксируем любую систему k столбцов, выбрав J Nk. Тогда вычисление определителя матрицы A сводится к вычислению миноров на фиксированных k столбцах и их дополнительных миноров:

Доказательство. Опираясь на результат леммы предыдущего раздела, находим

!

XX X