От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

Отсюда следует,что

L(a1, . . . , ak) L(b1, a1, . . . , ak−1).

В силу транзитивности линейной зависимости

L(b1, . . . , bm) L(b1, a1, . . . , ak−1),

поэтому система

b2, b1, a1, . . . , ak−1

линейно зависима. В силу Леммы 1 и в этой системе существует вектор, линейно выражающийся через предыдущие, причем таковым не может быть вектор b1 (векторы

b1, b2 линейно независимы как подсистема линейно независимой системы (Лемма 2)). Не ограничивая общности, будем считать, что

ak−1 L(b2, b1, a1, . . . , ak−2).

Предположим, что m > k. Тогда, продолжая предыдущие построения, на k-ом шаге получаем

L(a1, . . . , ak) L(bk, bk−1, . . . , b1).

Следовательно, bk+1 L(bk, bk−1, . . . , b1), а это противоречит предположению о ли- нейной независимости векторов b1, . . . , bm. Полученное противоречие доказывает, что

m ≤ k. 2

3.7Базис и размерность

Линейно независимая система векторов b1, . . . , bm V = L(a1, . . . , ak) называется базисом линейной оболочки V , åñëè L(b1, . . . , bm) = V .

Теорема о базисах. Любые базисы линейной оболочки V содержат одно и то же число векторов.

Доказательство. Пусть b1, . . . , bm è c1, . . . , cr два базиса данной линейной обо- лочки. Ясно, что

L(b1, . . . , bm) = L(c1, . . . , cr).

Применяя Лемму 4 два раза, получаем два неравенства: m ≤ r è r ≤ m. Отсюда m = r.

2

Определение. Число векторов в базисах линейной оболочки V называется ее размерностью и обозначается dim V .

Теорема о размерности линейной оболочки: dim L(a1, . . . , ak) ≤ k.

Доказательство. Достаточно заметить, что в качестве базиса линейной оболочки заданной системы векторов можно выбрать их максимальную линейно независимую

систему. 2

В качестве базиса в линейной оболочке L(a1, . . . , an) всегда можно выбрать некото-

рую подсистему векторов a1, . . . , an. Максимальная линейно независимая подсистема называется базой данной системы.

Утверждение. Для того чтобы подсистема векторов a1, . . . , an являлась базисом в L = L(a1, . . . , an), необходимо и достаточно, чтобы она была базой.

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что подсистему образуют первые k векторов a1, . . . , ak. Если это база, то каждый из векторов ak+1, . . . , an ëè-

Таким образом, система a1, . . . , ak есть базис в L.

Если выбранная подсистема является базисом в L, то, в силу предыдущего рассуж-

3.8Дополнение до базиса

Любая линейно независимая система векторов b1, . . . , bm L(a1, . . . , ak) является подсистемой некоторого базиса данной линейной оболочки.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда векторы a1, . . . , ak линейно

независимы. Система векторов b1, . . . , bm, a1, . . . , ak линейно зависима. В силу Леммы

1 в ней существует вектор, линейно выражающийся через предыдущие. Уберем этот вектор и рассмотрим оставшуюся подсистему. Если она линейно независима, то и явля-

ется базисом линейной оболочки L(a1, . . . , ak). Если нет, в ней имеется вектор, линейно выражающийся через предыдущие. Исключим и его из системы, рассмотрим оставшуюся подсистему, и так далее. В итоге система векторов b1, . . . , bm

базиса некоторыми из векторов a1, . . . , ak. 2

3.9Существование базиса

Для любой ли линейной оболочки существует базис? Согласно лемме о дополнении до базиса, базис существует, если в линейной оболочке существует линейно независимая подсистема векторов. Так будет, если существует хотя бы один ненулевой вектор.

Таким образом, базиса нет только в случае нулевой линейной оболочки, содержащей единственный вектор нулевой. По определению, размерность нулевой линейной оболочки равна нулю.

3.10Совместность системы линейных алгебраических уравнений

Теорема 1. Система линейных алгебраических уравнений Ax = b, A = [a1, . . . , ak], совместна тогда и только тогда, когда

L(a1, . . . , ak) = L(a1, . . . , ak, b).

Доказательство. В любом случае имеем

Если система совместна, то b L(a1, . . . , ak). Следовательно,

Включения ( ) è ( ) доказывают равенство двух линейных оболочек. Если имеет место ( ), то очевидно, что b L(a1, . . . , ak), а это и означает совместность системы Ax = b.

2

Теорема 2. Если n = k, то в случае линейной независимости векторов a1, . . . , an система линейных алгебраических уравнений Ax = b совместна и имеет единственное решение.

Доказательство. Очевидно,

a1, . . . , an L(e1, . . . , en),

ãäå e1, . . . , en столбцы единичной матрицы размеров n × n (íà i-м месте в векторе ei находится 1, а все остальные элементы равны 0). В силу теоремы о дополнении до базиса существует базис из r ≥ n векторов, содержащий векторы a1, . . . , an. В силу теоремы о размерности линейной оболочки r ≤ n. По той же причине векторы a1, . . . , an îáðà- зуют базис в L(a1, . . . , ak, b). Поэтому b L(a1, . . . , an), что и доказывает совместность системы. Единственность решения вытекает из Леммы 3. 2

Задача. Система линейных алгебраических уравнений вида

имеет решение, причем x1 6= 0. Докажите, что столбцы матрицы коэффициентов линейно независимы.

Определим произведение подстановок a è b как отображение, получаемое последовательным выполнением (композицией) отображений b è a:

(ab)(i) = a(b(i)), i N.

Это алгебраическая операция на множестве всех подстановок степени n, относительно

которой оно является группой. В самом деле, ассоциативность очевидна (этим свойст-

а обратным элементом для σ является обратное отображение σ−1.

Группа подстановок степени n называется симметрической группой степени n è

обозначается Sn. Это один из важнейших примеров конечных групп (групп с конечным числом элементов; при этом число элементов называется порядком группы). Нетрудно проверить, что порядок группы Sn равен n! = 1 · 2 · . . . · n.

Название симметрической группы навеяно определением так называемых симметрических функций: так называется функция F (x1, . . . , xn), если она инвариантна относительно любых подстановок своих аргументов:

F (x1, . . . , xn) = F (xσ(1), . . . , xσ(n)) σ Sn.

Пример симметрической функции (определяемой числовым параметром k):

Задача. Даны две системы чисел x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn è y1 ≤ y2 ≤ ... ≤ yn. Доказать, что для любой подстановки σ Sn выполняется неравенство

nn

XX

|xi − yi| ≤ |xi − yσ(i) |.

i=1

4.3Циклы и транспозиции

Подстановка a Sn называется циклом длины k, если имеется k попарно различных номеров i1, . . . , ik N таких, что

(1)a(i1) = i2, a(i2) = i3, . . . , a(ik−1) = ik, a(ik) = i1,

(2)a(i) = i i N \ {i1, i2, . . . , ik}.

Для обозначения цикла a удобно использовать запись

a = (i1, . . . , ik).

Цикл длины 2 называется также транспозицией.

Циклы a = (i1, . . . , ik) è b = (j1, . . . , jm) называются независимыми, åñëè

{i1, . . . , ik} ∩ {j1, . . . , jm} = .

(1)Любые независимые циклы a и b коммутируют: ab = ba.

(2)Любая подстановка σ Sn представима в виде произведения независимых циклов однозначно с точностью до порядка сомножителей.

(3)Любой цикл длины k представим в виде произведения k − 1 транспозиций.

(4)Любая подстановка представима в виде произведения транспозиций.

Утверждение (1) проверяется непосредственно: в случае независимых циклов a =

(i1, . . . , ik) è b = (j1, . . . , jm) находим

(ab)(i) = (ba)(i) = i ïðè i / {i1, . . . , ik} {j1, . . . , jm}.

Чтобы доказать (2), возьмем произвольный номер j и рассмотрим последовательность номеров j, σ(j), σ2(j), . . . . Имеется только n различных значений поэтому для каких-то k < l должно быть σk(j) = σl(j), откуда получаем σl−k(j) = j. Пусть k наименьший номер такой, что σk(j) = j. Тогда получаем цикл

a = (j, σ(j), σ2(j), . . . , σk−1(j)),

b, выполняющий преобразования вида

j1 → σ1(j1) → σ12(j1) → . . . .

(Заметим, что σ1l (j1) = σl(j1) äëÿ âñåõ l.) Продолжая подобные построения, мы неизбежно придем к тождественной подстановке

σ a−1b−1 . . . c−1 = e,

откуда

σ = c . . . ba.

По построению циклы a, b, . . . , c независимы.

Утверждение (3) доказывается проверкой, например, следующего равенства:

(i1, . . . , ik) = (i1, i2)(i2. i3) . . . (ik−1, ik).

Утверждение (4) очевидно вытекает из (2) и (3).

Задача. Докажите, что все множество подстановок степени n можно упорядочить таким образом,

что каждая следующая подстановка будет получаться из предыдущей путем умножения справа на некоторую транспозицию.

4.4Четность подстановки

Однако, число транспозиций в любом разложении одной и той же подстановки обладает следующим важным свойством.

Лемма о числе транспозиций. Четность числа транспозиций не зависит от способа представления подстановки в виде произведения транспозиций.

Доказательство. Для заданной подстановки σ Sn

назовем инверсией ïàðó (i, j), åñëè i < j, íî σ(i) > σ(j). Пусть δ(σ) общее число инверсий для σ. Докажем, что для любой транспозиции τ разность δ(στ) − δ(σ) будет нечетным числом. Пусть τ = (i, j), i < j. Тогда

Предположим, что подстановка σ имеет k инверсий среди пар вида

è åùå s инверсий среди любых других пар. Тогда στ будет иметь j − i − 1 − k инверсий среди пар вида ( ) è j − i − 1 − m инверсий среди пар вида ( ). Кроме того, среди любых других пар подстановка στ будет иметь s + 1 инверсию, если пара (i, j) не была инверсией, и s − 1 в противном случае. Таким образом,

δ(σ) = k + m + s, δ(στ) = (i − j − 1 − k) + (i − j − 1 − m) + s ± 1.

Отсюда

Следствие. Четность числа транспозиций в разложении подстановки совпадает с четностью ее числа инверсий.

Определение. Подстановка называется четной, если она является произведением четного числа транспозиций, и нечетной в противном случае.

Замечание. Рассмотрим функцию

Y

Δ(x1, . . . , xn) = (xj − xi).

i<j