Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Педагогический институт (филиал ИГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тартышников

.pdf

Скачиваний:

177

Добавлен:

14.05.2015

Размер:

1.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 3837 38 > Следующая >>>

Е. Е. Тыртышников	347

63.4Предобусловленный метод сопряженных градиентов

Полученная теорема показывает, что нормы невязок в методе сопряженных градиентов убывают тем сильнее, чем меньше отношение λmax/λmin. Если это отношение велико, то можно попытаться найтиблизкую эрмитову положительно определенную матрицу B и решать равносильную предобусловленную систему B−1Ax = B−1b.

Проблема, однако, в том, что мы получили метод сопряженных градиентов для решения систем с эрмитовой положительно определенной матрицей, а произведение B−1A в общем случае не будет

эрмитовой матрицей. Тем не менее, справедливо следующее

Утверждение. Пусть A è B эрмитовы положительно определенные матрицы. Тогда оператор умножения на матрицу B−1A является самосопряженным положительно определенным операто-

ром относительно скалярного произведения (x, y)B = (Bx, y).

Доказательство. (B−1Ax, y)B = (Ax, y) = (x, Ay) = (x, B(B−1A)y) = (Bx, B−1Ay) = (x, B−1Ay)B.

Положительная определенность очевидна: (B−1Ax, x)B = (Ax, x) > 0 ïðè x 6= 0. 2

Теперь мы можем повторить все рассуждения и выкладки, приведшие к двучленным формулам метода сопряженных градиентов, с заменой естественного скалярного произведения на (· , ·)B:

xˆ

= xˆ

k−1

+ α

pˆ ,

α =

(ˆrk−1, rˆk−1)B =

(Brˆk−1, rˆk−1)

(B−1Apˆk, pˆk)B

(Apˆk, pˆk)

rˆk = rˆk−1 − αkB−1Apˆk,

(ˆrk, rˆk)B

(Brˆk, rˆk)

pˆk+1 = rˆk + βkpˆk,

βk = −

−

(ˆrk−1, rˆk−1)B

(Brˆk−1, rˆk−1)

Заметим, что rˆk = B−1(b −Axˆk) это невязка предобусловленной системы. Соответствующая невязка исходной системы имеет вид rk = Brˆk. Предобусловленный метод сопряженных градиентов, вычисляющий настоящие невязки rk и те же векторы xk = xˆk è pk = pˆk, принимает такую форму:

r0 = b − Ax0, p1 = B−1r0;

(B−1rk−1, rk−1)

= x

k−1

+ α p

α =

k k

(Apk, pk)

rk = rk−1 − αkApk,

(B−1rk, rk)

pk+1 = B−1rk + βkpk,

βk = −

(B−1rk

−

1, rk

−

63.5Обобщения метода сопряженных градиентов

В случае больших неэрмитовых матриц основным является метод минимизации нормы невязки на подпространствах Крылова. В отличие от метода сопряженных градиентов, в данном случае в подпространствах Крылова требуется строить и хранить полные базисы. Существуют ли методы с короткими рекуррентными соотношениями в неэрмитовом случае?

Прежде всего, уточним вопрос. Пусть Ax = b система с невырожденной и в общем случае неэрмитовой матрицей. Выбрав начальный вектор x0, находим начальную невязку r0, в случае r0 6= 0 полагаем p1 = r0 и последовательно дополняем базис p1, . . . , pk в пространствах Крылова

Lk = L(r0, Ar0, . . . , Ak−1r0) = L(p1, . . . , pk),

причем таким образом, чтобы векторы удовлетворяли условиям формальной A-ортогональности

(Api, pj) = 0, i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ k; (Api, pi) 6= 0, 1 ≤ i ≤ k.

Как только получено пространство Lk, èùåì xk â âèäå xk = x0 + y, y Lk. При этом откажемся от минимизации невязки rk = b − Axk в какой-либо норме и будем определять y проекционным условием

rk Lk.

Из сказанного вытекает, что

xk = xk−1 + αkpk, rk = rk−1 − αkApk,

348 Лекция 63

ãäå αk определяется проекционным условием.

Åñëè rk = 0, то решение уже найдено. Если rk 6= 0, òî èùåì pk+1 â âèäå

pk+1 = rk + γ11p1 + . . . + γk1pk γjk = −(rk, A pj)/(Apj, pj).

Таким образом, если у нас есть формально A-ортогональный базис p1, . . . , pk â Lk, то мы можем найти вектор pk+1 такой, что (Apk+1, pj) = 0, 1 ≤ j ≤ k.

В отличие от случая положительно определенной матрицы теперь, однако, ниоткуда не следует, ÷òî (Apk+1, pk+1) 6= 0. Это свойство отнесем к основным предположениям ; в частности, мы предпола-

ãàåì, ÷òî (Ar0, r0) 6= 0. Если невязки r0, r1, . . . , rk−1 ненулевые и формально A-ортогональный базис p1, . . . , pk â Lk построен, то будем говорить, что процесс не обрывается íà k-ì øàãå. Åñëè ïðè ýòîì rk = 0, то будем говорить, что процесс успешно завершается íà k-ì øàãå.

Лемма 1. Если процесс не обрывается на k-м шаге, то невязки r0, . . . , rk−1 образуют ортогональный базис в Lk.

Доказательство. Действительно, rj Lj+1 Lk ïðè 0 ≤ j ≤ k − 1 и, в силу проекционного условия,

rj r0, . . . , rj−1. 2
Вопрос о коротких рекуррентных соотношениях поставим следующим образом.		1 Пусть фикси-
ровано 1 ≤ s ≤ n −1, и предположим, что всякий раз, когда процесс не обрывается на		k-м шаге, имеют
место равенства	ïðè 1 ≤ j ≤ k − s.
γjk = (rk, A pj) = 0	ïðè 1 ≤ j ≤ k − s.	(1)
Это означает, что pk+1 выражается через s последних векторов базиса:
	k
pk+1 = rk +	X
pk+1 = rk +	γjkpj.
	j=k−s+1
Какими свойствами при этом должна обладать матрица A?
Рассмотрим такие матрицы, для которых A есть многочлен от A âèäà
s−1
Xj
A =	ajAj.	(2)
	=0

Лемма 2. Пусть имеет место (2). Тогда для любой начальной невязки r0 6= 0, не дающей обрыва процесса на k-м шаге, выполняются равенства (1).

Доказательство. Â ñèëó (2), A pj есть линейная комбинация векторов p1, . . . , pj+s. Согласно про- екционному условию, rk p1, . . . , pj+s ïðè j + s ≤ k (1). 2

Лемма 3. Предположим, что начальная невязка r0 6= 0 такова, что процесс не обрывается на n- м шаге и при этом выполняются равенства (1) äëÿ âñåõ 1 ≤ k ≤ n. Тогда для некоторых чисел

αj = αj(r0) имеет место соотношение

s−1

A r0 = αjAjr0.

j=0

1Данный вопрос усиленно дискутировался в конце 1970-х годов. Простое и ясное решение, которое мы здесь излагаем, основано на идеях статьи: В. В. Воеводин, Е. Е. Тыртышников, Об обобщении методов сопряженных направлений, Численные методы алгебры , Издательство Московского университета, 1981, с. 3 9. В 2004 г. Йорг Лиезен и Пoль Сэйлор заметили, что использованное в этой статье дополнительное ограничение на порядок матрицы легко снимается. Заметим, что другое, причем весьма

сложное, доказательство необходимости условия (2) было опубликовано в 1984 г. Фабером и Мантефе-

ëåì (V. Faber, T. Manteuffel, Necessary and sufficient conditions for the existence of a conjugate gradient method, SIAM J. Numer. Anal., vol. 21, no. 2, 1984, pp. 352 362).

Е. Е. Тыртышников	349

Доказательство. То, что процесс не обрывается на	n-м шаге, означает ортогональность невязок

r0, . . . , rn−1 и линейную независимость векторов r0, Ar0, . . . , An−1r0. Равенства (Ark, pj) = 0 ïðè 1 ≤ j ≤ k −s означают, что (Ark, rj) = 0 ïðè 0 ≤ j ≤ k −s −1. Следовательно, A r0 rk ïðè k ≥ s −1 A r0 есть линейная комбинация векторов r0, . . . , rs−2 A r0 есть линейная комбинация векторов r0, Ar0, . . . , As−1r0. 2

Теорема. Пусть 1 ≤ s < n и матрица A такова, что хотя бы для одной начальной невязки r0 6= 0 процесс не обрывается на n-м шаге. Тогда для всех начальных невязок с тем же свойством для выполнения условия (1) необходимо и достаточно, чтобы матрица A удовлетворяла соотношению

(2).

Доказательство. Достаточность получена в лемме 2, поэтому перейдем сразу к доказательству необходимости. Линейная независимость векторов r0, Ar0, . . . , An−1r0 означает, что степень минимального

многочлена матрицы A равна n для каждого собственного значения имеется ровно одна жорданова клетка. Пусть x = r0 è y = Ar0. Ясно, что в случае начальной невязки, равной x èëè y, процесс не обрывается на n-м шаге. Более того, для начальной невязки вида x + γy процесс может обрываться ранее n-го шага лишь для какого-то конечного числа значений γ (не более числа жордановых клеток для A). Согласно лемме 3, имеем

s−1	s−1	s−1
Xj	X	X
A x = αjAjx,	A y = βjAjy,	A (x + γy) = φjAj(x + γy).
=0	j=0	j=0

Отсюда, с учетом равенства y = Ax,

s−1	s−1
X	Xj
α0x + (αj + γβj−1)Ajx + βs−1Asx = φ0x + (φj + γφj−1)Ajx + φs−1Asx
j=1	=1
φ0 = α0; φj + γφj−1 = αj + γβj−1, 1 ≤ j ≤ s − 1; φs−1 = βs−1.
Вычтем из второго равенства первое, умноженное на	γ: φ1 =2α1 + γ(β0 − α0). Это равенство умножим
íà γ и вычтем из третьего равенства: φ2 = α2 + γ(β1 −α1) −γ (β0 −α0). И так далее. В итоге получаем
φs−1 = βs−1 = αs−1 + γ(βs−2 − αs−2) − γ2(βs−3 − αs−3) + . . . + (−1)sγs−2(β0 − α0)
s−2
Xj
γs−2−j(βj − αj)(−1)s−j = 0.
=0
Последнее сооотношение должно выполняться для бесконечного числа значений γ		αj = βj äëÿ
âñåõ 0 ≤ j ≤ s − 1. Следовательно, равенство
s−1
Xj
A z =	αjAjz
=0

выполняется с одними и теми же числами αj для каждого из векторов z = x, Ax, . . . , An−1x, образующих базис в Cn. Поэтому получаем матричное равенство (2), в котором aj = αj. 2

350	Лекция 63

t0. Тогда при всех

Дополнение к лекции 39

64.1Локализация собственных значений

Пусть A = [a

]

n×n. Åñëè Ax = λx, x = 0, òî

λx

||||

A . Полученное

|| ≤ ||

| | ≤ ||

неравенство справедливо при использовании любой матричной нормы.

Чтобы получить более детальную локализацию собственных значений матрицы

A, рассмотрим на

комплексной плоскости так называемые круги Гершгорина

Di(A) = {z C : |z − aii| ≤

≤

|aij|}, 1 ≤ i ≤ n.

j≤n, j6=i

Первая теорема Гершгорина. Любое собственное значение матрицы

n×n принадлежит

объединению кругов Гершгорина для A и одновременно объединению кругов Гершгорина для A>

является матрицей с диагональным преобладанием≤ïîPстрокам и поэтому обратима (см. раздел 8.10).

Доказательство. Предположим, что |aii − λ| >

|aij|,

≤ i

≤ n. Это означает, что A − λI

j≤n, j6=i

Значит, никакое комплексное число λ /

1≤Si≤n Di(A) не может быть собственным значением для A. 2

Вторая теорема Гершгорина. Предположим, что объединение k кругов Гершгорина D = Di1 . . . Dik для матрицы A не имеет общих точек с остальными кругами Гершгорина. Тогда D содержит ровно k собственных значений матрицы A.

Доказательство. Обозначим через B = [bij] диагональную матрицу порядка n с элементами bii = aii и рассмотрим семейство матриц A(t) = At + (1 − t)B ïðè 0 ≤ t ≤ 1. Очевидно, A(0) = B è A(1) = A. Обозначим через λ(t) = [λ1(t), . . . , λn(t)]> вектор-столбец, составленный из собственных значений матрицы A(t), и через ν(t) число компонент λ(t), принадлежащих D. Зафиксируем

t, достаточно близких к t0, должно быть ν(t) = ν(t0). Если это не так, то существует последовательность tm, сходящаяся к t0 ïðè m → ∞ и такая, что для любой матрицы перестановки P

ρ1	(λ(tm), λ(t0)) ≥ \|\|λ(t0) −	P λ(t	m	\|\|1	≥	d	≡ u D, v D0 \|u −	\|	,
		P λ(t	)			d	inf	v	,

ãäå D0 объединение кругов Гершгорина, не входящих в D. Данное неравенство противоречит теореме о непрерывной зависимости корней многочлена от коэффициентов (а значит, и собственных значений матрицы от ее элементов). Таким образом, функция ν(t) непрерывна по t и принимает целочисленные

значения ν(t) константа. При этом ν(0) = k ν(t) = k äëÿ âñåõ 0 ≤ t ≤ 1. 2

Отметим еще одно простое утверждение, приводящее к серии результатов по локализации собственных значений при возмущениях заданной матрицы.

Теорема Бауэра Файка. Если µ является собственным значением матрицы B = A + F , но не является собственным значением матрицы A, òî 1/||(A − µI)−1||2 ≤ ||F ||2.

Доказательство.	Матрица B − µI = (A − µI) + F вырожденная матрица I + (A − µI)−1F
вырожденная	\|\|(A − µI)−1\|\|2\|\|F \|\|2 ≥ \|\|(A − µI)−1F \|\|2 ≥ 1. 2

Следствие. Пусть A диагонализуемая матрица, и предположим,что AX = XΛ, ãäå X матрица из собственных векторов, Λ диагональная матрица собственных значений λ1, . . . , λn матрицы A. Тогда собственные значения матрицы B = A + F принадлежат объединению кругов вида

Ki = {z C : |z − λi| ≤ ||X||2 ||X−1||2 ||F ||2 }, 1 ≤ i ≤ n.

351

352	Лекция 64

Доказательство.	Пусть µ собственное значение для B, íî íå äëÿ A. Тогда µ есть собственное

значение для Λ + X−1F X, íî íå äëÿ Λ. Остается применить теорему Бауэра Файка. 2

64.2Расстояние между спектрами нормальных матриц

Теорема Виландта Хоффмана. Пусть A è B нормальные матрицы с собственными значениями λ1(A), . . . , λn(A) è λ1(B), . . . , λn(B). Тогда для некоторой подстановки σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}

|λi(A) − λσ(i)(B)|2 ≤ ||A − B||2F .

i=1

Доказательство. Запишем A = QΦQ , B = ZΨZ , ãäå Q, Z унитарные матрицы, а Φ è Ψ диаго-

нальные матрицы из собственных значений φi = λi(A) è ψi = λi(B). В силу унитарной инвариантности нормы Фробениуса, ||A − B||F = ||Φ − V ΨV ||F , ãäå V = Q Z унитарная матрица. Далее,

\|\|Φ − V ΨV \|\|F2 =	tr(Φ − V Ψ V )(Φ − V ΨV ) = tr(Φ Ψ) + tr(Φ Ψ) − 2Re (tr(Φ V )(ΨV ))
	n	n		n n
	X	Xi		XX
=		\|φi\|2 +	\|ψi\|2 − 2	αijsij, αij = Re(	φi	ψj), sij = \|vij\|2.
	i=1	=1		i=1 j=1

Легко проверить, что матрица S = [sij] является двоякостохастической (см. раздел 37.9). Поэтому при фиксированных вещественных числах αij функционал

Xi	X
f(S) =	αijsij

=1 j=1

можно рассматривать как линейный функционал на множестве двоякостохастических матриц. Это замкнутое ограниченное выпуклое множество максимум линейного функционала на нем дости-

гается в какой-то угловой точке (см. раздел 26.7). Нетрудно убедиться в том, что угловыми точками

множества двоякостохастических матриц являются матрицы перестановок и только они	äëÿ
некоторой матрицы перестановки P и соответствующей ей подстановке σ

		X		X
max f(s)		f(P ) =
S	≤	i=1	i σ(i) = Re (φiψσ(i))
		i=1		i=1
n					n
Xi					X
\|\|A − B\|\|F2 ≥	\|φi\|2 + \|ψσ(i)\|2 − 2Re (φiψσ(i)) =				\|φi − ψσ(i)\|2. 2
=1					i=1

Замечание. Теорема о непрерывной зависимости корней многочлена от коэффициентов в данном доказательстве не использовалась. Поэтому теорема Виландта Хоффмана дает еще одно доказательство факта непрерывной зависимости собственных значений матрицы от ее коэффициентов для специального класса матриц для нормальных матриц.

Следствие. Пусть A è B эрмитовы матрицы с собственными значениями λ1(A) ≥ . . . ≥ λn(A)

è λ1(B) ≥ . . . ≥ λn(B). Тогда

(λi(A) − λi(B))2 ≤ ||A − B||2F .

i=1

Доказательство. Пусть φi = λi(A) è ψi = λi(B). Достаточно заметить, что если φσ(i1) < φσ(i2) ïðè i1 < i2, òî

(φi1 − ψσ(i1))2 + (φi2 − ψσ(i2))2 ≥ (φi1 − ψσ(i2))2 + (φi2 − ψσ(i1))2. 2

X = [xijk] òðåõ-

нии Таккера

разложения.

разложе-

Дополнение к лекции 40

65.1Преобразования массивов с помощью матриц

После обсуждения проблем и трудностей, связанных с многомерными массивами, особенно приятно закончить тему одним положительным результатом, легко получаемым с помощью изученной нами матричной техники. Речь идет о так называемом

о нем нередко говорят как о многомерном обобщении сингулярного

Формулировка результата требует небольшой подготовки. Пусть

мерный массив размеров n1 ×n2 ×n3, и пусть P = [pi0i], Q = [qj0j], R = [rk0k] матрицы

размеров n01 ×n1, n02 ×n2, n03 ×n3, соответственно. Определим новый трехмерный массив X0 = [x0i0j0k0] следующим образом:

n1 n2	n3
XXXk
xi00j0k0 =	pi0i qj0j rk0k xijk.
i=1 j=1	=1

Иногда говорят, что X0 есть свертка массива X с матрицами P, Q, R. Обозначение:

X0 = X	{	P, Q, R	. Кроме того, по определению,
	{	}
			X 1 P = X {P, In2×n2 , In3×n3 },
			X 2 Q = X {In1×n1 , Q, In3×n3 },
			X 3 R = X {In1×n1 , In2×n2 , R}.
Согласно данным определениям,
X0	= X {P, Q, R}

=((X 1 P ) 2 Q) 3 R = ((X 2 Q) 3 R) 1 P = ((X 3 R) 1 P ) 2 Q

=((X 3 R) 2 Q) 1 P = ((X 2 Q) 1 P ) 3 R = ((X 1 P ) 3 R) 2 Q.

65.2Ортогональные преобразования массивов

Обозначим через X1, X2, X3 è X10 , X20 , X30	матрицы сечений массивов X è X0 ïî îñÿì
i, j, k. Тогда легко проверяется, что
X0 = X 1P X10 = P X1, X0 = X 2Q X20 = QX2, X0 = X 3R X30 = RX3.
Лемма. Пусть матрицы P, Q, R ортогональные. Тогда если X0 = (X 1 P ) 2 Q, òî
скалярные произведения строк с одинаковыми номерами в матрицах X30		è X3 одинако-

вы. Аналогично, если X0 = (X 1 P ) 3 R, то одинаковы скалярные произведения строк

353

354

Лекция 65

в матрицах X0 è

;

åñëè X0 = (X

R, то одинаковы скалярные произведения

строк в матрицах X10

è X1.

Доказательство. Пусть X0

= (X 1 P ) 2 Q. Это означает, что

pi0i qj0j xijk.

xi00j0k =

=1 j=1

Рассмотрим скалярные произведения строк матрицы X30

с номерами k1 è k2:

Xi0

Xj0

xi00j0k1 xi00j0k2 = Xi0

Xj0

Xi1

Xj1

pi0i1 qj0j1 xi1j1k1 ! Xi2

Xj2

pi0i2 qj0j2 xi2j2k2 ! =

Xi1

Xj1

Xi2

Xj2

Xi0

pi0i1 pi0i2

Xj0

qj0j1 qj0j2

xi1j1k1 xi2j2k2 =

Xi1

Xj1

Xi2

Xj2

δi1i2 δj1j2 xi1j1k1 xi2j2k2 = Xi1

Xj1

xi1j1k1 xi1j1k2 .

Здесь мы использовали так называемый символ Кронекера:

1,	α = β.
δαβ = 0,	α 6= β,

Получено первое утверждение леммы. Остальные два утверждения устанавливаются аналогичным образом. 2

65.3Разложение Таккера

Теорема. Для любого трехмерного массива X = [xijk] размеров n1 × n2 × n3 сущест- вуют ортогональные матрицы P, Q, R такие, что трехмерный массив

S = [sijk] ≡ X {P, Q, R}

обладает следующими свойствами:

(1)каждая из трех матриц сечений для S имеет попарно ортогональные строки ;

(2)Ps21jk ≥ Ps22jk ≥ . . . ≥ Ps2n1jk;

	j,k			j,k			j,k
		si21k ≥ si22k ≥ . . . ≥ sin2 2k;
(3)	P			P			P
(4)	P			P			P
	i,k			i,k			i,k
	i,j	sij2	1	≥ i,j	sij2	2	≥ . . . ≥ i,j	sijn2	3 .
	P			P			P

Доказательство. Обозначим через X1, X2, X3 матрицы сечений массива X ïî îñÿì i, j, k и рассмотрим их сингулярные разложения:

X1 = P >Σ1V1, X2 = Q>Σ2V2, X3 = R>Σ3V3,

Е. Е. Тыртышников	355

где матрицы P, Q, R, V1, V2, V3 ортогональные, а Σ1, Σ2, Σ3 диагональные прямоуголь-

ные матрицы, в которых сингулярные числа занумерованы по невозрастанию. Отсюда вытекает, что в каждой из преобразованных матриц сечений

X1 1 P = Σ1V1, X2 2 Q = Σ2V2, X3 3 R = Σ3V3

строки попарно ортогональны и расположены в порядке невозрастания их длин. Далее, согласно доказанной выше лемме, скалярные произведения строк в матрице

сечений по оси i для массива S = X {P, Q, R} те же самые, что и в матрице сечений по той же оси для массива X 1 P . То же верно в отношении скалярных произведений строк для матриц сечений по оси j для массивов S è X 2 Q, а также и для матриц сечений по оси k для массивов S è X 3 R. Тем самым доказаны свойства (1) (4). 2

Разложение S = X {P, Q, R} с указанными свойствами (1) (4) называется разло-

жением Таккера. Корни квадратные из сумм в (1) (4) суть сингулярные числа матриц сечений массива X ïî îñÿì i, j, k, соответственно.

Важное практическое значение разложения Таккера заключается в том, что оно дает надежную базу для построения приближений массива X суммами с малым числом

членов с разделением индексов i, j, k: для этого достаточно заменить строки с отно-

сительно малыми длинами на нули. Полученная от такой замены погрешность легко оценивается.

В задачах о вычислении аппроксимаций малого тензорного ранга разложение Таккера часто используется, чтобы получить начальное приближение.

Заметим, что разложение Таккера может быть построено с помощью матричных методов вычисления сингулярного разложения. В принципе, аналогичные построения можно выполнить и на основе каких-либо других методов аппроксимации с понижением

ранга, применяемых к матрицам сечений массива X.

Несмотря на то, что мы ограничились обсуждением трехмерных массивов, разложение Таккера легко переносится и на случай произвольных многомерных массивов. То же можно сказать и о других построениях данной лекции, в частности о факте единственности полилинейных аппроксимаций с точностью до эквивалентности.

356	Лекция 65

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 3837 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке лИТЕРАТУРА

#
14.05.20154.2 Mб160[Boltyansky_V.G.,_Savin_A.P.]_Besedue_o_matematike(BookFi.org).pdf
#
14.05.20151.85 Mб177Тартышников.pdf