От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

338 Лекция 61

Уравнения (1) è (2) называются приведенными уравнениями гиперповерхности S. Èç

нашего обсуждения ясно, что они получаются с помощью перехода к другому ортономированному базису и сдвига начала координат. Отказавшись от ортонормированности,

можно получить уравнения такого же вида, в которых λi = ±1. Выбор соответствующей системы координат связан с приведением квадратичной формы (Ax, x) к каноническо-

му виду; в силу закона инерции число положительных и отрицательных коэффициентов не зависит от способа приведения.

61.2Геометрические свойства гиперповерхностей

Имеется интересная связь между геометрическими свойствами гиперповерхности S и множеством решений системы Ax = b. Фиксируем точку x0 Rn и рассмотрим прямую x0 +tv, t R, с направляющим вектором v 6= 0. Ее точки пересечения с гиперповерхностью S определяются квадратным уравнением

Говорят, что вектор v имеет асимптотическое направление относительно S, если (Av, v) = 0, и неасимптотическое направление, если (Av, v) 6= 0.

является, очевидно, серединой отрезка, параллельного v и соединяющего две точки из S. Такой отрезок называется хордой для S с направляющим вектором v. Умножив ( ) скалярно на Av и заметив, что

Вывод: все точки z, являющиеся серединами всевозможных хорд для S с фиксированным неасимптотическим направлением v, принадлежат гиперплоскости (#). Данная гиперплоскость называется

диаметральной гиперплоскостью , сопряженной вектору v относительно гиперповерхности S.

Точка z называется центром симметрии для S, если z + p S в том и только том случае, когда z − p S.

Утверждение. Совместность системы Ax = b с произвольной вещественной симметричной матрицей A равносильна существованию центра симметрии у гиперповерхности f(x) = 0. Множество всех центров симметрии совпадает с множеством всех решений системы Ax = b.

Доказательство. Пусть Az = b (Av, z) = (b, v) для любого неасимптотического вектора v z принадлежит пересечению âñåõ диаметральных гиперплоскостей z является серединой любой хорды (а значит, и центром симметрии) для S.

(A(z + p), z + p) − 2(b, z + p) = (A(z − p), z − p) − 2(b, z − p) (Az − b, p) = 0.

Легко показать (например, с помощью приведенных уравнений), что существуют n линейно независи-

мых неасимптотических векторов v1, . . . , vn. Тогда точки x0, x1 = x0 + v1, . . . , xn = x0 + vn S будут аффинно независимыми (см. раздел 13.6). Пусть точка x0 S такова, что b − Ax0 6= 0. Èç ( ) ÿñíî, ÷òî vi можно выбрать таким образом, что все xi будут принадлежать S. Легко видеть, что векторы (точки) xi −z, 0 ≤ i ≤ n, будут аффинно независимыми. Поэтому из них можно выбрать подсистему из n линейно независимых векторов (см. задачу из раздела 13.6). Следовательно, существуют n линейно независимых векторов p таких, что z + p S Az = b. 2

Тогда

λi+l(A) ≤ λi(A + B) ≤ λi−k(A),

где левое неравенство справедливо при i + l ≤ n, а правое при 1 ≤ i − k.

Доказательство. Последовательное применение теоремы дает

λi(A) ≤ λi(A + V ) ≤ λi−k(A),

λi(A + B) ≤ λi(A + V ) ≤ λi−l(A + B).

Следовательно,

λi+l(A) ≤ λi(A + B) ≤ λi−k(A). 2

Часто бывает известно, что все собственные значения эрмитовой матрицы A принадлежат некоторому отрезку [a, b]. Полученный результат означает, что при всех эрмитовых возмущениях F ранга r матрица A + F будет, по-прежнему, иметь все собственные значения на отрезке [a, b], кроме, быть может, r аутсайдеров .

62.2Собственные значения и сингулярные числа

Есть много интересных сооотношений, связывающих собственные значения матрицы и ее сингулярные числа. Некоторые из них получаются очень просто.

Пусть A Cn×n имеет сингулярные числа σ1 ≥ . . . ≥ σn, а ее собственные значения упорядочены по неубыванию модуля: |λ1| ≥ . . . ≥ |λn|.

Утверждение. σn ≤ |λn|, |λ1| ≤ σ1.

Доказательство. Пусть Ax = λix, x 6= 0. |λi|||x||2 = ||Ax||2 ≤ ||A||2||x||2 = σ1||x||2

|λi| ≤ σ1. Далее, если матрица A вырожденная, то λn = 0 è σn = 0. Åñëè æå A

невырожденная, то A−1 имеет собственные значения λ−i 1 è ||A−1||2 = 1/σn. 2 Данный простой факт имеет много обобщений. Например, такое.

Теорема. Для всех 1 ≤ k ≤ n справедливы неравенства

kk

XX

Доказательство. В силу теоремы Шура, с помощью унитарной матрицы Q можно привести A к верхней треугольной матрице

Задача. Доказать, что матрица A является нормальной тогда и только тогда, когда сумма квадратов ее сингулярных чисел равна сумме квадратов модулей собственных значений.

Неравенства Вейля. Сингулярные числа и собственные значения, занумерованные по неубыванию модулей, удовлетворяют неравенствам

kk

YY

Доказательство. В обозначениях предыдущего доказательства,

62.3Мажоризация и неравенства

На базе неравенств Вейля можно получить целую серию полезных неравенств. Для этого их надо переписать в виде (давайте считать, что матрица A невырожденная)

ln |λ1| + . . . + ln |λk| ≤ ln σ1 + . . . + ln σk, 1 ≤ k ≤ n,

и заметить дополнительно, что

ln |λ1| + . . . + ln |λn| = ln σ1 + . . . + ln σn.

В данной форме неравенства Вейля оказываются частным случаем некоторого общего типа неравенств. Говорят, что вектор x = [x1, . . . , xn]> Rn мажорируется вектором y = [y1, . . . , yn]> Rn, åñëè

Обозначение: x y. Мажоризация всегда связана с равенством x = Sy, ãäå S матрица порядка n ñ

неотрицательными элементами, суммы которых для каждой строки и для каждого столбца одинаковы и равны 1. Матрица с такими свойствами называется двоякостохастической .

Задача. Докажите, что множество всех двоякостохастических матриц порядка n является выпуклым и при этом матрицы перестановок и только они являются его угловыми точками.

Теорема. Пусть x1 ≥ . . . ≥ xn, y1 ≥ . . . ≥ yn. Для того чтобы вектор x = [x1, . . . , xn]> мажори- ровался вектором y = [y1, . . . , yn]>, необходимо и достаточно существование двоякостохастической

матрицы S такой, что x = Sy.

Докажем необходимость. Пусть x y. Очевидно,

nx1 ≥ x1 + . . . + xn = y1 + . . . + yn ≥ nyn x1 ≥ yn.

344 Лекция 62

В случае n = 2 имеем y2 ≤ x1 ≤ y1 x1 является выпуклой комбинацией чисел y1 è y2: x1 = sy1 + ty2, s, t ≥ 0, s + t = 1. Таким образом,

В общем случае yn ≤ x1 ≤ y1. Обозначим через k наименьший номер такой, что yk ≤ x1 ≤ yk−1 ≤ y1.

Легко видеть, что матрица F двоякостохастическая. Далее, положим z = F y, рассмотрим векторы x0 = [x2, . . . , xn]>, z0 = [z2, . . . , zn]> и докажем, что x0 z0. Согласно выбору номера k,

xn ≤ . . . ≤ x1 ≤ yk−1 ≤ . . . ≤ y1.

будет, очевидно, двоякостохастической. Учитывая, что x1 = z1, получаем x = T z. Таким образом, x = Sy, ãäå S = T F есть произведение двух двоякостохастических матриц и поэтому, как легко проверить, тоже является двоякостохастической матрицей. 2

Следствие. Пусть [x1, . . . , xn]> [y1, . . . , yn]>. Тогда для любой выпуклой монотонно возрастающей функции φ(t) справедливы неравенства

φ(x1) + . . . + φ(xk) ≤ φ(y1) + . . . + φ(yk), 1 ≤ k ≤ n.

Доказательство. Согласно теореме, x = Sy для некоторой двоякостохастической матрицы S = [sij]. Вследствие этого,

Теперь пусть A невырожденная матрица с сингулярными числами σ1 ≥ . . . ≥ σn и собственными

Тогда из неравенств Вейля вытекает, что x y. Возьмем, например, функцию φ(t) = e что она является выпуклой и монотонно возрастающей, получаем неравенства

|λ1| + . . . + |λk| ≤ σ1 + . . . + σk, 1 ≤ k ≤ n.

63.3Оценка с помощью многочленов Чебышева

Таким образом, оценки для нормы k-é невязки можно получать с помощью многочленов. При этом нас интересует величина, уже известная нам как C-норма в пространстве непрерывных функций на отрезке [λmin, λmax]:

Как выбрать многочлен Φk(λ) с условием нормировки Φk(0) = 1 и наименьшей C-нормой на отрезке [λmin, λmax]? Решение этой задачи дают многочлены Чебышева.

Многочлены Чебышева для отрезка [−1, 1] определяются следующим образом:

T0(t) = 1, T1(t) = t, Tn+1(t) = 2tTn(t) − Tn−1(t), n = 1 2, . . . , .

Этот результат вместе с леммой об оценке норм невязок метода сопряженных градиентов доказывает следующую теорему.

Теорема. В условиях леммы об оценке норм невязок метода сопряженных градиентов справедливы неравенства