От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

Дополнение к лекции 32

58.1Минимальный многочлен матрицы

По теореме Гамильтона Кэли, матрица A Cn×n

ческим многочленом: если f(λ) = det(A − λI), òî f(A) = 0. Многочлен минимальной степени с тем же свойством называется минимальным многочленом матрицы A.

Лемма. Минимальный многочлен является делителем характеристического много- члена.

Доказательство. Пусть φ(λ) è f(λ) минимальный и характеристический многочлены для A. Выполним деление с остатком: f(λ) = q(λ)φ(λ) + r(λ). Очевидно, r(A) = 0. Неравенство deg r(λ) < deg φ(λ) противоречило бы минимальности многочлена φ(λ). Поэтому r(λ) нулевой многочлен. 2

Теорема. Пусть A имеет попарно различные собственные значения λ1, . . . , λm. Ñòå- пень минимального многочлена матрицы A равна сумме n1 + . . . + nm, ãäå ni ìàê- симальный порядок жордановых клеток для собственного значения λi.

Доказательство. Достаточно рассмотреть разложение произвольного вектора x =

(A − λ1I)n1 . . . (A − λmI)nm x = 0.

Таким образом, степень минимального многочлена не выше n1 + . . . + nm.

В то же время, степень минимального многочлена не может быть меньше: жордано- ва клетка порядка ni äëÿ λi не может быть аннулирована многочленом степени меньше

ni, при этом ее минимальный многочлен есть в точности (λi − λ)ni и этот многочлен не может аннулировать ни одну из жордановых клеток, отвечающих другому собственному значению. 2

58.2Жорданова форма: прямое доказательство по индукции

Путь к теореме о приведении квадратной комплексной матрицы к жордановой форме, очевидно, потребовал от нас изрядных усилий. Поэтому естественно желание как-то его срезать в какой-то степени это удается с помощью следующего рассуждения, предложенного А. Ф. Филипповым.

Теорема. Пусть L инвариантно относительно A Cn×n и сужение A íà L имеет единственное собственное значение λ кратности k. Тогда существует цепочка линейно независимых векторов x1, . . . , xk L такая, что для каждого j

Axj = λxj ëèáî Axj = λxj + xj−1.

329

Дополнение к леции 34

59.1Свертки

Пусть циркулянтная матрица A определяется первым столбцом a. Вектор y = Ax называется периодической сверткой векторов a è x. Обозначение: y = a x.

Задача. Докажите, что a x = x a.

Согласно теореме о циркулянтах, вычисление периодической свертки векторов из Rn (умножение на циркулянтную матрицу) сводится к трем умножениям на матрицу

Фурье. Последнее можно выполнить с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье за O(n log n) арифметических операций, если n = 2L.

Решение линейных систем с циркулянтной матрицей осуществляется с теми же затратами (докажите!).

Пусть теперь a = [a−n+1, a−n+2, . . . , a0, a1, . . . , an−1]> C2n−1 è x Cn. Ïîä апери-

одической сверткой векторов a è x иногда понимается вектор y = Ax, ãäå

. . . . . . . . . . . . an−1 an−2 . . . a0

Матрица A такого вида называется теплицевой матрицей. 1 Заметим, что любой циркулянт является также теплицевой матрицей.

Утверждение. Для любого n теплицева матрица порядка n может быть умножена на вектор с затратой O(n log2 n) операций.

Доказательство. Достаточно заметить, что теплицеву матрицу A порядка n можнодостроить до циркулянта

1В честь немецкого математика Отто Теплица.

331

будет выполнено, если

log p + log ε−1

log q

≤ r.

В данном случае число операций в нашем приближенном алгоритме умножения матрицы A на вектор x получает вид

Методы математического анализа нужны для того, чтобы доказать существование приближения матрицы A матрицей Ar, ранг которой мал по сравнению с n. Если этот факт уже установлен, то интересующее нас приближение можно найти с помощью собственных методов теории матриц. Более того, приближение ранга r можно полу-

чить, используя лишь некоторые r строк и r столбцов матрицы A это вытекает из следующей теоремы.

Теорема. 2 Пусть для матрицы A порядка n существует матрица B ранга r такая, что ||B − A||2 ≤ ε. Тогда, если A имеет блочное разбиение вида

A = A11 A12 ,

A21 A22

ãäå A11 невырожденная подматрица порядка r с максимальным по модулю определителем среди всех подматриц порядка r, то

На протяжении последних 10-20 лет методы быстрого приближенного умножения для матриц, принадлежащих весьма общим классам матриц, развивались особенно интенсивно. Они становятся основой очень эффективных вычислительных технологий: если в 1960-х годах решение систем с плотной матрицей коэффициентов порядка нескольких сотен считалось уже трудной задачей, то теперь получены методы, позволяющие успешно работать с плотными матрицами порядка нескольких миллионов. При этом ключевой идеей является использование многоуровневых блочных разбиений исходной матрицы с аппроксимацией блоков матрицами малого ранга. Данный круг вопросов имеет огромное прикладное значение и находится в стадии активного изучения, в том числе и как часть теории и алгоритмов сжатия и структуризации данных на основе методов нелинейной аппроксимации.

2Эта теорема получена в работе: S. A. Goreinov, E. E. Tyrtyshnikov, The maximal-volume concept in approximation by low-rank matrices, Contemporary Mathematics, Volume 280, 47 51 (2001).

Дополнение к лекции 35

60.1 Общий вид унитарно инвариантных норм

При работе с матрицами мы активно используем две унитарно инвариантных нормы: спектральную норму ||A||2 и норму Фробениуса ||A||F . Другие нормы того же типа с

определена при всех σ Rk. Рассмотрим следующий список требований к функции Φ:

(1) Φ(σ) является векторной нормой на Rk;

(2) Φ(σ) зависит только от модулей координат вектора σ Rk;

(3) Φ(P σ) = Φ(σ) для любой матрицы перестановки порядка k;

(4) åñëè σ = [1, 0, . . . , 0]>, òî Φ(σ) = 1.

Функция Φ(σ) с такими свойствами называется симметричной калибровочной функцией на Rk.

Åñëè Φ(σ) определяется унитарно инвариантной нормой как ||Σ||, то эти свойст-

ва, очевидно, должны выполняться. Нетривиальная часть теоремы Джона фон Нейма-

íà â òîì, ÷òî любая симметричная калибровочная функция определяет унитарно

инвариантную норму. Единственную (но ощутимую) трудность доставляет получение неравенства треугольника.

1Любопытный исторический факт: данный результат был опубликован автором в Ученых записках Томского университета.

335