От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

Цепочка завершается построением поля, содержащего нужное нам число длину стороны правильного n-угольника. Степень данного поля над Q с необходимостью равна 2k. В свете теории Галуа

это означает, что доказанное нами ранее необходимое условие на число сторон ( n = 2k + 1) вызвано тем, что группа Галуа для кругового многочлена простой степени содержит 2k элементов.

Чтобы доказать достаточность этого условия, нужно доказать существование упомянутой выше специальной цепочки расширений поля Q. Теория Галуа позволяет свести вопрос к доказательству существования специальной цепочки нормальных подгрупп группы порядка 2k. Путь к доказательству

достаточности условия на число сторон n открывается следующим наблюдением: если группа G имеет порядок 2k, то она обладает нормальной подгруппой порядка 2. В действительности имеет место более общая

Теорема. Пусть группа G имеет порядок pk, ãäå p > 1 простое число. 3 Тогда G обладает нормальной подгруппой порядка p.

Доказательство требует некоторой подготовки. Элементы a, b G называются сопряженными, åñëè a = hbh−1 для некоторого h G. Нетрудно проверить, что сопряженность элементов это

отношение эквивалентности на G. Поэтому конечная группа G является объединением конечного числа (скажем, m) непересекающихся классов эквивалентности

G = K1 . . . Km. ( )

Лемма 1. В произвольной конечной группе G число элементов, сопряженных с заданным элементом a, является делителем порядка группы.

Доказательство. Пусть G(a) = {h1ah−1 1, . . . , hsah−s 1} множество всех элементов, сопряженных с a. Заметим, что

hiah−i 1 = hjah−j 1 (h−j 1hi)a = a(h−j 1hi).

Обозначим через H(a) множество всех элементов из G, коммутирующих с a. Элементарно проверяется, что H(a) является подгруппой в G (подгруппа H(a) называется централизатором элемента a). Таким

образом,

hiah−i 1 = hjah−j 1 h−j 1hi H(a) hiH(a) = hjH(a).

Следовательно, число сопряженных с a элементов равно числу смежных классов группы G по подгруппе H(a). 2

Лемма 2. В произвольной группе G порядка pk существует элемент a 6= e (отличный от единицы), коммутирующий со всеми элементами из G.

3Такие группы называются примарными.

Дополнение к лекции 19

52.1Классификация линий второго порядка

Мы уже доказали, что любая линия второго порядка в некоторой декартовой системе координат удовлетворяет одному из уравнений (1), (2) èëè (3). Для описания всех возможных случаев иногда предлагается следующая классификация:

y2 = −a2 (пара мнимых параллельных прямых).

52.2Инварианты линии второго порядка

Рассмотрим общее уравнение f(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 в заданной декартовой системе координат и определители

Теорема об инвариантах. Значения определителей I2 è I3 не изменяются при переходе от заданной декартовой к любой декартовой системе координат.

Доказательство. Пусть переход к новой декартовой системе координат задается формулами

Важное наблюдение: P >P = I (в силу ортогональности базисных векторов декартовых систем).

309

Дополнение к лекции 22

53.1Пополнение пространства

Пример интервала (a, b) (неполного метрического пространства с расстоянием ρ(x, y) = |x − y|) íàâî-

дит на мысль о том, что если в неполном пространстве не хватает точек для того, чтобы представлять пределы всех возможных фундаментальных последовательностей, то его с легкостью можно расширить до полного метрического пространства. Эта идея реализуется с помощью простой алгебраической конструкции пополнения.

Пусть M произвольное метрическое пространство. Рассмотрим множество всех фундаментальных последовательностей точек из M, введем на нем отношение эквивалентности

{xk} {yk} ρ(xk, yk) → 0 ïðè k → ∞,

и обозначим через M0 множество всех классов эквивалентности. Расстояние на M0 определим таким образом: если [{xk}] è [{yk}] классы эквивалентности, порождаемые фундаментальными последовательностями {xk} è {yk}, то пусть

ρ0( [{xk}], [{yk}] ) = lim ρ(xk, yk).

k→∞

Конечный предел существует потому, что числовая последовательность ρ(xk, yk) фундаментальна это легко получается из неравенства

|ρ(xk, yk) − ρ(xl, yl)| ≤ ρ(xk, xl) + ρ(yk, yl).

Важно также, что предел не зависит от выбора конкретных последовательностей в классах эквивалентности: если {xk} {uk} è {yk} {vk}, òî

|ρ(uk, vk) − ρ(xk, yk)| ≤ ρ(uk, xk) + ρ(yk, vk) → 0.

Аксиомы метрического пространства для M0 с расстоянием ρ0 проверяются без каких-либо затруднений.

Элемент a M будем отождествлять с классом эквивалентности для последовательности, все члены которой одинаковы и равны a:

Фиксируем произвольное ε > 0. В силу фундаментальности {Xl} существует номер N = N(ε) такой, что при l, m > N имеем ρ0(Xl, Xm) < ε, òî åñòü,

N0 = N0(l, m, N) : l, m > N, k > N0 ρ(xkl , xkm) < ε.

311

Дополнение к лекции 23

54.1Подпространства и замкнутость

Åñëè V нормированное пространство, то любое его подпространство L V конечной

размерности будет замкнутым множеством.

m

В самом деле, если L = L(e1, . . . , em) è xk = P xki ei → x V , то последовательность

i=1

xk ограничена по норме пространства V . Следовательно, она принадлежит какомуто замкнутому ограниченному шару Z L в конечномерном пространстве L. В силу компактности Z существует подпоследовательность xkl , cходящаяся к вектору из Z

x Z L.

Если подпространство L бесконечномерно, то оно может и не быть замкнутым. 1

Задача. Дана матрица A Rm×n. Доказать замкнутость множества

{y = Ax, x = [x1, . . . , xn]>, x1, . . . , xn ≥ 0}.

54.2Единичная сфера в бесконечномерном пространстве

Пусть V нормированное пространство с нормой || · || è S = {x V : ||x|| = 1} единичная сфера.

Теорема. Единичная сфера S компактна в нормированном пространстве V тогда и только тогда, когда V конечномерно.

Доказательство. По существу, нужно доказать лишь то, что в бесконечномерном пространстве V сфера S не является компактным множеством. Предположим, что

каким-то образом найдены векторы x1, . . . , xk такие, что

||x1|| = . . . = ||xk|| = 1, ||xi − xj|| ≥ 1 ïðè i 6= j. ( )

Построим вектор xk+1 такой, что ||xk+1|| = 1 è ||xi − xk+1|| ≥ 1 ïðè 1 ≤ i ≤ k.

1В некоторых книгах под подпространствами в бесконечномерном случае понимаются только замкнутые подпространства, а подпространства в традиционном для нас смысле называются линейными многообразиями (и могут не быть замкнутыми). Напомним, что в нашем курсе линейным многобрази-

ем называется множество вида x+L = {x+h : h L}, ãäå x заданный вектор сдвига, а L заданное направляющее подпространство.

313

314 Лекция 54

Положим

Таким образом, к системе векторов x1, . . . , xk можно добавить вектор xk+1 ñ ñî- хранением соотношений вида ( ). Любая подпоследовательность последовательности векторов xk таких, что ||xi − xj|| ≥ 1 ïðè i 6= j, обладает тем же свойством и поэтому не может быть фундаментальной. 2

54.3Геометрические свойства единичных шаров

Пусть дана произвольная норма || · || íà Cn, а замкнутый единичный шар

Z = {x Cn : ||x|| ≤ 1}

рассматривается как некоторое множество в пространстве Cn ñ 2-нормой. Легко показать, что имеют место такие свойства:

(1)Z является замкнутым и ограниченным.

(2)Z содержит нулевой вектор в качестве внутренней точки.

(3)Åñëè x Z, òî tx Z äëÿ âñåõ |t| ≤ 1.

(4)Åñëè x, y Z, òî tx + (1 − t)y Z äëÿ âñåõ 0 ≤ t ≤ 1 (множества с таким свойством называются

выпуклыми).

Теорема. Для того чтобы множество Z Cn было замкнутым единичным шаром для какой-нибудь нормы на Cn, необходимо и достаточно выполнение свойств (1) (4).

Доказательство. Рассмотрим множество Z, обладающее указанными свойствами, и попытаемся ввес-

ти норму таким образом: 2

f(x) = inf{t > 0 : x/t Z}, x Cn. (#)

Прежде всего, заметим, что f(x) принимает конечные значения для всех x. Согласно условию (2), â Z содержится окрестность нуля вида O = {||x||2 < ε}, ãäå ε > 0. Поэтому для любого x 6= 0 имеем

Следовательно, f(αx) ≤ |α| f(x). Противоположное неравенство доказывается аналогично с выбором последовательности tk → f(αx), (αx)/tk Z.

Докажем неравенство треугольника. Пусть

αk → f(x), x/αk Z, βk → f(y), y/βk Z.

Согласно выпуклости Z, находим

2Функция такого вида называется функционалом Минковского .

Заметим, что Минковский определял нормы именно с помощью функции вида (#) и множеств,

обладающих свойствами (1) (4). Аксиоматический подход к определению нормы был предложен несколько позже (в 1922 году) независимо Банахом и Винером.

Доказанная нами теорема легко обобщается на случай бесконечномерных пространств. Все остается без изменений, если вместо 2-нормы выбрать и зафиксировать любую норму, относительно которой будут затем определяться понятия сходимости, окрестности, замкнутости и ограниченности.

54.4Топологические пространства

В действительности при изучении сходимости понятие расстояния нужно лишь для того, чтобы определять, какие точки считаются близкими . В метрическом пространстве M можно объявить, что близ-

кие точки это точки, входящие в одно и то же открытое множество. Обычно любое открытое множество, содержащее заданную точку, называется также ее окрестностью. Последовательность то-

÷åê xk M сходится к точке x M, если в любой ее окрестности содержатся все точки xk, начиная с

некоторой. Это предложение не опирается явным образом на понятие расстояния и часто принимается в качестве определения сходящейся последовательности.

Обозначим через T систему всех открытых множеств точек из M. Несложно проверить, что система

Tобладает следующими свойствами:

(1)T содержит M и пустое множество ;

(2)объединение любого (конечного или бесконечного) числа множеств из T принадлежит T ;

(3)пересечение любого конечного числа множеств из T принадлежит T . 3

Пусть теперь M произвольное непустое множество, а T произвольная система его подмножеств, обладающая свойствами (1) − (3). Тогда T называется топологией íà M, сами множества, входящие в T , объявляются открытыми, а множество M, снабженное топологией, называется òîïî-

логическим пространством .

В топологическом пространстве сходимость определяется отмеченным выше образом. Понятие предельной точки, замыкания и замкнутого множества опираются исключительно на понятие сходящейся последовательности и вводятся так же, как в метрическом пространстве.

54.5Компактные множества в топологическом пространстве

Открытым покрытием множества S M в топологическом пространстве M называется любая со-

вокупность открытых множеств, объединение которых содержит S. Покрытие, состоящее из части

данных множеств, называется подпокрытием, а если оно состоит их конечного числа открытых множеств, то конечным подпокрытием.

Множество S называется компактным в топологическом пространстве M, если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Утверждение. Любое компактное в топологическом пространстве множество замкнуто и таково, что из любой принадлежащей ему последовательности точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Если множество {xk} имеет предельную точку, принадлежащую заданному ком-

бесконечное число одинаковых точек. 2

Теорема. Для того чтобы множество в метрическом пространстве было компактным в соответствующем топологическом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и

3Пересечение бесконечного числа открытых множеств может и не быть открытым (например, пересечение всех открытых множеств, содержащих данную точку).

316 Лекция 54

таким, что в любой принадлежащей ему последовательности выделяется сходящаяся подпоследовательность.

Доказательство достаточности. Пусть речь идет о множестве S. Прежде всего, заметим, что для любого ε > 0 оно покрывается конечной системой открытых шаров радиуса не больше ε. 4 Если это не так для какого-то ε, то существует точка a1 S такая, что S не покрывается шаром M(a1, ε) ρ(a1, a2) ≥ ε для некоторой точки a2 S è ïðè ýòîì S не покрывается системой двух шаров M(a1, ε) è M(a2, ε), и так далее. В итоге получается последовательность точек ak S таких, что ρ(ai, aj) ≥ ε ïðè i 6= j из последовательности ak нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.

Рассмотрим конечные покрытия шарами последовательно для ε = 1, 1/2, 1/3, . . . и обозначим через B множество всех этих шаров. Пусть имеется произвольное открытое покрытие множества S. Любая точка любого открытого множества принадлежит некоторому шару из B. Поэтому существует открытое покрытие S некоторой последовательностью шаров из B. Следовательно, из заданного открытого покрытия множества S можно выбрать счетное подпокрытие другими словами, S покрывается некоторой последовательностью открытых множеств Ok.

Если из системы множеств Ok нельзя выбрать какое-либо конечное подпокрытие множества S, òî

!

S

каждое из замкнутых множеств Zk = S\ Oi непустое. При этом Z1 Z2 Z3 . . . . Пусть

1≤i≤k

xk Zk S. Выделим из последовательности xk сходящуюся подпоследовательность и обозначим ее предел через x. В силу замкнутости S, x S. Для какого-то номера i имеем x Oi. Íî Oi не имеет общих точек с с любым из множеств Zk, начиная с некоторого номера. Поэтому последовательность xk не может сходиться к x. Полученное противоречие означает, что из покрытия S множествами Ok можно выделить конечное подпокрытие. 2

4Такое покрытие называется ε-сетью.