От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

построения правильного 17-угольника (заметим, что 17 = 24 + 1) для этого достаточ-

но предъявить конкретную цепочку расширений вида (1), (2). Гаусс писал также о том, что данное условие является необходимым. 2

49.7Эндоморфизмы и автоморфизмы

Рассмотрим еще одно доказательство неразложимости многочлена

f(x) = 1 + x + . . . + xn−1

íàä Q при простом n. Оно является более длинным, но приоткрывает связи с некоторыми очень пло-

дотворными идеями и понятиями алгебры (в частности, с автоморфизмами полей их детальное изучение составляет предмет теории Галуа и выходит за рамки нашего курса).

Пусть F ïîëå è Φ : F → F отображение, сохраняющее операции:

Φ(a + b) = Φ(a) + Φ(b), Φ(ab) = Φ(a) Φ(b) a, b F.

Взаимная однозначность не предполагается. В таких случаях Φ называется эндоморфизмом ïîëÿ F . 3 Åñëè F является расширением поля P , то особый интерес представляют эндоморфизмы, оставляющие на месте элементы поля P они называются эндоморфизмами F íàä P . Пусть E(F, P ) обозначает множество всех эндоморфизмов поля F над полем P .

Утверждение 1. Пусть f(x) произвольный многочлен над полем P è θ F его корень: f(θ) = 0. Тогда для любого эндоморфизма Φ E(F, P ) элемент Φ(θ) является корнем того же многочлена: f(Φ(θ)) = 0.

Доказательство. Пусть f(x) = a0 + a1x + . . . + anxn, ãäå ai P . Тогда 0 = Φ(0) = Φ(f(θ)) = Φ(a0) + Φ(a1)Φ(θ) + . . . + Φ(an)(Φ(θ))n = a0 + a1Φ(θ) + . . . + an(Φ(θ))n = f(Φ(θ)). 2

Изучим подробнее эндоморфизмы для поля, получаемого из поля рациональных чисел Q присо-

единением всех корней из единицы степени n (достаточно присоединить лишь один корень такой, степени которого порождают все множество корней):

Доказательство. Пусть Φ E(Q(ε), Q). Тогда, в силу утверждения 1, Φ(ε) = εi для некоторого i от 0 до n − 1. Соотношение Φ(ε) = εi полностью определяет эндоморфизм Φ. Остается доказать, что для любого i существует эндоморфизм Φi E(Q(ε), Q) такой, что Φi(ε) = εi.

Пусть f(x) минимальный многочлен для ε над полем Q. Заметим, что ε есть корень уравнения

В силу теоремы о присоединении корня, любой элемент z Q(ε) однозначно представим в виде

m

X

z = ak εk, ak Q k.

k=0

Определим отображение Φi : Q(ε) → Q(ε) формулой

Утверждение 3. В случае простого n любой из эндоморфизмов Φi утверждения 2 при 1 ≤ i ≤ n − 1 задает взаимно-однозначное отображение множества {ε, ε2, . . . , εn−1} на себя, причем каждое

такое отображение является циклическим:

εi1 → εi2 → . . . → εin−2 → εin−1 → εi1 ,

ãäå i1, . . . , in−1 некоторая перестановка номеров 1, 2, . . . , n − 1.

Доказательство. Мы знаем, что мультипликативная группа поля вычетов по простому модулю является циклической (см. дополнительную часть Лекции 14). Поэтому существует m в промежутке от 2 äî n − 1 такое, что остатки при делении на n чисел m, m2, m3, . . . , mn−1 образуют перестановку чисел {1, 2, 3, . . . , n − 1}. Рассмотрим эндоморфизм Φ E(Q(ε), Q) такой, что Φ(ε) = εm. Очевидно, он действует таким образом:

ε → εm → εm2 → εm3 → . . . εmn−2 → εmn−1 = ε.

Эндоморфизмы Φ, Φ2, . . . , Φn−1 являются, очевидно, различными и ни один из них не совпадает с

Φ0 {Φ, Φ2, . . . , Φn−1} = {Φ1, . . . , Φn−1}. Остается заметить, что при любом k отображение Φk реализует циклическую подстановку на множестве корней {ε, ε2, . . . , εn−1}. 2

Утверждение 4. При простом n минимальный многочлен для ε над полем Q равен f(x) = 1 + x +

. . . + xn−1.

Доказательство. Достаточно убедиться в неразложимости многочлена f(x) над полем Q. Предположим, что f(x) = u(x)v(x), ãäå u(x), v(x) Q[x]. Выберем любое k îò 1 äî n − 1 и рассмотрим эндоморфизм Φ = Φk. Пусть степень многочлена u(x) равна m. Тогда он имеет m различных корней

Эндоморфизмы поля, являющиеся взаимно-однозначными отображениями, называются автоморфизмами.

Утверждение 5. При простом n эндоморфизмы Φ1, . . . , Φn−1 утверждения 2 являются автомор- физмами поля Q(ε), оставляющими на месте элементы поля Q, и исчерпывают все множество автоморфизмов такого типа.

Доказательство. Данные отображения взаимно-однозначны в силу теоремы о присоединении корня.

49.8 Алгебраические числа

Комплексное число называется алгебраическим, если оно является корнем многочлена над полем рациональных чисел. В противном случае оно называется трансцендентным. Изученные нами свойства конечных расширений полей делают почти очевидным следующее утверждение.

Теорема. Множество всех алгебраических чисел относительно операций сложения и умножения комплексных чисел является полем.

Доказательство. Пусть α è β являются корнями каких-то многочленов над Q. Рассмотрим поле Q(α), полученное присоединением к Q элемента α, è ïîëå Q(α)(β), полученное из Q(α) присоединением элемента β корня многочлена из кольца Q(α)[x] (ÿñíî, ÷òî Q[x] Q(a)[x]). Тогда расширение Q Q(α)(β) является конечным расширением. Очевидно, что любой элемент γ конечного расширения поля Q является корнем некоторого многочлена над Q, иначе элементы 1, γ, γ2, . . . , γn áûëè áû линейно независимы над Q при любом n. Таким образом, числа α ± β, αβ è α/β (ïðè β 6= 0) являются алгебраическими. Поэтому множество алгебраических чисел есть подполе в C. 2

300 Лекция 50

x0, x1, . . . , xk−1 оно однозначно определяет значения xk, xk+1, ... . Однако, решение xn уравнения ( ) можно выразить и с помощью полезной явной формулы.

Чтобы ее получить, будем искать xn â âèäå xn = zn, ãäå z 6= 0. Тогда, в силу ( ),

a0zn + a1zn+1 + . . . + akzn+k = 0 a0 + a1z + . . . + akzk = 0.

Таким образом, xn = zn удовлетворяет соотношениям ( ) в том и только том случае, когда z является корнем многочлена f(x) = a0 + a1x + . . . + akxk.

Случай простых корней. Если f(x) имеет k попарно различных корней z1, . . . , zk

(в общем случае комплексных), то для произвольных констант c1, . . . , ck последователь- ность вида

будет, очевидно, решением уравнения ( ). Более того, любое решение представляется в виде ( ), òàê êàê xn однозначно определяется по начальным значениям x0, . . . , xk−1, à константы c1, . . . , ck однозначно определяются системой линейных уравнений

c1z1n + . . . + ckzkn = xn, n = 0, 1, . . . , k − 1,

для которой матрица коэффициентов является транспонированной матрицей Вандермонда для попарно различных узлов z1, . . . , zk.

Случай кратных корней. Если многочлен f(x) имеет кратные корни, то фор-

ìóëà ( ) уже не описывает все решения уравнения ( ). Чтобы получить k линейно независимых решений и в этом случае, достаточно заметить следующее.

Лемма 1. Пусть z корень f(x) кратности γ. Тогда при любом фиксированном 0 ≤ s ≤ γ−1 последовательности вида xsn = nszn, n = 0, 1, ... , являются решениями уравнения ( ).

Доказательство. Очевидно,

a0nszn + a1(n + 1)szn+1 + ... + ak(n + k)szn+k =

n(a0ns−1zn + a1(n + 1)s−1zn+1 + ... + ak(n + k)s−1zn+k) + zn+1(a1 + 2a2z + ... + kakzk−1).

Выражение во второй скобке это значение производной f0(z). Поскольку z кратный корень, получаем f0(z) = 0. Далее применяем индукцию по s. 2

Лемма 2. Пусть даны попарно различные ненулевые числа z1, . . . , zm и натуральные числа γ1, . . . , γm такие, что γ1 + . . . + γm = k. Тогда столбцы

образуют линейно независимую систему.

Доказательство. Данная система состоит из m подсистем для попарно различных чисел z1, . . . , zm, при этом в подсистеме для zs имеется γs столбцов. Можно проверить,

что линейная оболочка, натянутая на столбцы подсистемы для zs совпадает с линейной оболочкой для столбцов

Поэтому линейная независимость столбцов вида (1) равносильна линейной независимости системы, составленной из столбцов вида (2) ïðè s = 1, . . . , m. Пусть Ak матрица

порядка k, составленная из столбцов вида (2). Чтобы вычислить определитель матрицы Ak, вычтем из каждой ее строки, кроме первой, предыдущую строку, умноженную на z1. Несложные, хотя и громоздкие, выкладки приводят к соотношению det Ak = c det Ak−1, ãäå c 6= 0, à Ak−1 обозначает матрицу порядка k − 1, вид которой аналогичен виду матрицы Ak с той лишь разницей, что γ1 следует заменить на γ1 − 1. Далее по индукции.

2

50.3Поле разложения

Рассмотрим многочлен

Ïîëå L = K(x1, . . . , xn) называется полем разложения многочлена f(x). Конечно, L может быть получено из K путем последовательного присоединения корней x1, . . . , xn:

KK(x1) K(x1)(x2) . . . K(x1)(x2) . . . (xn) = L.

Âдействительности поле L можно получить из K присоединением всего лишь какого-то одного числа θ L (вообще говоря, θ отлично от корней f(x)). Данный результат получается с помощью

последовательного применения следующей леммы.

Лемма. Пусть α è β являются корнями многочленов над полем K C. Тогда

K(α)(β) = K(θ)

для какого-то числа θ K(α)(β).

Доказательство. Пусть F (x) минимальный многочлен над K äëÿ α, имеющий (как мы знаем, простые) корни α1 = α, α2, . . . , αk, à G(x) минимальный многочлен над K äëÿ β, имеющий корни β1 = β, β2, . . . , βm. Число θ попытаемся найти в виде

(θ − αi)/c 6= βj ïðè âñåõ i, j, кроме i = j = 1.

Тогда многочлен Φ(x) = G((θ − x)/c) имеет своим корнем α1, íî íå α2, . . . , αk. Значит, Φ(x) è F (x) имеют в точности один общий корень α1. Поэтому их наибольший общий делитель равен x − α1. Íî он является многочленом над K(θ) (поскольку таковы Φ(x) è F (x)). Отсюда α1 K(θ). 2

50.4Корни многочленов над произвольным полем

Пусть задан многочлен над абстрактным полем P . Он может не иметь корней в P , но получить их в

более широком поле F . Всегда ли найдется поле F с таким свойством?

Мы уже знаем, что для комплексных многочленов ответ положительный. Это можно доказать и для произвольного поля, причем легче, чем основную теорему алгебры (потому что в последней F является заранее предписанным полем).

Теорема о существовании корня. Для произвольного многочлена над полем P , имеющего степень выше нулевой, существует расширение поля P , в котором он имеет корень.

Доказательство. Рассмотрим многочлен f(x) P [x] степени n ≥ 1 и введем следующее бинарное отношение на множестве P [x]: u(x) v(x), åñëè u(x) è v(x) имеют одинаковые остатки от деления на f(x). Легко проверить, что это есть отношение эквивалентности. Поэтому все множество многочленов над P разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности. Класс многочленов, эквивалентных u(x), обозначим через [u(x)], а все множество классов эквивалентности через F .

51.2Нормальные поля и поля разложения

Формулы Виета и теорема о симметрических многочленах с большой пользой применяются при изу- чении расширений полей, содержащих корни тех или иных многочленов.

Фиксируем числовое поле K C и будем рассматривать его конечные расширения K L. Последнее означает, что поле L можно рассматривать как конечномерное линейное пространство над полем K. Отсюда вытекает, что в L любой элемент является корнем некоторого неразложимого многочлена над K.

В теории Галуа особый интерес вызывают нормальные расширения . Это конечные расширения K L с особым свойством: если хотя бы один корень неразложимого над K многочлена степени n

принадлежит L, òî âñå åãî n комплексных корней принадлежат L. В таких случаях говорят также, что

L является нормальным полем над K èëè нормально над K.

Пусть L = K(θ1, . . . , θn) поле разложения некоторого (возможно, разложимого) многочлена f(x) K[x] степени n.

Теорема. Поле разложения L любого многочлена над K является нормальным над K, а любое нормальное над K поле является полем разложения некоторого многочлена над K.

Доказательство. Пусть L = K(θ1, . . . , θn) поле разложения многочлена

f(x) = (x − θ1) . . . (x − θn) K[x]

(корни в поле L, а коэффициенты принадлежат меньшему полю K). ßñíî, ÷òî ïîëå L можно получить

последовательным присоединением отдельных корней. Из теоремы о присоединении корня (из Лекции 15) легко вывести, что любой элемент α L имеет вид α = g(θ1, . . . , θn), ãäå g(x1, . . . , xn) многочлен

îò n переменных с коэффициентами из поля K. Рассмотрим следующий многочлен:

Y

Ψ(x) = (x − g(θσ(1), . . . , θσ(n))).

σ Sn

В силу формул Виета и теоремы о симметрических многочленах, его коэффициенты принадлежат полю K.

Докажем нормальность поля L. Пусть α L корень неразложимого многочлена φ(x) K[x] è β

любой другой корень φ(x). Поскольку φ(x) è Ψ(x) имеют общий корень α, он является также корнем их наибольшего общего делителя. В силу алгоритма Евклида, коэффициенты наибольшего общего делителя принадлежат полю K. Поэтому он лишь ненулевым множителем может отличаться от φ(x)

(в силу неразложимости φ(x)). Значит, Ψ(x) делится на φ(x) β имеет вид β = g(θσ(1), . . . , θσ(n))

σ Sn β L.

Вторая часть утверждения доказывается очевидным образом. 2

51.3Радикальные расширения

Рассмотрим алгебраическое уравнение f(x) = a0 + a1x + . . . + an−1xn−1 + xn = 0 с коэффициентами из числового поля K C. Пусть L поле разложения f(x).

Вопрос об формуле, выражающей корни f(x) через коэффициенты с помощью арифметических операций и операций извлечения корня любой предписанной степени (короче, в радикалах), сводится

1Можно доказать, что от цепочки радикальных расширений вида ( ), дающей некоторое поле Le, всегда можно перейти к цепочке таких радикальных расширений, которая дает в итоге поле, содер- жащее Le и нормальное над K. Для первого знакомства с данным кругом идей можно полагать для

простоты, что изучается случай Le = L.

306 Лекция 51

Отсюда следует, что L поле разложения для Φ(x). Поэтому K L нормальное расширение. Далее, многочлен

φ(x) = (x − h(θ))

является многочленом над LH

членах) и, следовательно, над K = LH . В силу неразложимости минимального многочлена Φ(x) = φ(x)число автоморфизмов в подгруппе H равно числу автоморфизмов в группе G H = G. 2

(3) Для любого промежуточного поля P группа H = Aut(L, P ) является подгруппой группы

G = Aut(L, K). 2

Теорема. Если L нормальное расширение поля K, òî P = LH нормальное поле над K тогда и только тогда, когда H нормальный делитель группы G = Aut(L, K); при этом группа Aut(P, K) изоморфна фактор-группе G/H.

Åñëè ïîëå P нормально над K, то все корни данного многочлена принадлежат P g(ζ) P .

g(ζ) h H g(ζ) P . Таким образом, каждый автоморфизм g G при действии на числа из P переводит их в числа из P , порождая тем самым автоморфизм поля P íàä K. При этом все автомор-

51.7Разрешимость алгебраических уравнений

Пусть f(x) многочлен степени n над полем K C, и предположим, что f(x) имеет n простых корней

θ1, . . . , θn è g G = Aut(L, K), ãäå L поле разложения f(x). Легко видеть, что g(θi) = θσ(i) äëÿ некоторой подстановки σ Sn. Несложно придти к выводу о том, что группа G изоморфна подгруппе симметрической группы Sn (поэтому о ней обычно говорят просто как о подгруппе в Sn).

Изучение цепочек радикальных расширений вида ( ) можно свести к изучению специальных под-

групп группы Галуа нормальных делителей с абелевой (более того, даже с циклической) факторгруппой. В самом деле, можно ограничиться рассмотрением таких цепочек, в которых каждое звено

дает поле разложения некоторого многочлена xp − a при простом p. Мы уже знаем, что группа Галуа такого расширения имеет нормальный делитель с циклической (а значит, и абелевой) фактор-группой.

В группе Sn ïðè n ≥ 5 нормальных делителей с абелевой фактор-группой слишком мало одна лишь знакопеременная группа (см. доказательство в разделе 18.13).

(4) В конечном счете отсюда получаются примеры неразрешимых в радикалах алгебраических уравнений степени n ≥ 5. Неразрешимым будет любое уравнение степени n ≥ 5, для которого группа

Галуа совпадает с Sn.

(5) Подгруппа G группы Sn называется транзитивной, если для любых номеров i, j îò 1 äî n существует подстановка σ G такая, что σ(i) = j.

Утверждение. Если f(x) неразложимый многочлен над полем K C, то группа G = Aut(L, K) изоморфна некоторой транзитивной группе подстановок.

Доказательство. Мы знаем, что неразложимый многочлен над K C имеет только простые корни.

2Отсюда, в частности, вытекает конечность числа промежуточных полей.