От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

290 Лекция 48

Два комплексных числа u3 è v3 с заданной суммой и заданным произведением находятся как корни квадратного уравнения

q q

p p

x = 3 −q/2 + q2/4 + p3/27 + 3 −q/2 − q2/4 + p3/27.

При применении формулы Кардано следует иметь в виду, что для каждого из куби- ческих корней существуют три комплексных значения, которые нельзя выбирать неза-

висимо: их произведение uv должно быть равно −p/3. Даже в случае вещественных

корней формула Кардано, как правило, дает их представление с использованием комплексных значений кубических корней.

48.3 Уравнения четвертой степени

Общее уравнение четвертой степени

z4 + a3z3 + a2z2 + a1z + a0 = 0

с помощью замены z = x − a3/4 приводится к виду

x4 + px2 + qx + r = 0. ( )

Данное уравнение может быть сведено к кубическому. Наиболее простой способ для этого был предложен итальянским математиком Феррари. Идея состоит в том, чтобы

представить левую часть уравнения ( ) как разность двух квадратов:

x4 + px2 + qx + r = (x2 + y/2)2 − ((y − p)x2 − qx + (y2/4 − r)).

Квадратный трехчлен ax2 + bx + c является квадратом двучлена αx + β в том и только

том случае, когда его дискриминант равен нулю. Поэтому потребуем, чтобы y был решением кубического уравнения

q2 − 4(y − p)(y2/4 − r) = 0.

Тогда для некоторых α, β

x4 + px2 + qx + r = (x2 + y/2)2 − (αx + β)2 = (x2 + y/2 + αx + β)(x2 + y/2 − αx − β).

Таким образом, получение решений для ( ) сводится к решению одного кубического и

нескольких квадратных уравнений.

В начале 19-го века Руффини и Абель независимо друг от друга доказали, что для общего алгебраического уравнения n-й степени при n ≥ 5 формулы, выражающей

корни через радикалы, не существует. В 1830 г. Эварист Галуа создал теорию, позволяющую выяснить разрешимость или неразрешимость в радикалах любого конкретного

уравнения n-й степени (см. дополнительную часть Лекции 18).

1Это тот самый Кардано, который известен автомобилистам как изобретатель способа передачи вращения с одного вала на другой. Данная формула опубликована им в 16-м веке, но известно, что она была открыта другими итальянскими математиками. Ученики Кардано нашли также способ решения уравнений 4-й степени.

(a)пересечение двух прямых, проходящих через точки с координами из Qi−1;

(b)пересечение прямой и окружности в предположении, что прямая проходит через пару точек с координатами из Qi−1, центр окружности есть точка с координатами из Qi−1, а сама окружность проходит через точку с координатами из Qi−1 (отсюда ясно, что квадрат радиуса есть число из Qi−1);

(c)пересечение двух окружностей с тем же предположением относительно центра и радиуса.

Не очень трудно убедиться в том, что каждое из допустимых построений дает точки, координаты которых принадлежат полю Qi−1 либо некоторому его расширению

Qi = Qi−1(θi), ãäå θi / Qi−1, íî Di ≡ θi2 Qi−1.

Перенумеруем подряд только те поля, которые не совпадают с предыдущим полем. После этого получаем цепочку из k ≤ m расширений вида

Теперь мы в состоянии доказать, например, следующий результат.

Теорема. Задача об удвоении куба неразрешима с помощью циркуля и линейки .

Доказательство. В данном случае цель построений отрезок длины 21/3. Åñëè ïî-

строение возможно, то существует такая цепочка расширений, в которой 21/3 Qk, íî 21/3 / Qk−1. Следовательно,

21/3 = a + bθk, a, b Qk−1, b 6= 0.

Возводя в куб, находим

2 = a3 + 3a2θk + 3ab2 Dk + b3Dk θk 2 − a3 − 3ab2 Dk = (3a2 + b2Dk)b θk.

Учитывая, что b 6= 0 è 3a2 + b2Dk > 0, получаем

что противоречит нашим предположениям. 2

Исследование вопроса о построении правильных n-угольников менее элементарно.

Тем не менее, мы находимся буквально в двух шагах, например, от доказательства невозможности построения правильного 7-угольника. Один из этих шагов связан с изу-

чением расширений полей как линейных пространств и включает легко доказываемую теорему о размерностях этих пространств. Другой шаг эквивалентен доказательству неразложимости над полем рациональных чисел многочлена f(x) = 1 + x + . . . + xn−1

при простом n.

49.4Конечные расширения полей

Предположим, что поле P вложено в поле F . Тогда элементы из F можно рассмат-

ривать как векторы. Суммой векторов можно назвать их сумму как элементов поля F . Умножение векторов (элементов F ) на числа (элементы P ) можно определить ес-

тественным образом как умножение двух элементов: один (вектор) из поля F , другой (число) из поля P . Все аксиомы линейного пространства, как легко проверить, выполнены. Поэтому F можно рассматривать как линейное пространство над полем P .

Ïîëå F называется поля P , если оно является конечномерным как линейное пространство над полем P . Размерность данного линейного пространства называется степенью расширения и обозначается (F : P ).

Предположим, что поле P вложено в поле F , à F вложено в поле H: P F H. Тогда можно рассматривать следующие три расширения:

P F, F H, P H. ( )

Теорема. Из конечности первых двух расширений вида ( ) вытекает конечность

третьего расширения, а из конечности третьего конечность первых двух расширений. При этом степени расширений связаны соотношением

(H : P ) = (H : F ) (F : P ).

Доказательство. Предположим конечность расширений P F è F H. Пусть a1, . . . , am элементы поля F , образующие базис линейного пространства F над полем P . Аналогично, пусть b1, . . . , bn элементы поля H, образующие базис линейного пространства H над полем F . Очевидно, любой элемент h H можно представить в

Таким образом, любой элемент h H представим в виде линейной комбинации mn элементов поля H линейное пространство H над полем P конечномерно и его

размерность не выше mn.

Остается доказать линейную независимость элементов (векторов)

aibj, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Пусть h = 0. Тогда, поскольку b1, . . . , bn есть базис линейного пространства H íàä

полем F , находим

m

X

sijai = 0, 1 ≤ j ≤ m.

i=1

Поскольку элементы (векторы) a1, . . . , am F над полем P , отсюда получаем sij = 0

линейного пространства H над полем P в точности равна mn.

Теперь предположим, что расширение P H конечно. Пусть a1, ..., am линейно независимые векторы линейного пространства F над полем P , à b1, ..., bn линейно независмые векторы линейного пространства H над полем F . Повторяя предыдущее

рассуждение, мы можем установить линейную независимость векторов aibj êàê ýëå- ментов линейного пространства H над полем P . Значит, mn ≤ (H : P ). Поэтому оба расширения P F è F H конечны. 2

Следствие. Степень расширения Q Qk, получаемого в цепочке расширений (1), (2), равна 2k.

Доказательство. Согласно теореме о минимальном θ-расширении, каждое из расширений Qi−1 Qi в цепочке (1), (2) имеет степень 2. 2

49.5Круговые многочлены простой степени

Теорема. Многочлен f(x) при простом n неразложим над полем рациональных чисел.

Доказательство. Легко доказывается, что разложимость f(x) íàä Q равносильна возможности его представления в виде f(x) = g(x)h(x), где ненулевые многочлены g(x)

è h(x) имеют целочисленные коэффициенты. 1

Заменив каждый из коэффициентов на порождаемый им вычет по простому модулю n, получим многочлены fn(x), gn(x), hn(x) над полем Zn и равенство fn(x) = gn(x)hn(x).

Используя разложение для бинома Ньютона, несложно получить следующее равенство многочленов над Zn: xn − 1 = (x − 1)n. Поэтому в поле Zn справедливы разложения

fn(x) = (x − 1)n−1, gn(x) = (x − 1)m1 , hn(x) = (x − 1)m2 , m1 + m2 = n − 1.

Следовательно, каждое из целых чисел g(1) è h(1) делится на n f(1) = g(1)h(1) делится на n2. Но это невозможно, так как f(1) = n. 2

Еще один (пожалуй, даже более простой) подход: вывести неразложимость f(x) из неразложимости многочлена f(x + 1).

Признак Эйзенштейна. Путь дан многочлен F (x) = a0 + . . . + anxn с целыми коэффициентами, в котором a0, . . . , an−1 делятся на некоторое простое число p > 1 è ïðè ýòîì a0 не делится на p2.

Åñëè an не делится на p, òî F (x) нельзя представить в виде произведения мсногочленов с целыми коэффициентами.

Доказательство. Запишем F (x) = (b0 + . . . + bkxk)(c0 + . . . + cmxm). Тогда b0c0 = a0 делится на p, íî íå íà p2. Поэтому одно и только одно из чисел b0, c0 делится на p. Пусть это будет c0. Среди

коэффициентов c0, . . . , cm должен быть не делящийся на p (иначе an делится на p). Пусть ci первый такой коэффициент. Тогда ai = b0ci + (b1ci−1 + . . . bic0) не делится на p (число в скобках делится на p, а произведение b0ci не делится на p). Отсюда i = n ≤ m m = n. 2

Остается заметить, что в случае f(x) = 1 + x + . . . + xn−1 при простом n многочлен F (x) = f(x + 1)

имеет старший коэффициент 1, а все остальные коэффициенты делятся на n.

Q тогда

и только тогда, когда он разложим в произведение двух многочленов с целочисленными коэффициентами. Это можно вывести из следующей леммы.

Лемма Гаусса. Для любых целочисленных многочленов f(x) = a0 +. . .+amxm è g(x) = b0 +. . .+bnxn наибольший общий делитель C всех коэффициентов произведения f(x)g(x) = c0 + . . . + cm+nxm+n

равен произвдению наибольшего общего делителя A всех коэффициентов f(x) и наибольшего общего делителя B всех коэффициентов g(x).

Доказательство. ßñíî, ÷òî C делится на AB. Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что A = B = 1. Пусть C делится на простое число p > 1. Хотя бы один из коэффициентов a0, . . . , am и хотя бы один из коэффициентов b0, . . . , bn не делится на p. Обозначим через ar è bs первые из коэффициентов, не делящиеся на p. Тогда cr+s = arbs + (ar−1bs+1 + . . . + ar+1bs−1 + . . .). Число в скобках делится на p. Поэтому cr+s не может делиться на p. 2

49.6Правильные n-угольники

Теперь мы готовы к тому, чтобы доказать, например, что правильный 7-угольник с помощью циркуля и линейки построить нельзя. Более того, для возможности постро-

ения правильного n-угольника мы выведем некоторое необходимое условие. (Оно же является и достаточным, но мы докажем только необходимость.)

Будем исходить из того, что вершины вписанного в единичную окружность правильного n-угольника располагаются на корнях из единицы степени n. Предположим, что n

простое число. Пусть существует цепочка вида (1), (2), в которой поле Qk содержит координаты всех корней из единицы степени n. Ясно, для минимальной цепочки

Далее, рассмотрим расширение Qk Qk(ε). Поскольку ε является корнем квадрат-

ного уравнения

x2 − θx + 1 = 0

с коэффициентами из поля Q(θ) Qk, степень расширения Qk Qk(ε) равна 2. Как мы уже знаем, степень расширения Q Qk равна 2k. Поэтому степень расширения Q Qk(ε) равна

(Qk(ε) : Q) = (Qk(ε) : Qk) (Qk : Q) = 2k+1.

В то же время, Q Q(ε) Qk(ε). При простом n степень расширения Q Q(ε)

Лемма. Для возможности построения правильного n-угольника в случае простого n необходимо, чтобы n имело вид n = 2L + 1.

Из нашего рассуждения вытекает, что L = k + 1. Заметим, что если число n = 2L + 1 простое, то L должно иметь вид L = 2m (если L = MN при нечетном M, то число (2N )M − 1 делится на 2N − 1 и поэтому не может быть простым).

Следствие. Построение правильного 7-угольника с помощью циркуля и линейки невозможно.

Доказательство. 7 6= 2L + 1. 2

Теорема. Для возможности построения правильного n-угольника необходимо, чтобы любой нечетный простой сомножитель числа n имел вид 2L + 1.

Доказательство. Достаточно заметить, что если n-угольник строится с помощью цир-

куля и линейки, то строится также любой правильный многоугольник с числом сторон, равным любому делителю числа n. Случай простых нечетных делителей сводится к

применению доказанной выше леммы. 2

Исследование вопроса о построении правильных n-угольников одно из самых ран-

них достижений Гаусса. В отличие от нас, он сосредоточился на доказательстве достаточности полученного выше условия. В частности, Гаусс описал конкретный алгоритм