От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

Очевидно, спектр матрицы A содержится в S(ε). Во многих задачах не следует ожи-

дать сколь-нибудь точного вычисления отдельных собственных значений. Однако, возмущения порядка ε могут дать матрицу с собственными значениями, изменяющимися

в пределах множества S(ε). Таким образом, ответ к задаче о вычислении собственных

значений полезно давать в графической форме в виде совокупности кривых, определенных условием f(λ) = ε при различных ε > 0 (это так называемые линии уровня

функции f(λ)).

Задача. Собственные значения вещественной симметричной матрицы A попарно различны. До-

кажите, что при всех достаточно малых по норме возмущениях F собственные значения возмущенной

матрицы A + F будут вещественными.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

39.4Преобразования отражения и вращения

При решении спектральных задач для упрощения вида исходной матрицы A обычно

используют унитарное подобие подобие сохраняет спектр, а унитарность сохраняет

сингулярные числа и, следовательно, не меняет спектральные портреты.

На практике унитарное подобие реализуется с помощью последовательности матриц

отражения или (комплексных) матриц вращения. Выбор матриц отражения или вра-

щения связан с желанием исключить те или иные элементы. При этом одна матрица

вращения позволяет получить один нуль, а одна матрица отражения нули сразу во всех, кроме одной, позициях столбца или строки.

Исключение с помощью вращений. Всегда существуют комплексные числа

ξ, η, |ξ| = |η| = 1, и вещественное число φ такие, что для заданных комплексных чисел x1, x2 получаем

Åñëè x1 = 0, положим ξ = 1, в противном случае пусть ξ = |x1|/x1. Аналогично, если x2 = 0, òî ζ = 1, иначе пусть η = |x2|/x2. Таким образом, числа ξx1 è ηx2 вещественные и даже неотрицательные. Угол φ выбирается из условия (ξx1) cos φ + (ηx2) sin φ = 0.

||x||2 = ||y||2, то найдется вектор v, ||v||2 = 1, такой, что (I − 2vv )x = γy для некоторого γ, |γ| = 1.

Åñëè x 6= γy, положим u = x − γy, v = u/||u||2. Тогда

x − 2v(v x) = γy 2v(v x) = u 2(u x) = ||u||22.

Последнее уравнение позволяет найти γ:

2(x x − γy¯ x) = ||x||22 + ||y||22 − 2Re (¯γy x).

а также и существование пределов при k → ∞ для последовательностей диагональных элементов akj . Эти пределы, конечно же, будут равны сингулярным числам исходной матрицы A0.

Данный процесс дает некоторое общее представление о том, как могут строиться алгоритмы для вычисления сингулярных чисел. Некоторые черты того же процесса можно обнаружить и в алгоритмах вычисления собственных значений. Следует заметить, однако, что эффективность алгоритмов, используемых в современных пакетах и библиотеках программ, связана с определенным числом очень важных деталей и идей, которые мы обсудить здесь не имели возможности.

264 Лекция 40

Обозначение: X = (A, B, C), ãäå A, B, C матрицы вида

A = [ais] = [a1, . . . , ar], B = [bjs] = [b1, . . . , br], C = [cks] = [c1, . . . , cr].

Число столбцов для матриц A, B, C одно и то же и равно r, число строк для них определяется границами для индексов i, j è k пусть это будут n1, n2 è n3.

Таким образом, любые три матрицы с одним и тем же числом столбцов r порож-

дают трилинейное разложение (A, B, C) некоторого трехмерного массива. Общее число

столбцов называется рангом данного трилинейного разложения. Среди всех трилинейных разложений трехмерного массива X имеется, конечно, разложение с минимальным

числом столбцов. Его ранг (число столбцов) и называется тензорным рангом трехмерного массива X. Обозначение: Rank X.

40.3Сечения трехмерного массива

С трехмерным массивом X = [xijk] ассоциируем три матрицы сечений

Y = [y(i),(jk)], Z = [z(j),(ik)], W = [w(k),(ij)], y(i),(jk) = z(j),(ik) = w(k),(ij) = xijk,

и положим

dim1 X ≡ rankY, dim2 X ≡ rankZ, dim3 X ≡ rankW.

Строки матриц Y, Z, W соответствуют векторизованным сечениям трехмерного массива X ïî îñÿì i, j, k, соответственно.

Каждое сечение по оси i представляет собой прямоугольную матрицу [xijk]i=i0 . Î÷å- видно, dim1 X есть размерность линейной оболочки, натянутой на матрицы сечений при i = 1, . . . , n1. Аналогичный смысл имеют величины dim2 X è dim3 X.

Утверждение. max(dim1 X, dim2 X, dim3 X) ≤ Rank X ≤ min(n1n2, n2n3, n1n3).

Доказательство. Докажем для определенности, что dim1 X ≤ Rank X ≤ n2n3. Åñëè r = rankX, то существует трилинейное разложение с числом столбцов r:

X = (A, B, C) [xijk]i=i0 L(b1c>1 , . . . , brc>r ) dim1 X ≤ r.

Далее, ранг матрицы W не больше n3. Поэтому для нее существует разложение вида

n3

X

w(k),(ij) = ΦksΨ(ij),s. s=1

Аналог сечений для обычных матриц запись их в виде системы строк или столбцов. В отличие от матриц, для которых строчный и столбцовый ранги совпадают и

равны рангу матрицы, четыре числа rankX, dim1 X, dim2 X, dim3 X, вообще говоря, разные.

40.4Примеры трилинейных разложений

Любой трехмерный 2 × 2 × 2-массив X = [xijk] определяется двумя сечениями

X1 = [x1jk], X2 = [x2jk].

Используя трилинейное разложение предыдущего примера, для данного массива мы можем с легкостью получить разложение ранга 3 (сделайте это!). Но верно ли, что разложение меньшего ранга не существует? Допустим, что

Каждая из матриц X1 è X2 имеет ранг 2 коэффициенты a11, a12, a21, a22 отличны от нуля. Рассмотрим линейную комбинацию

Преобразуя правые части выражений для X1 è X2, находим

V = (a21a12 − a11a22) b2c>2 rank V ≤ 1.

Противоречие означает, что RankX ≥ 3.

Замечание. В только что законченном рассуждении предполагалось, что все числа вещественные. Если допустить к рассмотрению трилинейные разложения с комплексными числами, то в данном случае оказывается, что тензорный ранг равен 2.

40.5Âñå íå òàê

Итак, свойства тензорных рангов трехмерных массивов и рангов матриц различаются коренным образом.

1. Тензорный ранг трехмерных массивов существенно зависит от числового поля, которому принадлежат элементы трилинейных разложений.

В дальнейшем всюду полагаем, что числовое поле есть поле вещественных чисел.

2.Для тензорного ранга не известны какие-либо конечные алгоритмы его вычисления в отличие от ранга матрицы, который в точной арифметике легко находится

ñпомощью конечного числа элементарных преобразований.

3.В общем случае при фиксированных размерах трехмерного массива до сих пор не получены точные значения максимального значения тензорного ранга.

Кое-что, правда, известно. В 1970-х годах Йозеф Крускал доказал, что тензорный ранг произвольного вещественного 2 × 2 × 2-массива не превышает 3. Соединив этот

факт с разобранным выше примером, приходим к выводу о том, что максимальное значение тензорного ранга в данном частном случае равно 3.

4. Обратим внимание на специфические вероятностные свойства тензорных рангов (при этом оставим строгие определения в стороне и доверимся интуиции): среди

всего множества вещественных 2 ×2 ×2-массивов имеется примерно 79% массивов тен-

зорного ранга 2 и примерно 21% массивов тензорного ранга 3.

Это экпериментальные данные, полученные Крускалом. В случае двумерных массивов (матриц) все проще: почти любая матрица имеет максимально возможный ранг (равный минимальному из ее размеров).

40.6Эквивалентные трилинейные разложения

В буквальном смысле трилинейное разложение, конечно, не может быть единственным.

Åñëè X = (A, B, C), ãäå A = [a1, . . . , ar], B = [b1, . . . , br], C = [c1, . . . , cr], то формально

другое разложение для того же X легко строится с помощью двух приемов:

(1) можно произвольным, но одинаковым образом переставить столбцы в матрицах

A, B, C;

(2) взяв любые числа αs, βs, γs такие, что αsβsγs = 1, можно заменить столб-

öû as, bs, cs íà αsas, βsbs, γscs.

Аналогичным образом вводится понятие эквивалентности для билинейных (скелетных) разложений матриц и m-линейных разложений произвольных m-мерных массивов.

40.7Единственность с точностью до эквивалентности

Множество билинейных (скелетных) разложений заданной матрицы весьма широко, и его описание не сводится к эквивалентности разложений.

Например, пусть X = [x1, x2] матрица размеров n × 2 с линейно независимыми

столбцами x1, x2. Для произвольной невырожденной 2×2-матрицы G = [g1, g2] запишем XG−1 = [xG1 , xG2 ]. Тогда, очевидно,

X = xG1 g1> + xG2 g2>. ( )