От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

218 Лекция 33

значений λ1, . . . , λm и возьмем в качестве f(λ) многочлен степени не выше m − 1, принимающий при λi значение λi. Тогда Λ = f(Λ) A = QΛ Q = Qf(Λ)Q = f(A).

Задача. Докажите, что спектральный радиус (максимальный модуль собственных значений) нор-

мальной матрицы A допускает представление ρ(A) = max |x Ax|/|x x|.

x6=0

33.2 Унитарные матрицы

ее собственных значений и Q унитарная матрица из ее собственных векторов.

Напомним, что квадратная матрица A называется унитарной, если A A = I. Из определения ясно, что любая унитарная матрица является нормальной.

Утверждение. Нормальная матрица является унитарной тогда и только тогда, когда все ее собственные значения по модулю равны 1.

Доказательство. A A = 1 Λ Λ = I |λi| = 1, 1 ≤ i ≤ n. 2

÷òî | det Q12| = | det Q21|.

33.3Матрицы отражения и вращения

Унитарные матрицы занимают, бесспорно, особое место в вычислительной алгебре: вопервых, они задают ортонормированные базисы; во-вторых, при умножении на них сохраняются длины столбцов (и даже их скалярные произведения). Среди них выделяются два очень полезных для вычислений подкласса: матрицы отражения и матрицы вращения.

Матрицей отражения (матрицей Хаусхолдера), порожденной вектором v Cn åäè- ничной длины, называется матрица вида

подпространство (L(v)) является собственным подпространством для собствен-

собственное подпространство для собственного значения λ = −1 кратности 1. âèäТаким образом, в некотором ортонормированном базисе матрица отражения имеет

Вещественной матрицей вращения (матрицей Гивенса) порядка n, определяемой углом φ и номерами 1 ≤ k < l ≤ n, называется матрица W = W (φ, k, l), отличающаяся

от единичной лишь элементами 2 × 2-подматрицы на пересечении строк и столбцов с номерами k è l; данная подматрица имеет вид

Под комплексной матрицей вращения можно понимать матрицу такого же вида, в которой указанная 2 Ч 2-подматрица может быть умножена справа и слева на произ-

вольные диагональные унитарные матрицы.

Унитарность вещественных и комплексных матриц вращения проверяется непосредственно.

33.4Эрмитовы матрицы

Напомним, что матрица A называется эрмитовой, если A = A. Очевидно, любая эрмитова матрица является нормальной.

Утверждение. Нормальная матрица является эрмитовой тогда и только тогда, когда все ее собственные значения вещественны.

скалярного произведения). Докажите, что A = A .

Задача. Дано подпространство L Cn. Докажите, что среди всех матриц A таких, что imA = L и A2 = A, наименьшее значение 2-нормы достигается для некоторой эрмитовой и притом только одной

матрицы A.

Задача. Докажите, что для любой эрмитовой матрицы H матрица Q = (I−iH)−1(I+iH) является унитарной. Любую ли унитарную матрицу можно представить таким образом?

Задача. Эрмитовы матрицы A, B Cn таковы, что A2 = A è B2 = B. Докажите, что если

||A − B||2 < 1, òî rankA = rankB.

33.5Эрмитово разложение

Запись матрицы A â âèäå A = H+iK, ãäå H = H, K = K, называется ее эрмитовым

разложением.

Теорема. Для любой матрицы A Cn×n эрмитово разложение существует и единственно.

Существование: пусть H и K определяются формулами ( ); они, очевидно, эрмитовы и при этом A = H + iK. 2

Заметим, что матрица B = iK является косоэрмитовой так называются матрицы B со свойством B = −B.

33.6Неотрицательная и положительная определенность

Матрица A Cn×n называется неотрицательно (положительно) определенной, åñëè

определенные матрицы называются также положительно полуопределенными.

Теорема. Для неотрицательной (положительной) определенности матрицы A Cn×n необходимо и достаточно, чтобы она была эрмитовой матрицей с неотрицательными (положительными) собственными значениями.

Доказательство. Используя эрмитово разложение A = H + iK, находим

x Ax = (x Hx) + i(x Kx).

Число x Ax вещественно для любого x x Kx = 0 äëÿ âñåõ x. Отсюда вытекает, что эрмитова матрица K имеет только нулевые собственные значения: Kx = λx, x 6= 0

значениями λ1, . . . , λn и ортонормированным базисом собственных векторов v1, . . . , vn.

Пусть x = α1v1 + . . . + αnvn. Тогда Ax = α1λ1v1 + . . . + αnλnvn. Отсюда x Ax = (Ax, x) = λ1|α1|2 + . . . + λn|αn|2 ≥ 0.

В случае λi > 0 находим x Ax > 0 ïðè x 6= 0. 2

Задача. Пусть A = H + iK эрмитово разложение матрицы A. Докажите, что вещественные части собственных значений матрицы A заключены между минимальным и максимальным собственными значениями эрмитовой матрицы H, а мнимые части между минимальным и максимальным собственными значениями эрмитовой матрицы K.

Задача. Даны квадратные матрицы A è B одного порядка, при этом матрица B невырожденная. Докажите, что из неотрицательной определенности матрицы B B − A A вытекает, что спектральный радиус матрицы B−1A не больше 1.

Задача. Пусть заданы вещественная положительно определенная матрица A порядка n и вектор b Rn. Доказать, что функционал f(x) = (Ax, x) + (b, x) ïðè x Rn ограничен снизу и существует единственная точка x0, в которой f(x0) есть его минимальное значение.

33.7Квадратный корень

Åñëè A = S2, òî S естественно называть квадратным корнем из матрицы A.

Теорема. Для любой неотрицательно определенной матрицы A Cn×n существует единственная неотрицательно определенная матрица S Cn×n такая, что S2 = A.

Доказательство. Матрица A эрмитова и поэтому унитарно подобна вещественной диагональной матрице Λ с диагональными элементами λi ≥ 0 (вследствие неотрица-

тельной определенности): A = QΛQ . Пусть D диагональная матрица с элементами

√

λi. Тогда D2 = Λ и, очевидно, S = QDQ неотрицательно определенный квадратный корень из A.

Приведенное построение доказывает существование. Но единственность требует дополнительного рассуждения. Если SQ = QD, òî AQ = QD2. Пусть Q = [q1, . . . , qn] è

ражения и вещественных матриц вращения.

Доказательство. Из сказанного выше ясно, что в некотором ортонормированном базисе получается блочно диагональная матрица с вещественными блоками порядка 1 для

собственных значений ±1 и блоками порядка 2, которые оказываются вещественными матрицами вращения. Достаточно заметить, что

Теорему можно проинтерпретировать таким образом: линейное отображение в Rn,

сохраняющее длины, сводится к композиции отражений и вращений.

Задача. Докажите, что любая вещественная матрица вращения является произведением двух вещественных матриц отражения.

226 Лекция 34

ры матриц. Например, пусть M состоит из всех n × n-матриц вида

Несложно проверить, что M является коммутативной алгеброй, но в M имеются

недиагонализуемые матрицы (докажите!). Еще один пример коммутативной алгебры множество матриц A таких, что A> M.

Задача. Дана жорданова клетка J порядка n. Докажите, что множество всех n Ч n-матриц, коммутирующих с J>, совпадает с множеством матриц вида ( ).

34.4Одновременное приведение к треугольному виду

Теорема. Для произвольной коммутативной алгебры матриц M существует обратимая матрица Q такая, что для любой A M матрица Q−1AQ является верхней треугольной.

Доказательство. Пусть матрицы A1, . . . , Ak M Cn×n образуют базис в линейном пространстве M. Докажем, что они имеют общий собственный вектор.

Обозначим через L собственное подпространство матрицы A1 для собственного зна- чения λ1. Пусть A1x = λ1x, x 6= 0. Тогда

A1(A2x) = A2(A1x) = λ1(A2x). ( )

Следовательно, A2x L. Более того, Al2x L для всех l = 1, 2, ... . Пусть M минимальное подпространство, содержащее все векторы вида Al2x. Очевидно, это мини-

мальное подпространство, инвариантное относительно A2 и содержащее x. В силу ( ) заключаем, что M L. В M обязательно имеетcя собственный вектор для

будет собственным вектором и для A1.

Далее по индукции. Пусть L содержащее x 6= 0 пересечение собственных подпространств L1, . . . , Lk, отвечающих соответственно матрицам A1, . . . , Ak−1, а M содержащее x минимальное подпространство, инвариантное относительно Ak (очевид- но, оно состоит из векторов вида p(Ak)x для всевозможных многочленов p). Легко проверить, что M является (ненулевым!) подпространством для каждого из собственных подпространств L1, . . . , Lk. Поэтому M L, а содержащийся в M собственный вектор для Ak является собственным вектором также для

Итак, пусть x общий собственный вектор для A1, . . . , Ak. Пусть P любая

Непосредственно проверяется, что матрицы B1, . . . , Bk коммутируют. Если они однов- ременно приводятся к верхнему треугольному виду с помощью обратимой матрицы Z