От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

31.4Корневое разложение

Теорема о корневом разложении. Пусть матрица A Cn×n имеет m попарно

различных собственных значений алгебраической кратности k1, . . . , km, à K1, . . . , Kmотвечающие им корневые пространства. Тогда Cn разлагается в прямую сумму

Доказательство. Докажем, что сумма K1 + . . . + Km является прямой. Пусть

x1 + . . . + xm = 0, xi Ki, 1 ≤ i ≤ m.

(A − λ2I)k2 . . . (A − λmI)km (x1 + . . . + xm) = (A − λ2I)k2 . . . (A − λmI)km x1 = 0.

Здесь мы используем то, что любые матричные многочлены от A коммутируют. В силу Леммы 1, сужение каждой из матриц (A −λiI)ki , 2 ≤ i ≤ m, íà K1 является обратимым

оператором x1 = 0. Аналогично доказывается, что x2 = . . . = xm = 0. Остается учесть, что

dim K1 + . . . + dim Km = n. 2

Разложение ( ) иногда называется корневым разложением Пусть A рассматривается как матрица линейного оператора

ñíîì n-мерном пространстве Vn. Собственные значения λi и их алгебраические крат- ности ki не зависят от выбора базиса для представления оператора A. Под корневыми пространствами оператора A понимаются подпространства ker(A − λiI)ki Vn (здесь I тождественный оператор). Полученной нами теореме можно дать и операторную формулировку.

Операторная формулировка теоремы о корневом разложении. Cóììà m êîð-

невых пространств оператора A является прямой и совпадает с Vn:

Vn = ker(A − λ1I)k1 + . . . + ker(A − λmI)km

31.5Блочно диагональная форма матрицы

Согласно теореме о корневом разложении, базис в Cn можно выбрать как объедине- ние базисов в корневых пространствах Ki, 1 ≤ i ≤ m. Пусть этот базис представлен столбцами матрицы X. Тогда, вследствие теоремы о корневом разложении,

блоки A11 Cn1×n1 è A22 Cn2×n2 не имеют общих собственных значений. Докажите, что существует

31.6Теорема Гамильтона Кэли

Теорема Гамильтона Кэли. Пусть A Cn×n произвольная матрица и f(λ) = det(A − λI) ее характеристический многочлен. Тогда f(A) = 0.

Доказательство. Пусть имеется m попарно различных собственных значений λ1, . . . , λm алгебраической кратности k1, . . . , km. Тогда

f(A) = (−1)n(A − λ1I)k1 . . . (A − λmI)km .

Любой вектор x Cn имеет вид x = x1 + . . . + xm, ãäå (A − λiI)ki xi = 0. Остается заметить, что матрицы (A − λiI)ki è (A − λjI)kj коммутируют. 2

Замечание. При доказательстве теоремы Гамильтона Кэли было использовано каноническое разложение комплексного многочлена (характеристического многочлена мат-

ðèöû A) и связанный с ним результат о расщеплении Cn в прямую сумму корневых

пространств матрицы A. Однако, характеристический многочлен имеет смысл для мат-

рицы над любым полем, причем это будет многочлен с коэффициентами именно из этого поля. В общем случае, правда, он может не иметь ни одного корня в заданном поле. Тем не менее, теорема Гамильтона Кэли остается справедливой и в общем случае.

В случае произвольного поля можно предложить, например, такое рассуждение. Обозначим через B(λ) матрицу, элементами которой являются многочлены от λ и при этом в позиции i, j находится

алгебраическое дополнение к элементу в позиции j, i матрицы A − λI. Тогда

îò λ, в которых коэффициенты являются матрицами общих размеров. Степенью матричного много- члена F (λ) = Akλk + Ak−1λk−1 + ... + A0, ãäå Ak 6= 0, называется число k. Как и раньше, будем писать deg F = k. Нетрудно доказать, что существует и единственно представление

F (λ) = (λI − A)Q(λ) + R(λ),

ãäå ëèáî R(λ) = 0, ëèáî deg R ≤ k − 1. Ясно также, что F (A) = R(A). Остается заметить, что в силу ( ) матричный многочлен F (λ) = f(λ)I делится нацело на λI − A, поэтому F (A) = 0 f(A) = 0.

210 Лекция 32

Система векторов x1, . . . , xk, обладающих свойствами ( ), называется жордановой це-

почкой длины k, начинающейся с вектора x1. В силу определения B, равенства ( )

эквивалентны равенствам

Ax1 = λix1, Axj = λixj + xj−1, 2 ≤ j ≤ k. ( )

Пусть X = [x1, . . . , xk] è Jk матрица порядка k, определенная равенством (матрица сужения A íà Lk в базисе x1, . . . , xk)

AX = XJk.

 ñèëó ( ),

Матрица вида Jk называется жордановой клеткой (жордановым блоком, жордановым ящиком), отвечающей собственному значению λi.

32.3Жорданова форма матрицы

Подпространство Lk, натянутое на жорданову цепочку векторов вида ( ) или ( ), иногда называется циклическим подпространством в Ki, отвечающим собственному значе-

íèþ λi. Наша ближайшая цель показать, что Ki можно представить в виде прямой суммы циклических подпространств.

Тогда, объединив базисы циклических подпространств, получаем в Ki такой базис,

в котором матрица сужения A íà Ki имеет блочно диагональный вид, где каждый блок

есть жорданова клетка. Сделав то же для каждого корневого пространства, в результате объединения базисов всех циклических подпространств получаем так называемый

жорданов базис: в нем матрица A получает свою жорданову форму становится блочно

диагональной матрицей, в которой каждый блок главной диагонали является жордановой клеткой для какого-то ее собственного значения.

Матрица J блочно диагонального вида с блоками J1, . . . , JN называется прямой суммой своих блоков J1, . . . , JN . Обозначение:

"#

В этой терминологии жорданова форма представляет собой прямую сумму жордановых клеток.

32.4Индекс собственного значения

Очевидно, kerB kerB2 . . . . В конечномерном пространстве подпространства не могут расширяться неограниченно, поэтому для некоторой степени kerBk = kerBk+1.

Минимальный номер k с таким свойством называется индексом собственного значения λi (напомним, что B = A − λiI).

Утверждение. Åñëè kerBk = kerBk+1, òî kerBl = kerBl+1 ïðè âñåõ l ≥ k.

Следствие. Индекс не больше алгебраической кратности данного собственного зна- чения.

Достаточно учесть, что k ≤ dim kerBk è kerBk = kerBk+1 = . . . = kerBki .

32.5Жорданов базис в корневом пространстве

Пусть k индекс λi. Тогда s ≡ dim kerBk − dim kerBk−1 > 0. Поэтому существуют s линейно независимых векторов x1, . . . , xs, дополняющих какой-нибудь базис в kerBk−1 до базиса в kerBk:

линейно независимы. В самом деле, пусть

s k

XX

αijBj−1xi = 0.

i=1 j=1

Умножив обе части слева на Bk−1, находим

Умножив затем обе части слева на Bk−2, по той же причине получим αi2 = 0, 1 ≤ i ≤ s,

èтак далее.

(3)Сумма kerBk−2 + L(Bx1, . . . , Bxs) является прямой.

(4)Если она не совпадает с kerBk−1, то найдутся t линейно независимых векторов

y1, . . . , yt таких, что

kerBk−1 = kerBk−2 + L(Bx1, . . . , Bxs, y1, . . . , yt),

причем сумма является прямой.

(5) Векторы y1, . . . , yt имеют высоту k − 1 и порождают циклические подпрост-

ранства

L2i = L(yi, Byi, . . . , Bk−2yi), 1 ≤ i ≤ t.

(6)Сумма L11 + . . . + L1s + L21 + . . . + L2t является прямой. Доказательство аналогично доказательству предложения (2).

(7)Сумма kerBk−3 + L(B2x1, . . . , B2xs, By1, . . . , Byt) является прямой.

Отсюда находим (с учетом того, что defB0 = 0)

mj = 2defBj − defBj−1 − defBj+1, 1 ≤ j ≤ k.

Следовательно, число и порядки жордановых клеток для λi определяются размерностя- ìè ÿäåð ker(A−λiI)j, а значит, и рангами матриц (A−λiI)j. То же верно для жордановых

клеток каждого корневого пространства. 2

Следствие. Матрицы подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую жорданову форму с точностью до перестановки жордановых клеток.

Задача. Всегда ли можно построить жорданов базис, содержащий произвольно выбранные базисы в собственных подпространствах?

Задача. Пусть J жорданова клетка порядка n с нулевым собственным значением. Докажите, что уравнение X2 = J относительно X Cn×n не имеет решений, если n ≥ 2.

32.7Инвариантные подпространства для вещественных матриц

Если матрица A порядка n вещественная, то можно потребовать, чтобы ее инвариантные подпространства выбирались только в Rn. При данном ограничении может не

найтись ни одного инвариантного подпространства размерности 1 (приведите пример!). Тем не менее, справедливо

Утверждение. Матрица A Rn×n при n ≥ 2 имеет инвариантное подпространство L Rn размерности 2.

Отсюда получаем также, что A(x − iy) = (a − ib)(x − iy). Векторы x + iy è x − iy линейно независимы, так как отвечают разным собственным значениям матрицы A. Пусть

αx+βy = 0 (α−iβ)(x+iy)+(α+iβ)(x−iy) = 2(αx+βy) = 0 α−iβ = α+iβ = 0

α = β = 0. Следовательно, линейная оболочка L(x, y) является двумерным инвариантным подпространством относительно A. Если комплексных собственных значений нет, то базис, очевидно, можно составить из вещественных векторов. 2

32.8Вещественный аналог жордановой формы

Пусть A Rn×n имеет жорданову клетку J порядка k для комплексного собственного

значения λ = a + ib с мнимой частью b 6= 0. Это означает существование жордановой цепочки

Av1 = λv1, Avj = λvj + vj−1, 2 ≤ j ≤ k.

Представим каждый вектор vj â âèäå vj = xj + iyj, ãäå xj, yj Rn. Тогда находим

A[x1, y1, x2, y2, . . . , xk, yk] = [x1, y1, x2, y2, . . . , xk, yk]M2k,

214 Лекция 32

ãäå

Заметим, что линейная оболочка L(x1, y1, . . . , xk, yk) Rn является инвариантным под- пространством размерности 2k, совпадающим с прямой суммой двух подпространств корневого пространства матрицы A для собственного значения λ = a + ib и корневого пространства для сопряженного собственного значения λ = a−ib (в силу вещественности коэффициентов характеристического многочлена, λ è λ оба являются собственными значениями матрицы A одинаковой кратности). Из сказанного вытекает

Теорема. Любая матрица A Rn×n с помощью вещественного преобразования подо-

бия приводится к прямой сумме вещественных жордановых блоков и вещественных блоков вида ( ).

32.9Вычисление жордановой формы

ПРИМЕР 1. Выяснить диагонализуемость матрицы

В силу блочно диагонального вида заданной матрицы, ее собственные значения можно искать по

Собственный вектор для λ = 2 есть нетривиальное решение системы (A−2 ·I)x = 0. Ранг матрицы коэффициентов равен 3, поэтому фундаментальная система решений состоит из одного вектора. Собственные векторы для λ = 0 это нетривиальные решения системы (A − 0 · I)x = 0. В данном случае

ранг матрицы коэффициентов равен 2, поэтому в фундаментальной системе 2 вектора имеется система ровно из двух линейно независимых собственных векторов для λ = 0. Таким образом, базиса из собственных векторов не существует, поэтому матрица A не может быть подобна диагональной матрице.

ПРИМЕР 2. Найти жорданову форму и соответствующий жорданов базис для

Данная матрица имеет собственное значение λ = 1 кратности 4. Все пространство C4 является корневым для собственного значения λ = 1. С помощью сдвига перейдем к матрице B = A − 1 · I и поинтересуемся ее степенями:

Значит, число жордановых клеток порядка 3 равно dim kerB3 − dim kerB2 = 4 − 3 = 1. Имеется также

одна жорданова клетка порядка 1.

Принадлежность вектора x = [x1, x2, x3, x4]> ÿäðó kerB2 описывается уравнением x4 = 0. Поэтому, âçÿâ x = [0, 0, 0, 1]>, получаем прямую сумму

kerB3 = kerB2 + L(x).

Вектор x имеет высоту 3 и порождает циклическое подпространство, натянутое на векторы

x, Bx = [0, 0, 1, 0]>, B2x = [0, 1, 0, 0]>.

Принадлежность вектора z = [z1, z2, z3, z4]> собственному подпространству kerB описывается системой уравнений z3 = z4 = 0. Поэтому, например, z = [1, 0, 0, 0]> является собственным вектором, линейно независимым с уже найденным собственным вектором B2x = [0, 1, 0, 0]>. Окончательно,

Обратим внимание на то, что жорданова форма J и матрица X жорданова базиса должны соответствовать друг другу: AX = XJ. Это значит, что даже из правильно найденных векторов имеется возможность составить неправильную матрицу X (за счет неверной их нумерации).

ПРИМЕР 3. Нильпотентная матрица J порядка n = 10 имеет две жордановы клетки

порядка 3 и две жордановы клетки порядка 2. Требуется вычислить жорданову форму матрицы A = J2.

Нильпотентность означает, что J имеет собственное значение λ = 0 кратности 10. То же верно и для матрицы A = J2. Вычисляем размерности ядер: dim kerA = 8, dim kerA2 = 10. Следовательно,

жорданова форма матрицы A состоит из m2 = 10 −8 = 2 клеток порядка 2 и m1 = 2 ·8 −10 = 6 клеток порядка 1.

Задача. Известно, что Ak+1 = A, k > 0. Докажите, что матрица A диагонализуема.

Задача. Докажите, что матрица порядка n > 1 имеет конечное число инвариантных подпрост-

ранств в том и только том случае, когда каждому собственному значению соответствует ровно одна жорданова клетка.