Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Педагогический институт (филиал ИГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тартышников

.pdf

Скачиваний:

177

Добавлен:

14.05.2015

Размер:

1.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3822 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Е. Е. Тыртышников	197

Матрицу P можно выбрать в виде P = Pn−2 . . . P1, ãäå Pk = ZkΠk произведение матрицы перестановки Πk и матрицы модификации строк Zk.

Доказательство. Если a21 6= 0, òî Π1 = I. Åñëè a21 = 0, íî ai1 6= 0 ïðè i ≥ 3, òî 2-þ è i-ю строки следует переставить с помощью умножения на соответствующую матрицу перестановки Π1. В случае a21 6= 0 с помощью матрицы модификации строк Z1 исклю- чаем все элементы первого столбца в позициях (i, 1) ïðè 3 ≤ i ≤ n. Проиллюстрируем первый шаг для n = 4:

−a31

0 a31

a32

a33

a34

b32

b33

b34

a11

a12

a13

a14

b11

b12

b13

b14

a21

a22

a23

a24

b21

b22

b23

b24

−a21

1 a41 a42

a43

a44 0 b42 b43

b44

a21

a41

b34 0

1 0

c34 .

b32

b33

a31

c32

c33

b11

b12

b13

b14

c11

c12

c13

c14

b21

b22

b23

b24

c21

c22

c23

c24

0 b42

b43

b44 0

a21

0 1 0 c42 c43

c44

a21

a41

Важно, что при умножении справа на P1−1 элементы первого столбца не изменяютсянули, полученные там ранее, сохранятся.

Второй шаг направлен на получение нулей во втором столбце. Если c32 6= 0, то исключение проводится таким образом:

0 0		1	0	0	c32	c33	c34	=	0
1	0	0	0	c11	c12	c13	c14			d11
0	1	0	0	c21	c22	c23	c24			d21
0	0 −c32		1	c21	c22	c23	c24			d21
0	0 −c32		1	0	c42	c43	c44			0
		c42
		c42

d32	d33	d34	,
d12	d13	d14
d22	d23	d24
0	d43	d44

0		d32	d33	d34	0 0 1			0	=	0
	d11	d12	d13	d14	1	0	0	0			h11
	d21	d22	d23	d24	0	1	0	0			h21
	d21	d22	d23	d24	0	0	c32	1			h21
	0	0 d43		d44	0	0	c32	1			0
							c42
							c42

h32	h33	h34	.
h12	h13	h14
h22	h23	h24
0	h43	h44

В случае n ≥ 5 точно так же на третьем шаге получаем нули в позициях третьего столбца (i, 3) при i ≥ 5. И так далее. 2

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

29.8Матрицы Фробениуса

Задача о вычислении собственных значений матрицы сводится к вычислению корней некоторого многочлена (характеристического многочлена данной матрицы). Верно ли

обратное? Можно ли задачу о вычислении корней многочлена степени n свести к вычис-

лению собственных значений некоторой матрицы? Ответ положительный. Пусть многочлен имеет вид

f(λ) = λn + an−1λn−1 + . . . + a0.

Тогда интересующая нас матрица может быть, в частности, такой:

		0		1	0	. . . 0		−a2
			0	0	0	. . .	0	−a0
			1	0	0	. . .	0	a1
Af	=	. . . . . . . . . . . . . . .						.−. .
			0	0	0	. . . 0		an		2
			0	0	0	. . . 1		−a	−
								− n−1

198 Лекция 29

Матрица Af называется матрицей Фробениуса èëè сопровождающей матрицей ìíî-

гочлена f(x).

Утверждение. Характеристический многочлен матрицы Фробениуса Af для много- члена f(λ) имеет вид det(Af − λI) = (−1)nf(λ).

															det(Af − λI)							2, и так далее.
Доказательство.				При вычислении определителя															прибавим к первой
строке 2-ю строку, умноженную на λ, затем 3-ю строку, умноженную на λ
Вот что получается при n = 4:									= det
		det −		1 −λ			0	−a1	= det					1	−λ		0	−a1	− a1
				λ	0		0	−a0	− λ					0	−λ2		0	−a0	− a1	λ
				0	0	−	1	−a3	− λ			0				0	1 −a3 − λ
				0	1		λ	−a2						0		1	−λ	−a2
= det
= det	1	−λ	0	−a1	− a1λ − a2λ2				= det			1		−λ		0	−a1	− a1λ − a2
	0	0	−λ3	−a0	− a1λ − a2λ2							0		0		0	−a0	− a1λ − a2			λ2 − a3λ3 − λ4
0		0	1	−a3 − λ							0			0	−1 −a3 − λ
	0	1	−λ	−a2								0		1		λ	−a2
										2			3		4	.	2
					= a0 + a1λ + a2λ					+ a3λ				+ λ		.	2

29.9Вычисление характеристического многочлена

Как мы знаем, с помощью элементарных преобразований любую квадратную матрицу можно привести к подобной ей верхней почти треугольной матрице H. Поэтому доста-

точно научиться вычислять характеристический многочлен для H.

Для этого вложим верхнюю почти треугольную матрицу H−λI в верхнюю треуголь-

ную матрицу и рассмотрим следующую систему линейных алгебраических уравнений (пусть для простоты n = 4):

0	h21		h22 − λ	h23
1	h11	− λ	h12	h13
0		0	0	h	−
		0	h32	h33	43	λ
0		0	h32	h33		λ
0		0	0	0

	h24	f2		(λ) 0
	h14		f1	(λ)		0
h	34	λ f3		(λ)	=	0
	44		4
	h		f	(λ)		0 .
	1−	f (λ) 1
			5

Предположим, что поддиагональные элементы матрицы H отличны от нуля. Тогда матрица коэффициентов данной системы обратима система имеет единственное решение, в котором, очевидно, fk(λ) будет многочленом степени n+1−k от λ. Согласно

правилу Крамера,

f1(λ) = (−1)n+1 det(H − λI). h21 . . . hn+1 n

В данном методе для вычисления всех коэффициентов характеристического многочлена матрицы порядка n выполняется O(n3) арифметических операций (проверьте!).

Лекция 30

30.1Одномерные инвариантные подпространства

Пусть L инвариантно относительно A è dim L = 1. Пусть x L è x 6= 0. Инвариантность означает, что Ax = λx для некоторого числа λ. В таких случаях λ è x 6= 0 называются

собственным значением è собственным вектором оператора A.

Åñëè x собственный вектор для A, то линейная оболочка L(x) будет инвариантным

подпространством размерности 1: z L(x)	z = αx		Az = (αλ)x L(x).
В дальнейшем будем считать, что оператор A	действует на комплексном пространст-
	Cn×n	в произвольном фиксированном
ве размерности n и задан своей матрицей A				n, инвариантных отно-
базисе. Таким образом, можно говорить о подпространствах в C

сительно умножения на матрицу A (или, короче, относительно матрицы A). Сохраним обозначения L è x для подпространства и столбца из Cn, имеющих смысл упомянутых âûøå L è x. Мы уже знаем, что собственные знaчения λ матрицы A и только они суть корни характеристического уравнения det(A − λI) = 0. Из основной теоремы алгеб-

ры вытекает, что матрица A (оператор A) имеет комплексное собственное значение. Отсюда получаем нужное нам

Утверждение. Любая матрица A Cn×n имеет инвариантное подпространство размерности 1.

Задача. Матрица A порядка n имеет ненулевые попарно различные собственные значения λ1, . . . , λn. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора X 7→AXA−1,

X Cn×n.

Задача. Матрица A порядка n имеет попарно различные собственные значения λ1, . . . , λn. Найти

собственные значения и собственные векторы линейного оператора

AX>A, X

n×n.

7→

Задача. Матрица A = A

порядка n и ее окаймление

с помощью n × r-матрицы B

являются обратимыми матрицами. Докажите, что матрица

−1

Z = 0 B A−1B

имеет собственные значения 1 и

√

алгебраической кратности, соответственно,

n − r

(1 ± 5)/2

30.2Геометрическая кратность собственного значения

Фиксируем собственное значение λ оператора A и рассмотрим множество L всех векторов x таких, что Ax = λx.

Утверждение. Множество L является подпространством, инвариантным относи-

199

Xe Cn×n. Тогда

x1, . . . , xk

200	Лекция 30

тельно A.
Доказательство. Пусть x, y L Ax = λx, Ay = λy	A(αx+βy) = λ(αx+βy)

αx + βy L. Инвариантность L очевидна: если x L, òî Ax = λx L. 2

Определение. Подпространство L называется собственным подпространством, а его размерность геометрической кратностью собственного значения Λ.

30.3Матричное выражение инвариантности

Теорема. Пусть L Cn инвариантно относительно A Cn×n и dim L = k. Тогда существуют матрицы X Cn×k è B Ck×k такие, что столбцы X образуют в L базис и выполняется равенство AX = XB. Характеристический многочлен матрицы B является делителем характеристического многочлена матрицы A.

Доказательство. Образуем X из базисных векторов для L. Инвариантность означает, что Axj есть линейная комбинация векторов x1, . . . , xk. Определим матрицу B таким образом, что ее j-й столбец bj содержит коэффициенты данной ли- нейной комбинации. Тогда Axj = Xbj AX = XB.

Дополним X какими-то столбцами до невырожденной матрицы

AX = X			0	D
для каких-то блоков C è D. Отсюда e	e		B	C
для каких-то блоков C è D. Отсюда e	e
det(A − λI) = det(Xe−1AXe − λI)	=	det(B − λIk) det(D − λIn−k). 2

Следствие. Геометрическая кратность собственного значения не выше его алгебра- ической кратности.

30.4Сужение оператора на подпространство

Если подпространство L инвариантно относительно оператора A, то можно определить линейный оператор B : L → L правилом

Bx = Ax, x L.

Оператор A имеет более широкую область определения, чем B. Íî B действует на векторы из L òàê æå, êàê A поэтому его называют сужением оператора A на L. Говорят также, что A индуцирует íà L оператор B и называют B индуцированным

оператором.

Åñëè A матрица оператора A в каком-то базисе, x1, . . . , xk базис в L è X = [x1, . . . , xk], то равенство AX = XB означает, что матрица B является матрицей сужения оператора A íà L в базисе x1, . . . , xk.

30.5Инвариантные пространства и сдвиги

Утверждение. Матрицы A и A −λI имеют общие инвариантные пространства для любого λ.

Доказательство. Пусть L инвариантно относительно A. Åñëè x L, òî Ax L Ax−λx L L инвариантно относительно A−λI. Заметим также, что A = B −λ0I,

ãäå B = A − λI, λ0 = −λ. 2

x2, и так далее).

AX = XB, ãäå

Е. Е. Тыртышников	201

30.6Треугольная форма матрицы

Лемма 1. Для любой матрицы A Cn×n cуществует инвариантное пространство размерности n − 1.

Доказательство. Мы уже знаем, что образ imA является инвариантным пространством. Если его размерность равна n − 1, то все доказано.

Если она равна k < n −1, òî imA заведомо принадлежит какому-то более широкому подпространству L размерности n − 1, притом если x L, òî Ax imA L. Значит, L инвариантно относительно A. Åñëè dim imA = n, то перейдем к матрице B = A − λI, ãäå λ какое-то собственное значение матрицы A. ßñíî, ÷òî dim kerB ≥ 1 dim imB ≤ n − 1 B имеет инвариантное пространство размерности n − 1. Оно же инвариантно относительно A. 2

Лемма 2. Пусть L инвариантно относительно A Cn×n и dim L = k > 1. Тогда в L имеется инвариантное относительно A подпространство размерности k − 1.

Доказательство. Согласно матричному выражению инвариантности,

столбцы X образуют в L базис и B Ck×k. По лемме 1, матрица B имеет инвариантное

пространство размерности k − 1.		n		M		N
	Обозначим его через				и рассмотрим множество
векторов вида Xz, z M. Конечно, N C			есть подпространство размерности k − 1.
Ïðè ýòîì A(Xz) = X(Bz) N инвариантно относительно A. 2

Следствие. Для любой матрицы A Cn×n существует цепочка вложенных под-

пространств

L1 . . . Ln = Cn,

каждое из которых инвариантно относительно A и притом dim Lk = k.

Теорема о верхней треугольной форме. Любая матрица A Cn×n подобна верхней

треугольной матрице.

Доказательство. Построим базис x1, . . . , xn таким образом, что Lk = L(x1, . . . , xk) (достаточно взять x1 L1, дополнить его до базиса в L2 вектором

Пусть X = [x1, . . . , xn]. Тогда Axj есть линейная комбинация столбцов x1, . . . , xj

Axj = Xbj для столбца bj с нулями в позициях ниже j-й. Таким образом, матрица B = [b1, . . . , bn] верхняя треугольная, и при этом AX = XB B = X−1AX. 2

Заметим, что если B = X−1AX, òî B è A имеют один и тот же характеристический многочлен. Поэтому B è A имеют один и тот же набор n собственных значений с учетом

кратностей. Если матрица B треугольная, то ее собственные значения суть элементы главной диагонали.

Задача. Пусть trA = 0, а характеристический многочлен матрицы A записан в виде det(λI −A) = λn + an−1λn−1 + an−2λn−2 + ... + a0. Доказать, что an−1 = 0 è an−2 = −trA2/2.

Задача. Квадратные матрицы A è B порядка n имеют собственные значения λ1, . . . , λn è µ1, . . . , µn (с учетом кратностей). Найти все собственные значения (с учетом кратностей) линейного оператора X 7→AX + XB, X Cn×n.

30.7Спектральный радиус

Множество собственных значений матрицы часто называется также ее спектром. Наибольший модуль собственных значений матрицы A называется ее спектральным ради-

202 Лекция 30

óñîì. Обозначение: ρ(A).

Утверждение. Для спектрального радиуса имеет место оценка ρ(A) ≤ ||A||, где || · ||произвольная матричная норма.

Доказательство. Пусть Ax = λx, x 6= 0. Тогда \|\|λx\|\| = \|λ\|\|\|x\|\| ≤ \|\|A\|\|\|\|x\|\|
\|λ\| ≤ \|\|A\|\|.	2
Задача.	Докажите, что спектральный радиус получается как предел ρ(A) = klim \|\|Ak\|\|1/k, ãäå
	→∞

||·|| произвольная фиксированная матричная норма. (В силу теоремы о верхней треугольной форме достаточно рассмотреть случай верхней треугольной матрицы A.)

Задача. Для произвольной фиксированной матричной нормы ρ(A) = inf ||P −1AP ||, где точная

нижняя грань берется по всем обратимым матрицам P . (В силу теоремы о верхней треугольной форме

достаточно рассмотреть случай верхней треугольной матрицы A.)

Задача. Все элементы квадратной матрицы A неотрицательны, а суммы элементов в каждой

строке одинаковы и равны λ. Доказать, что λ является наибольшим по модулю собственным значением

матрицы A.

Замечание. В общем случае матрица может не иметь неотрицательных собственных значений, поэтому ρ(A) не обязано быть собственным значением матрицы A. Однако, для любой неотрицатель-

ной матрицы матрицы, все элементы которой неотрицательны, доказано, что спектральный радиус непременно является также ее собственным значением (это основной результат теории неотрицательных матриц, известный как теорема Перрона Фробениуса ).

30.8Теорема Шура

Пусть λ1, . . . , λn полный набор n собственных значений матрицы A Cn×n с учетом кратностей. Пусть фиксируется произвольная нумерация собственных значений.

Теорема Шура. Для любой матрицы A Cn с произвольной предписанной нумера-

цией ее собственных значений λ1, . . . , λn существует унитарная матрица X Cn×n такая, что B = [bij] = X AX есть верхняя треугольная матрица с диагональными

элементами bii = λi, i = 1, . . . , n.

Доказательство. Пусть Ax1 = λ1x1, |x1| = 1 (длина определяется естественным скалярным произведением). Построим ортонормированный базис x1, . . . , xn, начинаю- щийся с вектора x1, и пусть X = [x1, . . . , xn]. Легко проверить, что

AX = X	λ	u>	, B C(n−1)×(n−1), u Cn−1.
	01	B

Заметим, что det(A−λI) = (λ1 −λ)(λ2 −λ) . . . (λn −λ) = (λ1 −λ) det(B −λIn−1). Значит,

B имеет собственные значения λ2, . . . , λn.

Рассуждая по индукции, предположим, что Y BY = T , ãäå Y унитарная матрциа

порядка n − 1, à T верхняя треугольная матрица порядка									n − 1 с диагональными
элементами λ2, . . . , λn. В итоге
(Y	X )A(XY ) =			λ	u>Y		,	1	0
(Y	X )A(XY ) =			01		T	,	Y = 0	Y .
e		e						e
e		следует, что			Y унитарная матрица. Матрица XY óíè-
Из унитарности матрицы Y					Y унитарная матрица. Матрица XY óíè-
			матриц.			2			e
тарна как произведение унитарных					e	2			e

è ïðè

и отвечающий ему собственный вектор

Е. Е. Тыртышников	203

Сформулированная выше теорема о треугольной форме матрицы является, конечно, следствием теоремы Шура. При этом в теореме Шура утверждается больше треугольная форма с предписанным порядком собственных значений на диагонали достигается преобразованием подобия с помощью унитарной матрицы.

Отметим конструктивный характер приведенного доказательства теоремы Шура. Как только найдены собственное значение λ1

x1, задача определения остальных собственных значений сводится к аналогичной задаче порядка n−1. 1 Такого рода прием понижения размерности иногда называют дефляцией.

Задача. Докажите, что для любой комплексной матрицы A порядка 3 существует унитарная матрица Q такая, что матрица B = Q AQ является трехдиагональной. (Матрица B называется òðåõ-

диагональной, åñëè bij = 0 ïðè |i − j| > 1.) 2

30.9Делители и подпространства

Вследствие матричного выражения инвариантности, любому инвариантному подпространству матрицы A соответствует некоторый делитель ее характеристического много-

члена, являющийся характеристическим многочленом сужения A на данное подпространство. Из теоремы Шура легко вывести и обратное.

Теорема о делителях и подпространствах. Пусть A Cn×n è f(λ) = det(A−λI)

характеристический многочлен. Предположим, что f(λ) делится на многочлен p(λ) степени k. Тогда A имеет инвариантное подпространство L размерности k такое, что p(λ) есть характеристический многочлен сужения A на L.

Доказательство. Упорядочим корни многочлена f(λ) таким образом, что первые k корней будут также корнями делителя p(λ). Согласно теореме Шура, существуют X è B такие, что в верхней треугольной матрице B первые k элементов главной диагонали будут корнями p(λ). Пусть Xk прямоугольная матрица, содержащая первые k столбцов X, à Bk левый верхний блок порядка k в матрице B. Тогда AXk = XkBk

ýòîì det(Bk − λI) = p(λ). 2

1Ниоткуда, впрочем, не следует, что собственный вектор матрицы B автоматически соответствует какому-то собственному вектору матрицы A.

2Недавно было доказано, что то же верно для любой комплексной матрицы порядка 4 (V. Pati,

2001) и что существуют матрицы порядка 5, которые не приводятся к трехдиагональному виду преобразованием подобия с помощью унитарной матрицы.

204	Лекция 30

Лекция 31

31.1Многочлены от матрицы

Åñëè f(λ) = a0 + a1λ + . . . + amλm многочлен от λ, то для любой квадратной матрицы A имеет смысл выражение

f(A) ≡ a0I + a1A + . . . + amAm.

Оно называется многочленом от матрицы A. 1 ßñíî, ÷òî f(A) квадратная матрица того же порядка, что и A.

Åñëè f(A) = 0, то говорят, что многочлен f(λ) является аннулирующим многочленом äëÿ A. Пусть A матрица порядка n. Тогда система матриц I, A, A2, . . . , An2

будет линейно зависимой (почему?) для любой матрицы порядка n имеется аннулирующий многочлен степени не выше n2.

В действительности всегда имеется аннулирующий многочлен степени n (мы скоро

докажем, что характеристический многочлен для A является аннулирующим). Иногда

можно найти аннулирующие многочлены еще меньшей степени. Аннулирующий многочлен минимальной степени называется минимальным многочленом äëÿ A.

При поиске инвариантных подпространств многочлены от матрицы A интересны тем, что kerf(A) è imf(A) всегда инвариантны относительно A (докажите!).

31.2Корневые пространства

Предположим, что матрица A Cn×n имеет m попарно различных собственных зна-

чений λ1, . . . , λm алгебраической кратности k1, . . . , km, соответственно. Это означает, ÷òî

f(λ) ≡ det(A − λI) = f1(λ) . . . fm(λ), fi(λ) = (λi − λ)ki , 1 ≤ i ≤ m; λi 6= λj, i 6= j.

Подпространства Ki ≡ kerfi(A) = ker(A − λiI)ki называются корневыми пространства- ìè матрицы A.

Лемма 1. Корневое пространство Ki инвариантно относительно A и имеет размерность ki. Характеристический многочлен сужения A на Ki åñòü fi(λ) = (λi − λ)ki . Сужение A − αI íà Ki ïðè α 6= λi является обратимым оператором.

Доказательство. Инвариантность: если fi(A)x = 0, òî fi(A)(Ax) = A(fi(A)x) = 0. По теореме о верхней треугольной форме, существует подобная A верхняя треголь-

ная матрица B = X−1AX с элементами

bjj = λi, 1 ≤ j ≤ ki, bjj 6= λi, ki + 1 ≤ j ≤ n. ( )

1Многочлен от матрицы A имеет скалярные коэффициенты. Термин матричный многочлен обычно используется для обозначения многочлена от λ, коэффициенты которого являются матрицами.

205

главной диагональю

206

Лекция 31

Очевидно, C ≡ B − λiI = X−1(A − λiI)X

Cki = (B − λiI)ki = X−1(A − λiI)ki X.

Запишем C в блочном виде

C =

ãäå P è R верхние треугольные матрицы порядка ki

è n − ki. Ïðè ýòîì P имеет

нулевую главную диагональ

= 0

(проверяется непосредственно: в матрице P 2

3 åùå îäíà, è òàê

к нулевой главной диагонали добавляется еще одна диагональ, в P

далее).

Следовательно,

Cki =

0 Rki

P ki

ki порядка

n−ki отличны

где все диагональные элементы верхнего треугольного блока

îò íóëÿ. Áëîê

Q какой-то блок размеров ki

×(n−ki). Независимо от его вида, находим

rank

Cki

= n k

rank(A

I)ki = n

dim ker(A λ

I)ki = k

−

Матрица сужения A íà Ki представляет собой левый верхний блок порядка ki â ìàò- ðèöå B = X−1AX. Согласно ( ), все элементы его главной диагонали равны λi. Чтобы

получить матрицу сужения A − αI íà Ki, нужно заменить диагональные элементы на λi − α. Ïðè α 6= λi это будет невырожденная матрица. 2

Лемма 2. Если L инвариантно относительно A и сужение A на L имеет своим характеристическим многочленом fi(λ), òî L = Ki.

Доказательство. Пусть M Cki×ki матрица сужения A íà L в каком-то базисе.

Согласно теореме о верхней треугольной форме, этот базис можно выбрать так, чтобы M была верхней треугольной. Тогда M −λiI верхняя треугольная матрица с нулевой

(M − λiI)ki = 0 (A − λiI)ki x = 0 x L L Ki.

Поскольку dim L = dim Ki, получаем L = Ki. 2

31.3Нильпотентные операторы

Оператор A : V → V называется нильпотентным, åñëè Ak = 0 для какого-то k. Так же называется матрица A такая, что Ak = 0.

Утверждение. Матрица A порядка n нильтотентна тогда и только тогда, когда ее характеристический многочлен имеет вид det(A − λI) = (−λ)n.

Доказательство. Пусть Ak = 0, Ax = λx, x 6= 0 Akx = λkx = 0 λ = 0. Åñëè

A имеет собственное значение нуль кратности n, то, по теореме о верхней треугольной форме, она подобна верхней треугольной матрице B с нулями на главной диагонали

Bn = 0. 2

Следствие. Сужение A−λiI на корневое пространство Ki является нильпотентным оператором на Ki.

Задача. Доказать, что матрица A является нильпотентной тогда и только тогда, когда tr Ak = 0

для всех натуральных k.

Задача. Для квадратных матриц A è B выполняется равенство AB − BA = A1955. Доказать, что матрица A нильпотентная.

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3822 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке лИТЕРАТУРА

#
14.05.20154.2 Mб160[Boltyansky_V.G.,_Savin_A.P.]_Besedue_o_matematike(BookFi.org).pdf
#
14.05.20151.85 Mб177Тартышников.pdf

Доказательство. Пусть Ax = λx, x 6= 0. Тогда \|\|λx\|\| = \|λ\|\|\|x\|\| ≤ \|\|A\|\|\|\|x\|\|
\|λ\| ≤ \|\|A\|\|.	2
Задача.	Докажите, что спектральный радиус получается как предел ρ(A) = klim \|\|Ak\|\|1/k, ãäå
	→∞