От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

Напомним определение эквивалентных матриц: A è B называются эквивалентными, åñëè B = P AQ для каких-то невырожденных P è Q.

Утверждение 1. Матрицы эквивалентны в том и только том случае, когда они являются матрицами одного и того же линейного оператора в каких-то парах базисов.

Доказательство. Очевидно, ( ) означает эквивалентность матриц Agh è Aef . Åñëè B = P AQ, òî P è Q можно рассматривать как матрицы перехода для разных пар базисов. 2

Следствие. Для того чтобы матрицы одинаковых размеров были матрицами одного и того же линейного оператора в каких-то парах базисов, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковый ранг.

Пусть A матрица линейного оператора A в какой-то паре базисов. Если r = rankA,

òî A эквивалентна матрице B = [bij], в которой b11 = . . . = brr = 1, а все остальные элементы равны 0. Следовательно, имеется пара канонических базисов, в которой A

определяется матрицей B.

Таким образом, за счет выбора пары базисов матрица линейного оператора может приобрести вид настолько простой, чтобы оказаться почти бесполезной для изучения индивидуальных свойств данного оператора. Поэтому изучение оператора, вообще говоря, нельзя свести к изучению его матрицы.

Åñëè Vn = Vm, то появляется возможность взять e = f. Вследствие того, что образы

и прообразы рассматриваются в одном и том же базисе, теперь в матрице оператора есть все, что нужно для любого подробного его изучения. То же верно для любой другой

Матрицы A è B называются подобными, åñëè B = S−1AS для какой-то невырожденной матрицы S. Очевидно, справедливо следующее

Утверждение 2. Матрицы подобны в том и только том случае, когда они являются матрицами одного и того же линейного оператора в каких-то базисах при условии выбора одинаковых базисов в общем пространстве образов и прообразов.

Задача. Даны произвольные числа β1, . . . , βn−1. Доказать, что любая двухдиагональная n × n- матрица A âèäà

Задача. Доказать, что любая вещественная трехдиагональная матрица с элементами aij 6= 0 ïðè |i − j| = 1 подобна вещественной симметричной трехдиагональной матрице.

28.4Преобразование подобия

Пусть A : Vn → Vn линейный оператор в n-мерном пространстве Vn, è A его матрица при выборе одного и того же базиса в пространстве образов и прообразов. В этом случае изучение оператора A полностью сводится к изучению его матрицы A.

Естественно попытаться выбрать базис таким образом, чтобы матрица A получиланаиболее простой вид. Если оператор A задан своей матрицей A в каком-то базисе, то выбор нового базиса дает для того же оператора другую матрицу B, которая будет подобна заданной матрице. Переход от A к подобной ей матрице B = S−1AS называется

преобразованием подобия.

Возникает такой вопрос: к какому наиболее простому виду можно привести заданную матрицу с помощью преобразования подобия? Фактически мы сейчас начинаем не очень простой путь к полному ответу на данный вопрос.

28.5Инвариантные подпространства

Проблем нет, если n = 1. Кажется также, что проще изучать оператор в пространстве

малой размерности. Поэтому давайте для начала поизучаем действие оператора A íà

подпространствах малой размерности.

Пусть L подпространство в Vn. Чтобы изучать A, используя только векторы из L, нужно потребовать, чтобы Ax L äëÿ âñåõ x L. Любое подпространство с таким свойством называется инвариантным относительно A.

Пусть v1, . . . , vk базис в подпространстве L. Тогда его можно дополнить какими-то векторами vk+1, . . . , vn до базиса в Vn.

Утверждение. Пусть v1, . . . , vn базис в Vn è L = L(v1, . . . , vk). Тогда L инвариантно относительно линейного оператора A : Vn → Vn тогда и только тогда, когда матрица оператора A в базисе v1, . . . , vn имеет блочно треугольный вид

ãäå A11 подматрица порядка k.

Доказательство. При изоморфизме x = [x1, . . . , xn]> ↔ x1v1 + . . . + xnvn векторам

из L соответствуют те и только те столбцы x, для которых xk+1 = . . . = xn = 0. Если A имеет вид ( ), то, очевидно, для y = [y1, . . . , yn]> = Ax получаем yk+1 = . . . = yk = 0.

Значит, L инвариантно относительно умножения на матрицу A L инвариантно относительно оператора A.

Пусть известно, что L инвариантно относительно умножения на матрицу A = [aij], и пусть y = Ax, где xk+1 = . . . = xn = 0. Тогда yk+1 = . . . = yn = 0 aij = 0 ïðè

1 ≤ j ≤ k, i ≥ k + 1. 2

Задача. Найти все инвариантные подпространства оператора дифференцирования в пространстве вещественных многочленов.

28.6Ядро и образ линейного оператора

Множество kerA ≡ {x Vn : Ax = 0} называется ядром линейного оператора A, а множество imA ≡ {y Vn : y = Ax, x Vn} его образом. Размерность образа называется рангом оператора A, а размерность ядра его дефектом. Обозначение:

defA = dim kerA.

Утверждение 1. Ядро линейного оператора A : V → W является подпространством в V , а его образ подпространством в W .

Доказательство. Пусть x, y kerA. Тогда A(αx + βy) = αAx + βAy = α · 0 + β · 0 = 0

является линейным и (Af, g) = (f, A0g) для любых функций f, g V . Докажите также, что kerA imA0.

Задача. Функция a(t, τ) непрерывна и удовлетворяет неравенству −1 < a(t, τ) < 1 ïðè 0 ≤ t, τ ≤ 1. Докажите, что интегральное уравнение

имеет единственное решение в пространстве функций x(t) C[0, 1].

Можно вспомнить, что вопросом о диагонализации матриц порядка 3 мы занимались при изучении линий и поверхностей второго порядка при поиске такой системы координат, в которой матрица квадратичной части (вещественная симметричная матрица порядка 3) становится диагональной. 1

29.2Собственные значения и собственные векторы

Пусть A матрица порядка n è P обратимая матрица со столбцами p1, . . . , pn. Легко видеть, что равенство AP = P Λ эквивалентно системе равенств

Apj = λj pj, j = 1, . . . , n.

Эти равенства подводят нас к важным понятиям собственного значения матрицы и собственного вектора.

Определение. Пусть A матрица порядка n. Число λ C и ненулевой столбец x Cn, связанные соотношением Ax = λx, называются собственным значением è

собственным вектором матрицы A. Ïàðà λ, x иногда называется собственной парой

матрицы A.

Теорема. Матрица A порядка n диагонализуема тогда и только тогда, когда она обладает линейно независимой системой n собственных векторов.

Доказательство. Пусть p1, . . . , pn линейно независимая система собственных веткоров матрицы A, соответствующих собственным значениям λ1, . . . , λn:

λ1 6= 0 p21 = 0 p11 = 0. Получаем противоречие, поскольку матрица с нулевым столбцом не может быть обратимой. 2

1В Лекции 20 было доказано, что любая вещественная симметричная матрица A ортогонально подобна диагональной матрице D это означает, что A = P DP −1, ãäå P ортогональная матрица. Это же утверждение скоро появится как следствие более общих результатов.

29.3Собственные векторы для различных собственных значений

Теорема. Собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям матрицы, являются линейно независимыми.

Пусть x1, . . . , xm собственные векторы для попарно различных собственных значе- ний λ1, . . . , λm матрицы A. Пусть α1x1 + . . . + αmxm = 0. Умножим обе части слева на матрицу A:

α1λ1x1 + . . . + αmλmxm = 0.

Из данного равенства вычтем предыдущее, умноженное на λm:

α1(λ1 − λm)x1 + . . . + αm−1(λm−1 − λm)xm−1 = 0.

Отсюда ясно, что из линейной независимости векторов x1, . . . , xm−1 вытекала бы ли- нейная независимость векторов x1, . . . , xm. Доказательство завершается применением индукции. 2

Следствие. Если матрица порядка n имеет n различных собственных значений, то она диагонализуема.

29.4Характеристическое уравнение

Пусть λ произвольное собственное значение матрицы A. При фиксированном λ âñå

соответствующие ему собственные векторы x удовлетворяют однородной системе линейных алгебраических уравнений

Определение. Уравнение det(A − λI) = 0 относительно λ называется характеристи- ческим уравнением матрицы A. Левая часть этого уравнения есть многочлен степени

n îò λ, называемый характеристическим многочленом матрицы A.

Утверждение. Характеристический многочлен f(λ) = det(A−λI) матрицы A имеет

âèä

f(λ) = (−1)n(λn − sn−1λn−1 + sn−2λn−2 − . . . + (−1)ns0),

ãäå sk есть сумма всех миноров матрицы A порядка n − k, расположенных на пересе- чении столбцов и строк с одинаковыми номерами.

σ Sn

выбрать те и только те члены dσ, которые содержат произведение ровно k диагональных членов вида aii − λ (они и только они являются многочленами степени k îò λ), в каждом из них выделить слагаемое старшей степени вида (−λ)k cσ и просуммировать полученные коэффициенты cσ. Очевидно, что сумма всех cσ, отвечающих k диагональным элементам в фиксированных позициях i1 < . . . < ik, будет равна минору матрицы

196 Лекция 29

A, расположенному на строках и столбцах, дополнительных к строкам и столбцам с номерами i1, . . . , ik. 2

В частности, sn−1 = a11 + . . . + ann величина, называемая следом матрицы A. Обозначение: tr A. В силу формул Виета, след равен сумме всех собственных значений с учетом кратностей. Заметим также, что s0 = det A.

Ïðè n ≤ 4 собственные значения (как корни многочлена степени n ≤ 4) могут

быть выражены в радикалах через коэффициенты характеристического многочлена и, следовательно, через элементы матрицы. При n ≥ 5 таких формул уже не существует

(знаменитый результат Абеля, Руффини и Галуа).

29.5Алгебраическая кратность собственного значения

Кратность собственного значения как корня характеристического многочлена называется его алгебраической кратностью. Из основной теоремы алгебры сразу же вытекает следующая

Теорема. Любая комплексная матрица A порядка n имеет n комплексных собственных значений с учетом алгебраических кратностей.

29.6Характеристический многочлен и подобие

Теорема. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

Доказательство. Пусть B = P −1AP , ãäå P обратимая матрица. Тогда

Следствие. Собственные значения и их алгебраические кратности для подобных матриц совпадают.

Задача. Пусть A è B квадратные матрицы одного и того же порядка. Докажите, что AB è BA имеют одинаковые характеристические многочлены.

29.7 Приведение к почти треугольной матрице

Таким образом, при вычислении собственных значений матрицы A можно использовать

преобразования подобия для перехода к матрице более простого вида, имеющей те же собственные значения.

Например, от A можно перейти к подобной ей верхней почти треугольной матрице.

Так называется матрица H = [hij], в которой hij = 0 ïðè i ≥ j + 2. Такая матрица

называется также верхней хессенберговой.

Утверждение. Для произвольной матрицы A порядка n существует невырожденная матрица P такая, что матрица B = P AP −1 является верхней почти треугольной.