От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

Теорема. Для непрерывности линейного оператора необходима и достаточна его ограниченность.

Доказательство. Достаточность очевидна из неравенства

||Axk − Ax||W = ||A(xk − x)||W ≤ c||xk − x||V .

Чтобы доказать необходимость, рассмотрим множество значений нормы ||Ax||W íà åäè- ничной сфере S = {x : ||x||V = 1}. Предположим, что это множество не ограниче- но. Тогда существует последовательность xk S такая, что ||Axk||W → ∞. Положим yk = xk/||Axk||W и заметим, что

||yk||V = 1/||Axk||W → 0 ||Ayk||W → 0.

Последнее невозможно, так как ||Ayk||W = 1 äëÿ âñåõ k. Значит, для какого-то c > 0

||Ax||W ≤ c x S ||Ax||W ≤ c||x||V x V. 2

27.3 Операторная норма

Утверждение 1. Множество L(V, W ) всех ограниченных линейных операторов из V в W является линейным пространством (над общим для V и W полем).

Доказательство. Пусть ||Ax||W ≤ c1||x||V , ||Bx||W ≤ c2||x||V . Тогда для любых чисел

α è β

||(αA + βB)x||W ≤ c||x||V , c = |α|c1 + |β|c2. 2

Утверждение 2. Величина

Доказательство. Очевидно, величина ||A|| имеет конечное значение и, конечно, неот-

для какого-то c > 0

Чтобы доказать существование x0, достаточно учесть компактность единичной сферы в конечномерном пространстве, непрерывность на ней функции ||Ax||W и теорему Вей- ерштрасса. 2

Если фиксировано 1 ≤ p ≤ ∞ и в качестве нормы в пространстве Cn выбрана p-норма Гельдера, то соответствующую операторную норму матрицы A принято обозначать ||A||p.

Задача. Пусть A = [aij] матрица размеров m × n. Докажите, что

Задача. Пусть u, v Cn. Докажите, что ||uv>||2 = ||u||2||v||2.

27.4Матричная норма

Пусть каждой комплексной матрице A поставлено в соответствие неотрицательное число f(A) таким образом, что:

(1)f(A) является нормой на Cm×n äëÿ âñåõ m, n;

(2)f(AB) ≤ f(A)f(B) для любых матриц A è B, допускающих умножение.

Âтаких случаях f(A) называется матричной нормой.

Утверждение. Пусть для каждого n задана векторная норма на Cn, и пусть для каждых m, n и каждой матрицы A Cm×n норма ||A|| определена как операторная норма, порожденная данными векторными нормами. Тогда ||A|| является матричной нормой.

Доказательство. Пусть ||x|| обозначает векторную норму для x Cn при любом n.

Для любых матриц A и B, допускающих умножение, существует вектор x0 единичной нормы такой,

строится последовательность матриц Xk+1 = 2Xk − XkAXk, k = 0, 1, . . . . Доказать, что если для некоторой матричной нормы ||I − AX0|| < 1, òî Xk → A−1 ïðè k → ∞.

27.5Норма Фробениуса

Пусть A = [aij] матрица размеров m × n. Величина

называется нормой Фробениуса èëè евклидовой нормой матрицы A. Утверждение. Норма Фробениуса является матричной нормой.

Доказательство. Для каждых m, n норма Фробениуса является нормой на линейном пространстве Cm×n (êàê 2-норма на пространстве Cmn, изоморфном Cm×n). Пусть a1, . . . , an столбцы матрицы A, à b>1 , . . . , b>n

nn

XX

XX

Замечание. Норма Фробениуса не может быть операторной нормой на Cm×n íè ïðè каком выборе векторных норм в пространствах Cn è Cm дело в том, что операторная норма единичной матрицы должна быть равна 1.

Задача. Доказать, что при любом фиксированном c > 1 величина

определяет в пространстве 2 × 2-матриц норму с неравенством ||AB|| ≤ ||A||||B||, справедливым для любых 2 × 2-матриц A è B. Является ли она операторной нормой?

27.6Сохранение норм

Линейный ограниченный оператор A : V → V со свойством

||Ax|| = ||x|| x V

называется изометрическим èëè сохраняющим норму. Сразу же заметим, что сохранение какой-то одной нормы не означает сохранение другой нормы.

Пусть в Cn задана какая-то норма, а матрица A Cn×n (как линейный оператор из Cn â Cn) ее сохраняет. Такую матрицу будем называть изометрической относительно данной нормы.

Утверждение. Множество всех комплексных n Ч n-матриц, изометрических относительно гельдеровской 2-нормы, совпадает с множеством унитарных матриц порядка n.

Доказательство. Очевидно, 2-норма порождается естественным скалярным произ- ведением в Cn. Из наших исследований, связанных с тождеством параллелограмма,

вытекает, что сохранение длин влечет за собой сохранение скалярных произведений:

(Ax, Ay) = (x, y) y (A A)x = y x x, y Cn.

Отсюда y (A A−I)x = 0 äëÿ âñå x, y Cn. Выбирая в качестве x è y векторы стандартного базиса, приходим к выводу о том, что все элементы матрицы A A −I равны нулю. Таким образом, сохранение 2-нормы равносильно условию A A = I, определяющем

унитарную матрицу. 2

Замечание. Множество матриц, сохраняющих p-норму в случае p 6= 2, значительно беднее. Попробуйте доказать, что для всех p 6= 2 оно одно и то же и совпадает с мно-

жеством матриц вида DP , ãäå D диагональная унитарная матрица, а P матрица перестановки.

27.7Унитарно инвариантные нормы

Матричная норма || · || называется унитарно инвариантной, åñëè ||P AQ|| = ||A|| для любой матрицы A и любых унитарных матриц P è Q, допускающих умножение.

Утверждение 1. Норма Фробениуса является унитарно инвариантной.

Доказательство. Пусть Q унитарная матриц и A = [a1, . . . , an]. Тогда

||Qaj||2 = ||aj||2, j = 1, . . . , n.

Отсюда

nn

XX

Заметим, что при изучении метода вращений (в связи с упрощением вида уравнений для поверхностей 2-го порядка) мы уже использовали факт сохранения суммы квадратов элементов вещественной матрицы при умножении ее слева и справа на ортогональные матрицы.

Рассмотрим еще матричную норму, подчиненную гельдеровской 2-норме:

||A|| = sup ||Ax||2.

||x||2=1

Данная норма называется спектральной нормой матрицы (смысл названия через некоторое время прояснится). Обозначение: ||A||2.

Утверждение 2. Спектральная норма матрицы является унитарно инвариантной.

Доказательство. Пусть Q унитарная матриц и A = [a1, . . . , an]. По определению,

Кроме того,

заметить, что матрицы U è V унитарные (как произведение унитарных матриц), и убедиться в том, что выполняется равенство

Остается заметить, что индукция начинается с построения сингулярного разложения для матриц, представляющих собой один столбец либо одну строку.

Пусть A = [a] Cm×1 матрица-столбец. В этом случае найдем в Cm ортонорми- рованный базис v1, . . . , vm, начинающийся с v1 = a/||a||2. Тогда

A = V ΣU , V = [v1, . . . , vm], Σ = [||a||2, 0, . . . , 0]>, U = [1] C1×1.

Для матрицы-строки сингулярное разложение получается транспонированием. 2

Следствие 1. Спектральная норма матрицы равна ее старшему сингулярному числу.

Следствие 2. Пусть матрица A обратима и σn ее младшее сингулярное число. Тогда ||A−1||2 = 1/σn.

Теперь ясно, что старшее сингулярное число матрицы и младшее сингулярное число обратимой матрицы определены однозначно. То же верно для всего набора сингулярных чисел, но это мы докажем позже. Сингулярное разложение вместе еще с рядом важных следствий заслуживает более обстоятельного обсуждения, которое мы временно отложим с тем, чтобы вернуться к нему на более подготовленной почве.

Задача. Пусть A = [aij] è D = [dij] комплексные матрицы порядка n, ïðè ýòîì D диагональная матрица с элементами dii = aii ïðè 1 ≤ i ≤ n. Докажите, что если ||A||2 = ||D||2, то нулевых элементов в матрице A не меньше, чем 2n − 2.