От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

54.5Компактные множества в топологическом пространстве . . . . . . 315

55.1Потеря ортогональности при вычислениях . . . . . . . . . . . . . . 317

55.2Обобщение теоремы о перпендикуляре . . . . . . . . . . . . . . . . 318

56.1Строение выпуклых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

56.2 Линейные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

56.3Поиск точки в пересечении гиперплоскостей . . . . . . . . . . . . . 320

56.4 Линейные функционалы и скалярные произведения . . . . . . . . 321

56.5Дуальные нормы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

57.1Выбор базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

58.1Минимальный многочлен матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

58.2Жорданова форма: прямое доказательство по индукции . . . . . . 329

59.1Свертки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

59.2Сложность преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

59.3Быстрые приближенные вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

61.1Гиперповерхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

61.2Геометрические свойства гиперповерхностей . . . . . . . . . . . . . 338

62.1Эрмитово возмущение заданного ранга . . . . . . . . . . . . . . . . 341

62.2Собственные значения и сингулярные числа . . . . . . . . . . . . . 342

62.3Мажоризация и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

63.2Как убывают нормы невязок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

63.3 Оценка с помощью многочленов Чебышева . . . . . . . . . . . . . 346

63.4Предобусловленный метод сопряженных градиентов . . . . . . . . 347

64.1Локализация собственных значений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

64.2Расстояние между спектрами нормальных матриц . . . . . . . . . 352

впечатляющих достижений, я пытаюсь это делать. Но в каждом таком случае я считаю важным избегать чисто декларативного описания если уж что-то обсуждается, то всегда с ясными формулировками и полными (почти всегда) доказательствами.

В-третьих, в книге идет одновременное развитие нескольких тем подобно тому, как это делается в полифоническом музыкальном произведении. Главная тема, конечно, это все, что связано с концепцией линейной зависимости векторов. В качестве побочной (хотя и не менее значительной) темы в самом начале возникает понятие алгебраической операции и группы. Эта тема впоследствии приводит к важным понятиям кольца и поля, а затем и к своеобразной точке контрапункта (в той же музыкальной аналогии), когда свойства линейного пространства применяются к изучению расширений полей.

В дополнительных частях в сжатом и в то же время замкнутом виде можно найти весьма нетривиальные результаты, выходящие за рамки собственно линейной алгеб-

ры (например, вопросы о построении правильных n-угольников и разрешимости алгеб-

раических уравнений). Общеизвестно, однако, что значение и сила линейной алгебры обусловлены прежде всего ее многочисленными приложениями.

Я согласен с тем, что линейной алгебре не следует учить слишком абстрактно . Тем более, что есть возможность познакомиться с основными понятиями, работая с простыми для понимания объектами матрицами, а не с абстрактными элементами линейных пространств. В то же время, мне кажется, что определенная доза абстрактных понятий уместна и даже полезна на самой ранней стадии обучения. В самом деле, вряд ли можно считать чрезмерными усилия на освоение всего лишь определения группы и простейших ее свойств. Однако, если это сделать на раннем этапе обучения, то в дальнейшем находится много поводов для возвращения к этому понятию в связи с примерами групп, которые естественным образом возникают в разных местах курса.

Мне кажется, что упрощение формы изложения все же может сочетаться с более наполненным содержанием. По крайней мере, я стремился к этому. Линейная алгебра и ее приложения настолько фундаментальны и важны, что нет никаких оснований для реального сокращения объема обязательных базовых знаний в данной области.

В нашем курсе предмет линейной алгебры понимается в расширенном смысле, довольно часто мы оказываемся на территории смежных дисциплин математического анализа, вычислительных методов и, конечно, общей алгебры. Границы являются условностью, как и в жизни. Особенно часто они пересекаются при разработке современных информационных и вычислительных технологий.

Например, одна из главных обязательных тем первого семестра теория и методы исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений. Материал вполне элементарный и, возможно, оставляющий впечатление абсолютной завершенности. Однако, практическая необходимость решения систем с миллионами уравнений и неизвестных и появление вычислительной техники с параллельным выполнением операций дали импульс к изучению новых, параллельных свойств алгоритмов. В данном случае успехи прямо связаны с ростом мощи компьютеров. В то же время - и мне особенно приятно сказать об этом - выход на радикально новый уровень возможностей был сделан благодаря новому математическому знанию, а не росту производительности компьютеров. Более того, для данной вполне классической задачи линейной алгебры потребовалось развитие фундаментальных вопросов из области математического анализа и теории приближений.

Отдельные места в книге содержат материал, который вообще нельзя найти в какихлибо учебниках и даже монографиях. В частности, это относится к теореме об обобще-

ниях методов сопряженных градиентов. В еще большей степени ко всему материалу заключительной лекции, посвященной многомерным массивам, тензорным рангам и полилинейным обобщениям сингулярного разложения матрицы.

К дополнительному материалу, вероятно, следует отнести и включенные в текст лекций задачи. Это именно задачи, а не упражнения. Более того, обычно это не самые легкие задачи, но при этом подсказкой к их решению является само расположение задачи. Конечно, для активного освоения линейной алгебры нужны и упражнения, и задачи разного уровня сложности. Их можно найти в различных разделах существующих задачников (например, [11, 17, 20, 25]).

Âте времена, когда факультет ВМиК только появился, математики-вычислители часто сетовали на то, что в обязательных курсах мех-мата ничего не говорилось о возникших перед ними проблемах. В настоящее время можно уже говорить о том, что математикам-вычислителям часто не хватает знаний из традиционных именно для мехмата разделов математики. Можно привести примеры рекордно эффективных вычислительных технологий, возникших на основе идей и аппарата казалось бы далеких от приложений областей например, алгебраической топологии. Последние заявления в данной книге останутся все же лишь декларациями, к сожалению автора и читателей. Но ведь это лишь начало пути!

Âлюбом деле очень важен начальный импульс. Для данной книги его генератором был В. А. Ильин, пригласивший меня прочитать лекции на ВМиК.

ÂИнституте вычислительной математики Российской академии наук, где я имею честь работать, это предложение было горячо поддержано В. В. Воеводиным, В. П. Дымниковым и Г. И. Марчуком, попросившим меня в то же самое время помочь в организации на ВМиК новой кафедры кафедры вычислительных технологий и моделирования, которой он стал заведовать.

Мне оставалось только согласиться и попытаться сделать то, о чем я, скорее всего, уже думал попробовать рассказать студентам о линейной алгебре то, что я сам бы хотел услышать, когда был студентом. По крайней мере, самому мне это все пока нравится. Поэтому всем названным лицам выражаю искреннюю благодарность. Хочу поблагодарить также С. А. Горейнова, Н. Л. Замарашкина, Х. Д. Икрамова, Г. Д. Ким, В. С. Панферова, В. Н. Чугунова и всех тех, кто уже сделал или еще сделает замечания по тексту лекций.

ßñíî, ÷òî y1, . . . , ym выражаются через z1, . . . , zk аналогичным образом. Матрицу из постоянных коэффициентов этой зависимости обозначим через C. Тогда

x1, . . . , xn через z1, . . . , zk в формулы, выражающие y1, . . . , ym через x1, . . . , xn, è собрать коэффициенты при величинах z1, . . . , zk. Получится вот что:

n

Определение. Матрица C âèäà ( ) называется произведением матриц A è B и обозна- чается C = AB.

Следствие. y = A(Bz) = (AB)z.

Часто говорят, что матрицы умножаются по правилу строка на столбец . Число столбцов в первом сомножителе обязано, конечно, совпадать с числом строк во втором.

Если мы пишем C = AB, то автоматически имеем в виду, что матрицы A è B не совсем уж произвольные.

1.3Ассоциативность умножения матриц

XX

1.4Некоммутативность умножения матриц

В общем случае AB 6= BA даже для квадратных матриц. Например,

1.5Сложение матриц и умножение на число

Матрица C = [cij] называется суммой матриц A = [aij] è B = [bij], åñëè

cij = aij + bij äëÿ âñåõ i, j.

Матрицы A, B è C = A + B одинаковых размеров. Для операции сложения матриц выполняются сразу два приятных свойства:

A + (B + C) = (A + B) + C (ассоциативность),