От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

168 Лекция 25

ˆ ˆ−1 .

В случае dim L(u1, ..., um) = dim L(v1, ..., vm) = m отсюда ясно, что V = (U )

Утверждение 1. В случае биортогональности каждая из систем u1, . . . , um è v1, . . . , vm является линейно независимой.

Доказательство. Пусть z ≡ α1u1 + . . . + αmum = 0. Используя биортогональность, находим (z, vi) = αi = 0. 2

Утверждение 2. Пусть L, M V подпространства размерности m такие, что L ∩M = {0}. Тогда для любой линейно независимой системы u1, . . . , um L существует единственная биортогональная система v1, . . . , vm M.

Доказательство. Фиксируем какой-либо ортонормированный базис в пространстве

L+M. Тогда задача сводится к нахождению матрицы V из уравнения ( ). Пусть матри-

ˆ

öà ˆ

Q имеет столбцы, составленные из коэффициентов разложений векторов какого-либо

ˆ ˆ

базиса в M по данному фиксированному базису в L + M. Тогда V = QZ для некоторой матрицы Z порядка m, которая должна удовлетворять матричному уравнению

ˆ ˆ

Z Q U = I.

Столбцы квадратной матрицы ˆ ˆ ˆ ˆ

Q U линейно независимы. В самом деле, если Q Ux = 0,

òî ˆ ∩ ˆ ˆ

Ux L M Ux = 0. В силу линейной независимости столбцов матрицы U,

25.8QR-разложение матрицы

Пусть A Cn×m имеет линейно независимые столбцы a1, . . . , am Cn и к ним приме-

няется процесс ортогонализации Грама Шмидта с использованием естественного скалярного произведения.. Пусть в результате получаются ортонормированные векторы

q1, . . . , qm Cm.

Соотношения ak L(q1, . . . , qk) выполняются при k = 1, . . . , m и означают, что для каких-то чисел rik имеют место равенства

Определение. Разложение A = QR, где Q имеет ортонормированные столбцы, а R верхняя треугольная матрица, называется QR-разложением матрицы A.

Таким образом, мы только что доказали, что для любой прямоугольной матрицы

с линейно независимыми столбцами существует QR-разложение. В частности, оно

существует для любой невырожденной матрицы. В действительности справедлива более общая

Теорема. Любая прямоугольная матрица, в которой число строк не меньше числа столбцов, обладает QR-разложением с верхней ступенчатой матрицей R.

Доказательство. Пусть ai1 первый ненулевой столбец матрицы A, ai2 первый столбец такой, что ai2 / L(ai1 ), ai3 первый столбец такой, что ai3 / L(ai1 , ai2 ), è òàê далее. В итоге получаем в A базисную систему столбцов

ai1 , . . . , air , i1 < i2 < . . . < ir,

обладающую такими свойствами:

Найдем QR-разложение

[ai1 , . . . , air ] = [qi1 , . . . , qir ]Rr.

Систему столбцов qi1 , . . . , qir дополним до ортонормированного базиса в n-мерном пространстве столбцов и из полученных столбцов составим матрицу Q, сохранив

первоначальные столбцы в позициях i1, . . . , ir.

Записав A = QR, видим, что в матрице R первые r элементов il-ãî столбца те же, ÷òî â l-м столбце матрицы Rr. В то же время, j-й столбец при il < j < il+1 имеет нули в позициях ниже il-é. 2

Задача. Пусть A Cn×n имеет столбцы a1, . . . , an Cn. Докажите неравенство

Задача. Пусть A матрица порядка n с элементами aij = ±1. Докажите, что если | det A| = nn/2 (такие матрицы называются матрицами Адамара) è n ≥ 3, òî n делится на 4.

172 Лекция 26

В конечномерном пространстве из сходимости по норме вытекает покоординатная сходимость. Поэтому если xk → 0 ïðè k → ∞, òî xki → 0. Отсюда |f(xk)| → 0. Значит,

функционал непрерывен при x = 0. 2

Задача. Линейный функцонал f определен на пространстве векторов вида Ax, ãäå A Rm×n è x Rm. Докажите, что f(Ax) = y>Ax для некоторого y Rm, не зависящего от x.

26.2Сопряженное пространство

Операции сложения и умножения на число для линейных функционалов определяются естественным образом.

Пусть f(x) è g(x) линейные функционалы на V . Тогда их суммой называется функция h = f + g : V → C, определенная правилом h(x) ≡ f(x) + g(x). Äëÿ α C функция h = αf : V → C определяется правилом h(x) ≡ αf(x).

Элементарно проверяется, что f + g è αf остаются линейными функционалами.

Таким образом, множество всех всех линейных функционалов на V превращается в линейное пространство.

Особый интерес представляет множество всех ограниченных линейных функционалов. Оно тоже является линейным пространством, поскольку сложение и умножение на число непрерывных функций сохраняют свойство непрерывности.

Линейное пространство всех ограниченных линейных функционалов на

åòñÿ сопряженным пространством äëÿ V . Обозначение: V .

Нормой функционала f V называется величина

||f|| = sup |f(x)|.

||x||V =1

Конечность ||f|| вытекает из ограниченности f. Аксиомы векторной нормы проверяются очевидным образом.

Задача. Пусть φ линейный функционал на сопряженном пространстве V для конечномер-

ного пространства V . Докажите, что φ(f) = f(x0), ãäå x0 V некоторый фиксированный вектор, зависящий от φ и не зависящий от f V .

26.3Примеры линейных функционалов

(1) Пусть P линейное пространство всех вещественных многочленов на отрезке

[−1, 1] ñ C-нормой ||p||C = sup |p(x)|. Пусть p0(x) обозначает производную мно-

−1≤x≤1

гочлена p(x) (ÿñíî, ÷òî p0 P). Функционал f : P → R, заданный правилом

f(p) ≡ p0(1), p P,

является, очевидно, линейным, но не ограниченным: если pn(x) = xn, òî ||pn||C = 1

è f(pn) = n.

Задача. Докажите, что функционал f(p) = p0(0) также не будет ограниченным.

(2)В том же пространстве P функционал f(p) = p(0) является ограниченным линейным функционалом.

1

R

(3) Функционал f(p) = p(x)dx является линейным и ограниченным на P.

−1

(4)Рассмотрим пространство Cn с любой нормой, и пусть даны числа c1, . . . , cn. Пусть x = [x1, . . . , xn]> Cn è f(x) = c1x1 + . . . + cnxn. Это ограниченный линей- ный функционал на Cn.

26.4Размерность дополнительного пространства

Множество L = {x V : f(x) = 0} называется ядром èëè нуль-пространством линейного функционала f : V → C. Обозначение: L = kerf. Легко видеть, что L подпрост-

ранство. Если dim V = n и функционал не равен нулю тождественно, то dim L = n − 1

(докажите!). Мы собираемся доказать, что в бесконечномерном случае конечной (и равной 1) оказывается размерность так называемого дополнительного подпространства.

Подпространство L0 в пространстве V называется дополнительным для подпрост- ранства L, если разложение V = L + L0 является прямой суммой. Размерность дополнительного пространства называется коразмерностью подпространства L.

Åñëè V конечномерно, то его базис можно получить объединением базисов в L è L0. Поэтому dim L0 = dim V − dim L коразмерность одна и та же для любого

дополнительного пространства. То же верно и в бесконечномерном случае.

Скажем, что a b, åñëè a − b L. Это отношение эквивалентности на V . Поэтому V разбивается на множество непересекающихся классов эквивалентности.

Пусть классы [a] è [b] порождены векторами a è b. Естественные определения операций сложения и умножения на число

[a] + [b] = [a + b], α[a] = [αa]

корректны, так как их результаты не зависят от выбора представителей в классах эквивалентности. Таким образом, множество классов эквивалентности превращается в ли-

нейное пространство над тем же полем, что и пространство V . Оно называется факторпространством. Обозначение: V/L.

Утверждение. Любое дополнительное для L подпространство изоморфно факторпространству V/L.

Доказательство. Для a L0 пусть Φ(a) = [a]. Очевидно, отображение Φ : L0 → V/L сохраняет операции и Φ(L) = V/L. Кроме того, если Φ(a) = Φ(b), òî a b a − b L и одновременно a − b L0 a − b = 0. Значит, Φ сохраняющее операции взаимно-однозначное отображение L0 íà V/L другими словами, изоморфимзм. 2

Следствие. Для любых двух разложений в прямую сумму V = L + L0 = L + L00 размерности дополнительных пространств L0 è L00 одинаковы.

26.5Линейные функционалы и гиперплоскости

Пусть L = kerf. Åñëè L = V , то функционал тождественно равен нулю (и поэтому

называется нулевым или тривиальным).

Пусть L 6= V . Тогда существует вектор x0, для которого f(x0) 6= 0. Для произвольного вектора x V находим

f(x − αx0) = 0 ïðè α = f(x)/f(x0) x = z + αx0, z L.

174 Лекция 26

Очевидно, α однозначно определяется условием z L. Поэтому V есть прямая сумма

подпространств L è L(x0). Таким образом, ядро нетривиального линейного функционала имеет коразмерность, равную 1.

Теперь рассмотрим множество Mc = {x V : f(x) = c}. Åñëè f(x0) = c, òî, î÷å- видно, Mc = x0 + L. Таким образом, Mc есть линейное многообразие с направляющим пространством L коразмерности 1. В таких случаях линейное многообразие называется

гиперплоскостью. Легко видеть, что отображение f(x) 7→M(f) = {x V : f(x) = 1}

является взаимно-однозначным соответствием между линейными функционалами и гиперплоскостями.

Пусть dim V = n è e1, . . . , en базис в V . В данном случае ясно, что любой линейный функционал имеет вид f(x1e1 + . . . + xnen) = c1x1 + . . . + cnxn, ãäå ci = f(ei). Таким образом, любая гиперплоскость в n-мерном пространстве имеет вид

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

26.6Опорные гиперплоскости

Уравнение гиперплоскости ( ) â Rn удобно записывать в виде

(x, h) = c, ãäå h = [c1, . . . , cn]>.

Гиперплоскость, проходящая через точку x0, задается уравнением (x, h) = (x0, h). Под скалярным произведением здесь понимается естественное скалярное произведение в Rn.

Пусть M Rn некоторое множество. Точка x0 M называется граничной äëÿ M, если в любой ее окрестности имеются точки u M è v / M. Для определенности под

окрестностью точки можно понимать шар относительно 2-нормы (важно, что метрика должна порождаться нормой, а все нормы на Rn эквивалентны).

Гиперплоскость π : (x, h) = (x0, h), проходящая через граничную точку x0 M,

называется опорной гиперплоскостью äëÿ M, åñëè (x, h) ≤ (x0, h) x M.

Задача. Докажите, что множество всех внутренних точек выпуклого множества в нормированном пространстве является выпуклым.

Задача. Докажите, что любая внутренняя точка замыкания выпуклого множества S в конечномерном нормированном пространстве принадлежит S. Верно ли это в случае произвольного множества

S?

Задача. Пусть M выпуклое множество. Докажите, что гиперплоскость, проходящая через его граничную точку, является опорной для M тогда и только тогда, когда она не содержит ни одной внутренней точки множества M.

Лемма о наилучшем приближении на выпуклом множестве. Пусть M Rn

замкнутое выпуклое множество. Тогда для любой точки x / M существует единственная точка z0 M такая, что

|x − z0| = ρ ≡ inf |x − z|.

z M

предельного перехода получаем |h| = ρ. Далее, если z M è v ≡ z − z0, òî, â ñèëó выпуклости M, z0 + εv M äëÿ âñåõ 0 ≤ ε ≤ 1. Следовательно,

точки xk существует элемент наилучшего приближения zk M: |xk − zk| ≤ |xk − z|

è (xk−zk, z−zk) ≤ 0 z M. Отсюда (pk, z) ≤ (pk, zk), ãäå pk = hk/|hk|, hk = xk−zk. Èç

последовательности векторов pk выберем подпоследовательность, сходящуюся к некоторому вектору p; очевидно, |p| = 1. Кроме того, |zk −x0| ≤ |zk −xk|+|xk −x0| ≤ 2|xk −x0|zk → x0. Поэтому для любой точки z M выполняется неравенство (z, p) ≤ (x0, p).

2

Теорема 2. Пусть L, M Rn выпуклые множества и при этом множество внутренних точек для L не пусто 3 и не пересекается с M. Тогда существует гиперплоскость (x, h) = c такая, что

(u, h) ≤ c ≤ (v, h) u L, v M.

Доказательство. Пусть L0 множество внутренних точек для L. Легко проверить, что множество K = L0 − M = {z Rn : z = u − v, u L, v M} выпукло и при этом 0 / K. Отсюда можно заключить, что точка 0 не является внутренней точкой для

замыкания множества K. Åñëè 0 является граничной точкой для K, искомой является проходящая через 0 опорная гиперплоскость для K. Åñëè 0 является внешней точкой для замыкания K, то нужная гиперплоскость строится с помощью леммы о наилучшем приближении на выпуклом множестве. 2

Замечание. Говорят, что выпуклые множества L è M разделяются с помощью ли-

нейного функционала f(x), åñëè f(x) ≤ f(y) для любых x L è y M. Теорема

2 утверждает, что функционал с таким свойством существует. В такой формулировке она не использует скалярные произведения и остается верной без предположения о

2Другое доказательство, справедливое для замкнутых выпуклых множеств в произвольных (в том числе, бесконечномерных) гильбертовых пространствах (то есть, полных пространствах со скалярным произведением) фактически содержится в доказательстве обобщения теоремы о перпендикуляре в дополнении к лекции 25 (раздел 55.2).

3Выпуклое множество, имеющее хотя бы одну внутреннюю точку, называется выпуклым телом.