От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

причем равенство достигается в том и только том случае, когда x и y линейно зависимы.

Доказательство. Комплексное число (x, y) запишем в тригонометрической форме

(x, y) = |(x, y)| ξ, ξ = cos φ + i sin φ.

Åñëè y = 0, òî â ( ) имеет место равенство. Пусть y 6= 0. Для произвольного t R рассмотрим выражение

(x + tξy, x + tξy) = (x, x) + tξ(x, y) + tξ(x, y) + ξξ(y, y) = t2|y|2 + 2t|(x, y)| + |x|2 ≥ 0.

Доказательство. Первые два свойства нормы очевидны, а неравенство треугольника вытекает из неравенства Коши-Буняковского-Шварца:

|x + y|2 = |x|2 + |y|2 + (x, y) + (y, x) ≤ |x|2 + |y|2 + 2|x| |y| = (|x| + |y|)2. 2

Пространство со скалярным произведением, полное относительно нормы || · || = | · |, обычно называется гильбертовым.

Задача. Для двух векторов x, y Rn выполнено равенство ||x+ y||2 = ||x||2 + ||y||2. Докажите, что x è y линейно зависимы. Верно ли это в случае равенства ||x + y||p = ||x||p + ||y||p для нормы Гельдера ïðè p 6= 2?

Задача. Для матриц A, B Rn×n квадрат суммы диагональных элементов матрицы A>B равен произведению сумм диагональных элементов матриц A>A è B>B. Докажите, что A è B отличаются лишь скалярным множителем.

кажите, что выражение (f, g) = f(t)g(t)dt есть скалярное произведение и при этом V не является

0

24.5Тождество параллелограмма

Итак, любое пространство со скалярным произведением обладает специальной нормой, порожденной скалярным произведением. Зададим вопрос: какие нормы на V могут

порождаться каким-нибудь скалярным произведением?

Ответ связан со следующим тождеством параллелограмма:

||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2) x, y V.

158 Лекция 24

Легко проверить, что длина вектора ||x|| = |x| (то есть, норма, порожденная скалярным произведением) удовлетворяет данному тождеству. Но верно и обратное.

Теорема. Норма ||·|| порождается каким-то скалярным произведением в том и только том случае, когда для нее выполняется тождество параллограмма.

Рассмотрим ( ) как определение функции (x, y) и докажем, что она обладает всеми

свойствами скалярного произведения.

Легко видеть, что (x, x) = ||x||2. Поэтому первая аксиома очевидна. Так же легко проверяется, что (x, y) = (y, x): равенство f(x, y) = f(y, x) очевидно, а равенство

g(x, y) = −g(y, x) получается с помощью тождества параллелограмма.

Теперь предположим, что норма удовлетворяет тождеству параллелограмма и докажем, что функция (x, y) линейна по первому аргументу (третья и четвертая аксиомы).

Для этого достаточно доказать линейность по первому аргументу функции f(x, y) (линейность g(x, y) по первому аргументу будет очевидным следствием).

Докажем сначала, что f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z). Из определения f и тождества параллелограмма видно, что

Отсюда

f(x, z) + f(y, z) = 14(||x + y + z||2 − ||x + y − z||2) = f(x + y, z).

Теперь докажем, что f(αx, y) = α f(x, y) для любого α R. Пусть α = mn рацио- нальное число. Тогда, пользуясь уже доказанным свойством, находим

n f(n1 x, y) = f(n (n1 x), y) = f(x, y) f(n1 x, y) = n1 f(x, y)

f(mn x, y) = f(m(n1 x, y) = m f(n1 x, y) = mn f(x, y).

Произвольное вещественное α представим как предел последовательности рациональных αk → α. Несложно убедиться в том, что функция f(x, y) непрерывна по x. Поэтому в равенствах f(αkx, y) = αkf(x, y) можно перейти к пределу при

Таким образом, мы доказали равенство (αx, y) = (αx, y) пока только для вещественных α. Оно будет верно для любых комплексных α, если мы установим, что (ix, y) = i(x, y). Это вытекает непосредственно из определения ( ), вида функций f(x, y) è g(x, y) и тождества параллелограмма. 2

Задача. По определению, ||f(x)||C[a,b] ≡ max |f(x)|. Докажите, что эта норма в пространстве

a≤x≤b

C[a, b] функций, непрерывных на [a, b], не порождается никаким скалярным произведением.

Задача. Найдите все p ≥ 1, при которых норма Гельдера ||·||p порождается некоторым скалярным произведением.

24.6Ортогональность векторов

Скалярное произведение позволяет ввести общее понятие ортогональности векторов: x è y называются ортогональными, åñëè (x, y) = 0. Обозначение: x y.

Заметим, что в одном и том же пространстве скалярное произведение можно ввести многими разными способами, и векторы, ортогональные для какого-то скалярного произведения, могут быть не ортогональными по отношению к другому скалярному произведению.

В евклидовом пространстве можно ввести также общее понятие между векторами x è y. По определению,

(x, y) cos φ = |x| |y|.

Нужно заметить, что правая часть по модулю не больше 1 (в силу неравенства Коши- Буняковского-Шварца). Для ортогональных векторов φ = π/2. По понятной причине

данное определение угла не переносится на случай унитарных пространств. Но понятие ортогональности работает, конечно, и там.

Теорема Пифагора. Åñëè x y, òî |x + y|2 = |x|2 + |y|2.

Доказательство. Пусть (x, y) = 0. Тогда (x+ y, x+ y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) = (x, x) + (y, y). 2

Замечание. В евклидовом (но не в унитарном!) пространстве теорему Пифагора можно обратить: если |x + y|2 = |x|2 + |y|2, òî (x, y) = 0 это очевидно, посколь-

êó (x, y) + (y, x) = 2(x, y). Однако, последнее не верно для произвольных векторов в унитарном пространстве.

24.7Ортогональность множеств

Пусть V пространство со скалярным произведением и L V произвольное непустое подмножество векторов. Вектор x V называется ортогональным множеству L, åñëè (x, y) = 0 äëÿ âñåõ y L. Обозначение: x L. По определению, множества L è M ортогональны, åñëè (x, y) = 0 для любых x L è y M. Обозначение: L M.

Множество M всех векторов из V , каждый из которых ортогонален заданному множеству L, называется его ортогональным дополнением в пространстве V . Обозначе- ние:

Утверждение. Для любого множества L его ортогональное дополнение L является подпространством. При этом L (L ) .

24.8Ортогональная сумма подпространств

Напомним, что суммой подпространств L1, L2, . . . , Lm называется множество L всех векторов вида x = x1 + x2 + . . . + xm, ãäå xi Li äëÿ âñåõ i. Элементарно проверяется, что L подпространство. Обозначение: L = L1 + . . . + Lm.

Напомним также, что L называется прямой суммой, если подпространства Li íåíó-

левые и каждый вектор x L имеет единственное разложение вида x = x1 + . . . + xm, ãäå xi Li (åñëè x = x01 + . . . + x0m è x0i Li i, то непременно x0i = xi i).

Сумма L = L1 + . . . + Lm ненулевых подпространств называется ортогональной суммой, åñëè Li Lj ïðè i 6= j. Обозначение: L = L1 . . . Lm.

Утверждение. Ортогональная сумма подпространств L = L1 . . . Lm является прямой суммой. Кроме того, если xi Li, òî

|x1 + . . . + xm|2 = |x1|2 + . . . + |xm|2. ( )

Доказательство. Докажем сначала ( ). Учитывая, что (xi, xj) = 0 ïðè i 6= j, находим

Следствие 1. Конечная система ненулевых попарно ортогональных векторов является линейно независимой.

Доказательство. Пусть векторы x1, . . . , xm попарно ортогональны и отличны от нуля. Тогда сумма линейных оболочек L(x1), . . . , L(xm) является ортогональной суммой, и если α1x1 + . . . + αmxm = 0, то, согласно ( ),

0 = |α1x1 + . . . + αmxm|2 = |α1|2|x1|2 + . . . + |αm|2|xm|2 α1 = . . . = αm = 0. 2

Следствие 2. Если ненулевые подпространства L1, . . . , Lm конечномерны и попарно ортогональны, то

dim(L1 . . . Lm) = dim L1 + . . . + dim Lm.

Достаточно вспомнить, что для прямой суммы конечномерных подпространств Li базис получается объединением базисов в подпространствах Li (см. Лекцию 12).

Очевидно, имеем систему линейных алгебраических уравнений, для которой матрица коэффициентов совпадает с матрицей Грама G = G(z1, . . . , zm) системы векторов

z1, . . . , zm. По теореме о матрице Грама, для линейно независимой системы она невырожденная система относительно α1, . . . αm имеет и притом единственное решениевектор z0, подчиненный условию x − z0 L, существует и единствен.

Вектор h ≡ x − z0 в случае h L, z0 L называется перпендикуляром, опущенным

èç x íà L, à z0 ортогональной проекцией вектора x íà L.

Теорема о перпендикуляре. Для любого вектора x и конечномерного подпространства L существуют и единственны перпендикуляр h L и проекция z0 L такие, что x = z0 + h. Ïðè ýòîì

|h| = |x − z0| < |x − z| z L, z 6= z0.

Доказательство. Остается доказать лишь то, что z0 однозначно определенный элемент наилучшего приближения на L для вектора x. Пусть z произвольный вектор из L. Тогда x − z = (x − z0) + (z0 − z), ãäå x − z0 L è z0 − z L. Отсюда вытекает, что

x − z0 è z0 − z суть перпендикуляр и ортогональная проекция на L для вектора x − z. По теореме Пифагора,

|x − z|2 = |x − z0|2 + |z0 − z|2 |x − z0| < |x − z| z 6= z0. 2

Задача. Пусть L è M подпространства в конечномерном пространстве V со скалярным произведением. Равносильны ли равенства L ∩ M = {0} è L ∩ M = {0}?

Задача. Â n-мерном евклидовом пространстве векторы a1, . . . , an+1 таковы, что (ai, aj) < 0 ïðè

25.4Ортогональные системы

Система ненулевых векторов x1, . . . , xn называется ортогональной, åñëè

(xi, xj) = 0, i 6= j, ( )

è ортонормированной, если, дополнительно, |x1| = . . . = |xn| = 1. Таким образом,

матрица Грама для ортогональной системы является диагональной с положительными диагональными элементами, а для ортонормированной единичной матрицей.

166 Лекция 25

Рассмотрим пространство Cn с естественным скалярным произведением и ортонормированную систему вектор-столбцов

Составим из них n × n-матрицу

и заметим, что соотношения ( ) равносильны матричному равенству

Матрица X Cn×n со свойством X X = I называется унитарной. Таким образом,

любая квадратная матрица с ортонормированной системой столбцов является унитарной, а любая унитарная матрица имеет ортонормированную систему столбцов. Ясно также, что для унитарности матрицы необходимо и достаточно, чтобы она имела ортонормированную систему строк (докажите!).

Вещественная унитарная матрица называется ортогональной. Ранее мы уже отме- чали, что множество всех ортогональных матриц порядка n является группой относи-

тельно операции умножения матриц. То же справедливо и по отношению к множеству всех унитарных матриц порядка n.

25.5Процесс ортогонализации

Из теоремы о перпендикуляре сразу же вытекает, что в любом конечномерном пространстве V существует ортонормированный базис.

В самом деле, возьмем в V произвольный базис v1, . . . , vn и предположим, что в линейной оболочке Ln−1 = L(v1, . . . , vn−1) уже построен ортонормированный базис из векторов q1, . . . , qn−1 (конечно, Ln−1 = L(q1, . . . , qn−1)). Пусть hn перпендикуляр, опу- щенный из вектора vn íà Ln−1. ßñíî, ÷òî hn 6= 0 (иначе vn Ln−1 система v1, . . . , vn линейно зависима). Положим qn = hn/|hn|. Тогда система q1, . . . , qn и будет искомым

Реальные вычисления начинаются с получения вектора q1 = v1/|v1|. Затем из вектора v2 опускается на L1 перпендикуляр h2 и нормируется: q2 = h2/|h2|. И так далее. Опуская перпендикуляр на Lk, разумно искать разложение соответствующей проекции не по исходной системе v1, . . . , vk, а по уже построенной ортонормированной системе q1, . . . , qk. Выгода очевидна: матрица Грама для q1, . . . , qk является единичной!