Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Педагогический институт (филиал ИГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тартышников

.pdf

Скачиваний:

178

Добавлен:

14.05.2015

Размер:

1.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Е. Е. Тыртышников	147

22.6Нормы в бесконечномерном пространстве

ПРИМЕР 1. Пусть C[a, b] линейное пространство функций, непрерывных на отрезке [a, b]. Для функции f C[a, b] наиболее часто используется норма

||f||C = max |f(x)|,

a≤x≤b

называемая C-нормой (иногда также равномерной èëè чебышевской 1).

ПРИМЕР 2. Пусть C1[a, b] линейное пространство функций, непрерывных на отрез-

êå [a, b] вместе с первой производной 2. В данном случае норму можно ввести, например, так:

||C

max ( f(x)

f0(x)

≤

Заметим, что сходимость последовательности функций из C1[a, b] по норме C1 âëå- чет за собой сходимость по норме C. Обратное, однако, не верно: последовательность

функций

k sin kx f (x) = √

принадлежит C1[a, b] и сходится по норме C к нулю, но не сходится по норме C1, òàê

как не является ограниченной по этой норме.

Таким образом, в бесконечномерных пространствах разные нормы определяют, вообще говоря, разные типы сходимости. В этом отношении конечномерные пространства отличаются принципиально: в них сходимость по какой-либо норме равносильна сходимости по любой другой норме это фундаментальный факт, который скоро будет доказан. Он вроде бы означает, что в конечномерных пространствах можно ограничиться изучением какой-нибудь одной нормы. Тем не менее, это не так! В огромном числе вопросов конечномерные пространства возникают как подпространства бесконечномерного нормированного пространства. Поэтому нормы в них должны порождаться нормой соответствующего бесконечномерного пространства. А мы только что выяснили, что для бесконечномерных пространств разные нормы могут отличаться существенным образом.

Задача. Докажите, что последовательность функций fk(x) = sin kx/k не является сходящейся по норме C1.

22.7Метрическое пространство

В понятии предела аксиомы линейного пространства используются, на самом деле, не очень существенным образом норма разности двух векторов легко заменяется более общим понятием расстояния между двумя векторами.

Пусть M непустое множество и ρ(x, y) вещественная функция от элементов x, y M, обладающая следующими свойствами:

(1)	ρ(x, y) ≥ 0 x, y M, ρ(x, y) = 0 x = y;
(2)	ρ(x, y) = ρ(y, x) x, y M;

1В честь знаменитого русского математика Пафнутия Львовича Чебышева.

2Чтобы рассматривать f0(x) в точках a è b, можно считать функцию f(x) определенной и дифференцируемой на более широком интервале, накрывающем [a, b].

полным, если в нем любая фундаментальная

148	Лекция 22

(3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)	x, y, z M.

В таких случаях M называется метрическим пространством, à ρ(x, y) расстоянием

между элементами x è y.

Любое нормированное пространство является метрическим пространством с расстоянием

ρ(x, y) = ||x − y||.

Однако, метрическое пространство в общем случае не предполагает наличия какихлибо операций над его элементами. Например, произвольное непустое множество M

будет метрическим пространством, если ρ(x, y) = 0 ïðè x = y è ρ(x, y) = 1 ïðè x 6= y.

22.8Пределы и полнота

Пусть M метрическое пространство. Последовательность элементов xk M называется сходящейся â M, если существует элемент x M такой, что числовая последовательность ρ(xk, x) сходится к нулю при k → ∞. Как и в нормированном пространстве, двух разных пределов быть не может: если xk → x è xk → y, òî

ρ(x, y) ≤ ρ(x, xk) + ρ(xk, y) → 0 x = y.

Последовательность xk M называется фундаментальной èëè последовательностью Коши, 3 если для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при k, l > N выполняется неравенство ρ(xk, xl) < ε.

Из неравенства ρ(xk, xl) ≤ ρ(xk, x) + ρ(x, xl) очевидно, что любая сходящаяся по-

следовательность является последовательностью Коши . Обратное в общем случае

не верно. Например, любой интервал M = (a, b) вещественной оси можно рассматривать как метрическое пространство с расстоянием ρ(x, y) = |x −y|. Последовательность xk = a + (b − a)/k является фундаментальной, но не может сходиться ни к какому элементу из M (ее пределом должно бы быть число a, íî a / M).

Метрическое пространство называется последовательность является сходящейся.

В начальных курсах математического анализа обычно доказывается, что фундаментальные последовательности чисел из R являются сходящимися в R таким образом,

метрическое пространство R с расстоянием ρ(x, y) = |x − y| является полным.

Все понятия и факты, полученные для метрических пространств, переносятся на произвольные нормированные пространства. При этом всегда предполагается, что рас-

стояние в них вводится с помощью нормы: ρ(x, y) = ||x − y||. Полное нормированное пространство называется также банаховым. 4

Задача. Докажите, что функция ρ(x, y) = |x − y|/(1 + |x − y|) задает расстояние в вещественном

пространстве R. Порождается ли оно какой-либо нормой? Будет ли пространство полным?

3Еще одно (красивое, но редко используемое) название сходящаяся в себе.

4В честь польского математика, профессора Львовского университета Стефана Банаха.

Лекция 23

23.1Множества в метрическом пространстве

Пусть M метрическое пространство, a M è r > 0. Множества

M(a, r) = {x M : ρ(a, x) < r}, M(a, r) = {x M : ρ(a, x) ≤ r}.

называются открытым шаром è замкнутым шаром радиуса r с центром в точке a.

Пусть S какое-то множество точек в метрическом пространстве M. Множество S называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре.

Точка a S называется внутренней äëÿ S, если она содержится в S вместе с неко-

торым открытым шаром. Множество S называется открытым â M, если любая его точка является внутренней. Пустое множество по определению считается открытым.

Пусть x M и существует последовательность точек xk S, сходящаяся к x. В этом случае x называется точкой прикосновения äëÿ S. Åñëè xk 6= x äëÿ âñåõ k, òî x называется предельной точкой äëÿ S. Очевидно, любая точка прикосновения, не принадлежащая множеству S, является для него предельной.

Замыканием множества S называется оно само плюс все его предельные точки. Обозначение: [S]. Множество S называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки: [S] = S. Несложно проверить, что S замкнуто в том и только в том случае, когда дополнительное в M множество O = M\S является открытым.

Задача. Всегда ли замыкание открытого шара совпадает с замкнутым шаром с тем же центром

и радиусом?
Задача.	Пусть M = N, а расстояние между натуральными числами m, n определяется как
ρ(m, n) =	1 + min{1/m, 1/n} ïðè m 6= n è 0 ïðè m = n. Докажите, что M полное метричес-

кое пространство. Докажите также, что замкнутые шары

M(1, 1 + 1/2) M(2, 1 + 1/3) M(3, 1 + 1/4) ...

вложены, но имеют пустое пересечение.

Множество S называется компактным, если из любой последовательности точек xk S можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке x S.

Ясно, что компактное множество обязано быть замкнутым. Обратное не верно: например, S = M всегда является замкнутым множеством, но может и не быть ком-

пактным. Заметим также, что любое компактное множество S является ограниченным

(подпоследовательность неограниченной последовательности не может быть сходящейся, так как не может быть ограниченной).

В начальных курсах анализа рассматривается метрическое пространство R с расстоянием ρ(x, y) = |x − y|, а компактным принято называть любое замкнутое и ограни- ченное множество точек из R. В данном случае это определение равносильно нашему

149

150	Лекция 23

определению компактности. Более того, мы скоро докажем, что эти два определения равносильны и в случае произвольных конечномерных нормированных пространств. Однако, в бесконечномерных пространствах замкнутость и ограниченность недостаточны для выделения сходящейся подпоследовательности.

Говоря о расстоянии в линейных пространствах, мы всегда будем полагать, что оно вводится с помощью какой-либо нормы.

Задача. Верно ли, что замыкание выпуклого множества является выпуклым? Верно ли, что множество внутренних точек выпуклого множества будет выпуклым?

23.2Компактность и непрерывность

Вещественная функция f(x), определенная для точек x метрического пространства M, называется непрерывной в точке x M, если для любой последовательности xk, сходящейся к x, последовательность значений f(xk) сходится к f(x).

Теорема Вейерштрасса. Для любой вещественной функции f(x), непрерывной во всех точках компактного множества S, существуют точки xmin, xmax S такие, что f(xmin) ≤ f(x) ≤ f(xmin) äëÿ âñåõ x S.

Доказательство. Если предположить, что f(xk) > k для некоторой последовательности точек xk S, то возникает противоречие с возможностью выделения сходящейся подпоследовательности: если xki → x, òî f(xki ) → f(x), íî f(xki ) не может сходиться,

так как не является ограниченной. Поэтому f(x) ограничена сверху. Пусть cmax òî÷- ная верхняя грань множества значений {f(x), x S}. Тогда для каждого k найдется

точка xk S такая, что cmax − 1/k ≤ f(xk) ≤ cmax. Выберем сходящуюся подпоследова-

тельность xki → x и перейдем в последних неравенствах к пределу f(x) = cmax. Ограниченность снизу и существование точки минимума доказывается переходом к

g(x) = −f(x). 2

23.3Компактность единичной сферы

Рассмотрим единичную сферу в пространстве Cn относительно 2-нормы:

n
Xi	\|x\|i2 = 1}.
S2 = {x Cn : \|\|x\|\|2 = 1} = {x = [x1, . . . , xn]> :	\|x\|i2 = 1}.
=1

Лемма 1. Единичная сфера S2 в пространстве Cn компактна относительно 2-нормы.

Доказательство. Рассмотрим произвольную последовательность векторов

xk = [xk1, . . . , xkn]> S2.

Соответствующие координатные последовательности удовлетворяют неравенствам

|xk1| ≤ 1, |xk2| ≤ 1, . . . , |xkn| ≤ 1.

Согласно лемме об ограниченных последовательностях (см. Лекцию 19), существует

подпоследовательность номеров k1 < k2 < . . . такая, что каждая из координатных последовательностей xki l будет сходиться и удовлетворять равенству

|xikl |2 = 1.

( )

i=1

Е. Е. Тыртышников	151

Пусть xi = lim xki l è x = [x1, . . . , xn]>. Тогда

l→∞

			n				!1/2
\|\|x	kl	− x\|\|2	Xi	kl	− xi\|	2	→ 0.
\|\|x		− x\|\|2	=	\|xi	− xi\|		→ 0.
			=1

Переходя в ( ) пределу, получаем x S2. 2

Лемма 2. Для произвольной нормы || · || в пространстве Cn функция f(x) = ||x|| является непрерывной относительно 2-нормы.

Доказательство. Пусть xk = [xk1, . . . , xkn]> → x = [x1, . . . , xn]>. Тогда, используя нера- венство треугольника для норм, находим

\|f(xk) − f(x)\| = \| \|\|xk\|\| − \|\|x\|\| \| ≤ \|\|xk − x\|\| ≤	X
\|f(xk) − f(x)\| = \| \|\|xk\|\| − \|\|x\|\| \| ≤ \|\|xk − x\|\| ≤	\|xik − xi\| \|\|ei\|\|,
	1≤i≤n

ãäå ei = [0, . . . , 1, . . . 0]> вектор из нулей, кроме i-й компоненты, равной 1. Правая часть стремится к нулю при

n!1/2

\|\|xk − x\|\|2 =	Xi	→ 0. 2
\|\|xk − x\|\|2 =	\|xik − xi\|2	→ 0. 2
	=1

Лемма 3. Для любой нормы ||·|| на Cn существуют константы c1, c2 > 0 такие, что

c1 ≤ ||x|| ≤ c2 x S2.

Ïðè ýòîì c1 = ||x1||, c2 = ||x2|| для некоторых векторов x1, x2 S2.

Доказательство. Достаточно заметить, что функция f(x) = ||x|| непрерывна относительно 2-нормы на множестве S2, компактном относительно 2-нормы. 2

23.4Эквивалентные нормы

Две нормы || · ||(a) è || · ||(b) на одном и том же линейном пространстве V называются эквивалентными, если существуют константы c1, c2 > 0 такие, что

	c1 \|\|x\|\|(a) ≤ \|\|x\|\|(b) ≤ c2 \|\|x\|\|(a)	x V.
Теорема. Если V конечномерно, то любые нормы на нем эквивалентны.
Доказательство.n	Прежде всего, заметим, что любая норма \|\| · \|\| íà Cn эквивалентна
\|\| · \|\|2. Пусть x C	x/\|\|x\|\|2 S2. По лемме 3, c1	≤ kx/\|\|x\|\|2k ≤ c2
	c1 \|\|x\|\|2 ≤ \|\|x\|\| ≤ c2 \|\|x\|\|2	x Cn.
Отсюда легко вывести эквивалентность любых двух норм на Cn.
В случае произвольного конечномерного пространства V с нормой \|\|·\|\|V			фиксируем

в нем произвольный базис e1, . . . , en и рассмотрим взаимно-однозначное соответствие

v ↔ [x1, . . . , xn]>, v = xiei.

152 Лекция 23

Используя его, введем норму на Cn следующим образом:

\|\|[x1, . . . , xn]>\|\|V	≡	n	xiei	.
		i=1		V
		X

Свойства нормы проверяются непосредственно. Введем также еще одну норму на V :

n		≡ \|\|[x1, . . . , xn]>\|\|2.
Xxiei		≡ \|\|[x1, . . . , xn]>\|\|2.


i=1	2

Уже установленная эквивалентность любых двух норм на Cn доказывает, очевидно, эквиваленость данных (а значит, и любых) норм в пространстве V . 2

Следствие. Сходимость по любой норме в конечномерном пространстве равносильна

поокоординатной сходимости.

Заметим, что нам уже встречались нормы, которые не могут быть эквивалентными: это C-норма и C1-норма в пространстве C1[a, b] функций, непрерывных на отрезке [a, b]

вместе с первой производной:

max

f(x) ,

||C

1 = max ( f(x)

f0(x)

|| ||C

≤

b |

≤

fk(x) = sin kx/√

является сходящейся

В самом деле, последовательность функций

в норме C, но расходится в норме C1. Отсюда, кстати, получаем (не очень прямое!) доказательство бесконечномерности линейного пространства C1[a, b].

23.5Компактность замкнутых ограниченных множеств

Теорема. В конечномерном нормированном пространстве множество является компактным тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Доказательство. Мы уже знаем, что компактное множество в метрическом пространстве всегда является замкнутым и ограниченным. Пусть множество S замкнуто и

ограничено относительно какой-то нормы в Cn. В силу эквивалентности норм в ко- нечномерном пространстве, S также замкнуто и ограничено относительно 2-нормы.

Поэтому любая последовательность векторов из S имеет ограниченные координатные

последовательности. По лемме об ограниченных последовательностях, мы можем выбрать подпоследовательность, сходящуюся в 2-норме к какому-то вектору x S. Эта

же подпоследовательность будет сходиться и относительно любой другой нормы. 2

Отсюда вытекает, например, компактность единичной сферы и компактность замкнутого шара в любом конечномерном пространстве относительно любой нормы.

23.6Наилучшие приближения

Пусть x V è L непустое множество векторов из V . Величину

γ = inf ||x − z||

z L

называют расстоянием между x è L. Вектор z0 L называется элементом наилучшего

приближения äëÿ x íà L, åñëè γ = ||x − z0||.

Лемма о наилучшем приближении. Пусть L конечномерное подпространство

||Tn(x)||C[−1,1]

≤ ||pn(x)||C[−1,1]. 2

многочленами наилучшего равномерного прибли-

Е. Е. Тыртышников	153

в нормированном пространстве V . Тогда для любого x V существует вектор z0 L

такой, что ||x − z0|| ≤ ||x − z|| z L.

Доказательство. Фиксируем ε > 0 и рассмотрим любой вектор z такой, что ||x−z|| ≤ γ + ε. Отсюда ||z|| ≤ R ≡ γ + ε + ||x||. Поэтому очевидно, что

γ	=	z	L, z		R	\|\|	−	z	\|\|	.
γ			inf	\|\|≤		x		z		.
			\|\|	\|\|≤

Функция f(z) = ||x − z|| непрерывна на замкнутом шаре ||z|| ≤ R конечномерного

пространства L. По теореме Вейерштрасса, γ = ||x − z0|| для некоторого z0 L. 2 Заметим, что существование элемента наилучшего приближения очевидно также

для компактных множеств L.

Из леммы о наилучшем приближении вытекает, в частности, что для всякой непрерывной функции f(x) на отрезке [a, b] существует многочлен pn(x) степени не выше n

такой, что для любого многочлена gn(x) степени не выше n имеет место неравенство

||f(x) − pn(x)||C[a,b] ≤ ||f(x) − gn(x)||C[a,b].

Многочлены такого типа называются

жения äëÿ f(x) и впервые были изучены П. Л. Чебышевым (кстати, в связи с практи- ческой задачей механики). 1

Задача. Докажите, что функция Tn(x) = cos(n arccos x) ïðè −1 ≤ x ≤ 1 является многочленом степени n со старшим коэффициентом 2n−1. Докажите также, что для любого многочлена pn(x) степени n с тем же старшим коэффициентом выполняется неравенство

1	В частности, многочлен pn−1(x) для функции f(x) = xn C[−1, 1] имеет вид pn−1(x) = xn −
21−n cos(n arccos x), −1 ≤ x ≤ 1.
2	Говорят, что многочлены Tn(x) наименее уклоняются от нуля (среди всех многочленов той же

степени и с тем же старшим коэффициентом). Многочлены Tn(x) называются многочленами Чебышева .

154	Лекция 23

Лекция 24

24.1Евклидово пространство

Пусть V вещественное линейное пространство, на котором каждой упорядоченной

паре векторов x, y V поставлено в соответствие вещественное число (x, y) таким образом, что:

(1)	(x, x) ≥ 0 x V ; (x, x) = 0 x = 0;
(2)	(x, y) = (y, x) x, y V ;
(3)	(x + y, z) = (x, z) + (y, z) x, y, z V ;
(4)	(αx, y) = α(x, y) α R, x V .

Число (x, y) называется скалярным произведением векторов x è y. Вещественное ли-

нейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым.

Â Rn скалярное произведение векторов x = [x1, . . . , xn]>, y = [y1, . . . , yn]> часто вводится как сумма парных произведений координат:

n
Xi	( )
(x, y) = xiyi = y>x.	( )
=1

Оно называется естественным скалярным произведением на Rn. Íî íà Rn скалярное

произведение можно ввести и многими другими способами: например, если фиксировать числа λ1, . . . , λn > 0, то выражение

(x, y) =	=1 λixiyi = y> "λ1	. . .	λn#x
	n
	Xi

обладает свойствами (1) (4) и, следовательно, задает скалярное произведение.

24.2Унитарное пространство

Â Cn выражение ( ), очевидно, уже не является скалярным произведением: пусть n = 2 и x = [1, i]>, тогда (x, x) = 12 + i2 = 0. Вообще в ненулевом комплексном пространстве аксиомы (1), (4) не совместимы с аксиомой (2): (ix, ix) = −(x, x) если (x, x) > 0,

òî (ix, ix) < 0.

Пусть V комплексное линейное пространство. Теперь при определении скалярного

произведения (x, y) предполагается, что число (x, y) в общем случае комплексное, а набор аксиом модифицируется таким образом:

155

унитар-

156

Лекция 24

(10) (x, x)

≥

V ; (x, x) = 0

x = 0;

(20) (x, y) =

(y, x)

x, y

(черта означает комплексное сопряжение) ;

(30) (x + y, z) = (x, z) + (y, z)

x, y, z

V ;

(40) (αx, y) = α(x, y)

V .

Комплексное линейное пространство со скалярным произведением называется

íûì.

Аксиомы евклидова и унитарного пространств отличаются лишь комплекным сопряжением во второй аксиоме и, конечно, тем, что в вещественном пространстве все числа и само скалярное произведение вещественны. Заметим, что то в любом случае

скалярный квадрат (x, x) обязан быть неотрицательным вещественным числом.

В отличие от	( ), â	C	n	естественное		скалярное произведение векторов x =
	( ), â	C		вводится так:		скалярное произведение векторов x =
[x1, . . . , xn]>, y = [y1, . . . , yn]>
				n
				Xi				= y x.
				(x, y) =	xi		yi	= y x.
				=1

24.3Билинейные и полуторалинейные формы

В аксиомах скалярного произведения свойства (3), (4) отражают линейность функции (x, y) от векторов x è y по первому аргументу. В евклидовом пространстве аксиома (2)

дает нам линейность и по второму аргументу.

Функция f(x, y) называется билинейной формой, если она линейна по каждому из аргументов:

(αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z), (z, αx + βy) = α(z, x) + β(z, y) x, y, z V, α, β.

Таким образом, скалярное произведение в евклидовом пространстве является билинейной формой с дополнительными условиями (1) и (2).

Функция f(x, y) называется полуторалинейной формой, åñëè

(αx+βy, z) = α(x, z)+β(y, z), (z, αx+βy) = α(z, x)+β(z, y) x, y, z V, α, β C.

Очевидно, скалярное произведение в унитарном пространстве является полуторалинейной формой с дополнительными условиями (10) è (20).

24.4Длина вектора

Пусть V произвольное пространство со скалярным произведением. Величина

|x| = (x, x)

называется длиной вектора x V .

Неравенство Коши Буняковского Шварца. Для любых векторов x, y V

|(x, y)| ≤ |x| |y|,

( )

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке лИТЕРАТУРА

#
14.05.20154.2 Mб160[Boltyansky_V.G.,_Savin_A.P.]_Besedue_o_matematike(BookFi.org).pdf
#
14.05.20151.85 Mб178Тартышников.pdf

n
Xi	\|x\|i2 = 1}.
S2 = {x Cn : \|\|x\|\|2 = 1} = {x = [x1, . . . , xn]> :	\|x\|i2 = 1}.
=1

\|f(xk) − f(x)\| = \| \|\|xk\|\| − \|\|x\|\| \| ≤ \|\|xk − x\|\| ≤	X
\|f(xk) − f(x)\| = \| \|\|xk\|\| − \|\|x\|\| \| ≤ \|\|xk − x\|\| ≤	\|xik − xi\| \|\|ei\|\|,
	1≤i≤n

	c1 \|\|x\|\|(a) ≤ \|\|x\|\|(b) ≤ c2 \|\|x\|\|(a)	x V.
Теорема. Если V конечномерно, то любые нормы на нем эквивалентны.
Доказательство.n	Прежде всего, заметим, что любая норма \|\| · \|\| íà Cn эквивалентна
\|\| · \|\|2. Пусть x C	x/\|\|x\|\|2 S2. По лемме 3, c1	≤ kx/\|\|x\|\|2k ≤ c2
	c1 \|\|x\|\|2 ≤ \|\|x\|\| ≤ c2 \|\|x\|\|2	x Cn.
Отсюда легко вывести эквивалентность любых двух норм на Cn.
В случае произвольного конечномерного пространства V с нормой \|\|·\|\|V			фиксируем