Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Педагогический институт (филиал ИГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тартышников

.pdf

Скачиваний:

177

Добавлен:

14.05.2015

Размер:

1.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3816 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Лекция 21

21.1Приведенные уравнения поверхности второго порядка

При изучении линий второго порядка мы установили, что любая из них в какой-либо декартовой системе координат описывается одним из основных (как иногда говорят,

приведенных) уравнений

(1) λ1x2 + λ2y2 + c = 0, (2) λ2y2 + 2bx = 0, (3) λ2y2 + c = 0,

в которых все коэффициенты ненулевые, за исключением, быть может, c. В случае

поверхности второго порядка исходной точкой для вывода приведенных уравнений является возникающее в некоторой декартовой системе уравнение вида

λ1 x2 + λ2 y2 + λ3 z2 + 2b1x + 2b2y + 2b3z + a = 0.

Åñëè λ1, λ2, λ3 6= 0, то с помощью переноса начала координат (сдвига) можно полу-

чить уравнение вида

λ1 x2 + λ2 y2 + λ3 z2 + c = 0.

Пусть λ3 6= 0. Тогда в линейной части с помощью				2			2
			сдвига можно убрать члены,
содержащие x è y. В результате появится уравнение вида λ1x + λ2y								+ 2bz + c = 0. Åñëè
b 6= 0, то сдвиг позволяет перейти более	2	2		λ1x	2	+ λ2y			2	+ 2bz = 0.	Åñëè
	простому уравнению										Åñëè
æå b = 0, то получается уравнение вида λ1x		+ λ2y + c = 0.
Теперь предположим, что λ2 = λ3	= 0. После исключения члена с x в линейной

части (путем сдвига) получим уравнение λ1x2 + 2b2y + 2b3z + c = 0. Далее, с помощью поворота в плоскости координат y è z в линейной части можно избавиться от члена, содержащего z:

b2 b3		cos φ	sin φ	= b 0 .
		sin φ	−cos φ

В самом деле, выберем φ так, чтобы −b2 sin φ + b3 cos φ = 0. Таким образом,

имеется декартова система координат, в которой заданная поверхность описывается уравнением λ1x2 + 2by + c = 0. Если b 6= 0, то с помощью сдвига легко перейти к

уравнению λ1x2 + 2by = 0. Если b = 0, то получается уравнение λ1x2 + c = 0. В итоге доказано следующее

Утверждение. Для произвольной поверхности второго порядка в некоторой декартовой системе координат получается приведенное уравнение одного из пяти типов:

(1) λ1x2 +λ2y2 +λ3z2 +c = 0, (2) λ1x2 +λ2y2 +2bz = 0, (3) λ1x2 +λ2y2 +c = 0,

(4) λ1x2 + 2by = 0, (5) λ1x2 + c = 0.

Все коэффициенты ненулевые, кроме, возможно, свободного члена c.

137

138	Лекция 21

21.2Эллипсоид

Пусть в приведенном уравнении типа (1) коэффициенты λ1, λ2, λ3 имеют одинаковый знак, противоположный знаку свободного члена c. Тогда уравнение приводится к виду

x2		y2		z2
	+		+		= 1, a, b, c > 0.
a2		b2		c2

Множество точек (x, y, z), удовлетворяющих этому уравнению, называется эллипсоидом с полуосями a, b, c.

Заметим, что эллипсоид целиком содержится в параллелепипеде

|x| ≤ a, |y| ≤ b, |z| ≤ c.

Ясно, что в сечении поверхности второго порядка плоскостью получается некоторая линия второго порядка. Легко проверяется, что для эллипсоида в любом сечении плоскостью возникает эллипс (вырождающийся в точку, когда плоскость касается эллипсоида).

Задача. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точку эллипсоида x2/a2 +y2/b2 + z2/c2 = 1 и имеющей с ним ровно одну общую точку (такая плоскость называется касательной плоскостью).

Задача. Доказать, что геометричесое место точек пересечения взаимно ортогональных касательных плоскостей к эллипсоиду x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 есть сфера x2 + y2 + z2 = a2 + b2 + c2.

21.3Однополостный гиперболоид

Пусть приведенное уравнение имеет тип (1) с отличным от нуля свободным членом.

Предположим, что знак одного из коэффициентов при квадратах равен знаку свободного члена и противоположен знаку двух других коэффициентов. Тогда в некоторой декартовой системе координат получается уравнение вида:

x2		y2		z2
	+		−		= 1, a, b, c > 0.
a2		b2		c2

Множество удовлетворяющих ему точек (x, y, z) называется однополостным гипербо-

лоидом.

В любом сечении однополостного гиперболоида плоскостью x + D = 0 èëè y + D = 0

возникает гипербола.

По отношению к однополостному гиперболоиду множество всех точек пространства разбивается на три части:

x2	+	y2		−	z2	= 1		(точки поверхности),
2		2			2
a2		b	2		c2
x	+	y		−	z	<	1	(внутренние точки),
2		2			2
a2		b	2		c2
x	+	y		−	z	>	1	(внешние точки).
a2		b2			c2

Множество внутренних точек является связным: вместе с любыми двумя точками оно целиком содержит все точки некоторой соединяющей их ломаной (состоящей из конеч- ного числа отрезков) линии. Отсюда и название однополостный .

Е. Е. Тыртышников	139

21.4Линейчатая поверхность

Интересно отметить, что однополостный гиперболоид является примером линейчатой поверхности. Так называются поверхности, состоящие из всех точек некоторого бесконечного множества прямых.

Утверждение. Через каждую точку однополостного гиперболоида S проходят в точ- ности две различные прямые, все точки которых принадлежат S.

Доказательство. Изменив масштаб, перейдем к аффинной системе координат, в которой уравнение поверхности S будет иметь вид x2 + y2 − z2 = 1. Пусть прямая l

описывается параметрическими уравнениями

x = x0 + p1t, y = y0 + p2t, z = z0 + p3t,

а направляющий вектор (p1, p2, p3) выбирается так, чтобы все ее точки принадлежали поверхности S:

(x0 +p1t)2 +(y0 +p2t)2 (z0 +p3t)2 = 1

t R

p1x0

+ p2y0

− p3z0

= 0,

p12

+ p22

p32

= 0,

+ y0

− z0

= 1.

−

p3 = 0. Поэтому направляющий

Легко видеть, что

вектор можно нормировать, взяв

= 1. Тогда p

+ p

= 1,

+ p y

= z

. Предположим, что y

= 0

= (z0 − p1x0)/y0

p1 + (z0

− p1x0) /y0 = 1. Таким образом,

(x02 + y02)p12 − 2(x0z0)p1 + (z02 − y02) = 0.

Вычисляем дискриминант: D = x02z02 −(x02 +y02)(z02 −y02) = y02(x02 +y02 −z02) = y02

. Поскольку

6= 0, äëÿ p1 получаем в точности два различных значения. Поскольку p3 = 1, соответ-

ствующие направляющие векторы, очевидно, неколлинеарны. Они дают две различные прямые, целиком принадлежащие S и проходящие через точку (x0, y0, z0). Случай x0 6= 0

разбирается аналогично. 2

Замечание. Для поиска тех же самых прямых на поверхности S можно записать ее уравнение в виде

xa − zc xa + zc = 1 − yb 1 + yb

èрассмотреть два семейства пар плоскостей

−

= β 1 −

= α 1 +

−

= δ 1 +

= γ

1 −

определяемых парами не равных одновременно нулю параметров

α, β è γ, δ. Можно доказать, что

для каждой пары плоскостей в пересечении получается прямая, целиком принадлежащая S.

21.5Двуполостный гиперболоид

Пусть в приведенном уравнении типа (1) знак одного из коэффициентов при квадратах

противоположен знаку свободного члена и знаку двух других коэффициентов. Тогда оно приводится к виду

x2		y2			z2
	+			−		= −1, a, b, c > 0.
a2			b2		c2

жество его внутренних точек, определяемое неравенством

140 Лекция 21

Множество точек (x, y, z), удовлетворяющих данному уравнению, называется двупо-

лостным гиперболоидом.

Легко видеть,что двуполостный гиперболоид не имеет точек в полосе |z| < c. Ìíî-

xa22 + yb22 − zc22 < −1, разбивается на два связных множества. Отсюда и название двуполостный .

21.6Эллиптический конус

Если в приведенном уравнении типа (1) знак одного из коэффициентов при квадратах

противоположен знаку двух других коэффициентов, а свободный член равен нулю, то уравнение можно записать в виде

x2		y2		z2
	+		−		= 0.
a2		b2		c2

Множество удовлетворяющих ему точек (x, y, z) называется эллиптическим конусом.

Задача. Дана плоскость Ax+By+Cz+D = 0 при условии D 6= 0 и круговой конус x2 +y2 −z2 = 0.

Докажите, что в сечении конуса данной плоскостью получается эллипс, гипербола, парабола в том и только том случае, когда, соответственно, A2 + B2 < C2, A2 + B2 > C2, A2 + B2 = C2.

21.7Эллиптический параболоид

Теперь рассмотрим приведенное уравнение типа (2). Предположим, что λ1 è λ2 имеют

одинаковые знаки. Тогда в некоторой декартовой системе данная поверхность описывается уравнением

x2 y2

a2 + b2 = z, a, b > 0.

Множество удовлетворяющих ему точек называется эллиптическим параболоидом. Название навеяно рассмотрением сечений в плоскостях z + D = 0 (эллипсы) и в

плоскостях x + D = 0 èëè y + D = 0 (параболы).

21.8Гиперболический параболоид

Если в приведенном уравнении типа (2) коэффициенты при квадратах имеют разные знаки, то получается уравнение

x2 y2

a2 − b2 = z, a, b > 0,

которое определяет гиперболический параболоид.

Название объясняется видом кривых, получаемых в сечениях плоскостями z+D = 0 (гиперболы) и плоскостями x + D = 0 èëè y + D = 0 (параболы).

Это еще один пример линейчатой поверхности: каждая точка гиперболического па-

раболоида принадлежит двум различным прямым, целиком принадлежащим данной

поверхности. Доказательство проводится по аналогии со случаем однополостного гиперболоида.

Е. Е. Тыртышников	141

21.9Цилиндрические поверхности

Приведенные уравнения типов (3)−(5) не зависят от z. Поэтому кривые второго порядка

в сечениях любой плоскостью вида z +D = 0 одинаковы Соответствующие поверхности

называются цилиндрическими.

142	Лекция 21

произвольные положительные числа.

λ1, . . . , λn

Лекция 22

22.1Нормированное пространство

В дальнейшем любые линейные пространства будут предполагаться вещественными или комплексными. Наша ближайшая цель ввести важное обобщение понятия длины геометрического вектора и модуля комплексного числа.

Пусть V линейное пространство над полем P , ãäå P = R èëè P = C. Каждому

вектору x V припишем вещественное число ||x|| так, чтобы выполнялись следущие свойства:

(1)	\|\|x\|\| ≥ 0 x V,	\|\|x\|\| = 0		x = 0;
(2)	\|\|αx\|\| = \|α\| \|\|x\|\| x V,		α P (положительная однородность);
(3)	\|\|x + y\|\| ≤ \|\|x\|\| + \|\|y\|\|	x, y	V	(неравенство треугольника).

Число ||x|| называется нормой вектора x. Линейное пространство V , снабженное нор-

мой, называется нормированным пространством.

В одном и том же линейном пространстве норму можно ввести очень многими способами. Например, пусть V = Cn è

Åñëè x = [x1, . . . , xn]>, то пусть

||x|| ≡ λi|xi|.

i=1

Легко проверить, что соответствие x 7→x|||| обладает свойствами (1), (2), (3).

Чтобы построить другие, наиболее популярные примеры норм в Cn, нам понадобятся некоторые неравенства, опирающиеся на свойства выпуклых функций.

Задача. Можно ли ввести норму на R2 так, чтобы множество всех векторов x с нормой ||x|| ≤ 1 имело бы форму треугольника?

22.2 Выпуклые функции и неравенства

Вещественная функция f(x) называется выпуклой на интервале I = (a, b), если для любых x, y I и любого числа 0 ≤ t ≤ 1 выполняется неравенство

f(tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y).	( )
Функция g(x) называется вогнутой íà I, åñëè f(x) ≡ −g(x) выпукла на I.

Теорема. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на I и f00(x) ее вторая производная. Если f00(x) ≥ 0 при всех x I, то f(x) выпукла на I.

Доказательство. При x = y неравенство ( ) превращается в равенство. При t = 0 èëè t = 1 равенство получается при любых x, y. Поэтому предположим, что a < x < y < b

143

144	Лекция 22

è 0 < t < 1. Тогда для z = tx + (1 − t)y имеем x < z < y. По теореме Лагранжа из математического анализа, существуют точки ξ è η такие, что

f(z) − f(x)	= f0(ξ), x < ξ < z,	f(y) − f(z)	= f0(η), z < η < y.
z − x		y − z

По той же теореме, для некоторой точки ζ получаем

f(y) − f(z)

−

f(z) − f(x)

= f00(ζ) (η

−

ξ)

≥

0, ξ < ζ < η.

−

Остается учесть, что t = (y − z)/(y − x) и заметить, что левая часть имеет вид

f(x)(y − z) + f(y)(z − x) − f(z)(y − x)

tf(x) + (1 − t)f(y) − f(z)

(y x). 2

−

z)(z

−

z)(z

−

Следствие. Функция ln x является вогнутой.

Доказательство. (ln x)00

= −1/x2 < 0.

Отсюда, например, можно сразу же вывести неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим чисел x1, . . . , xn > 0:

	x1 + . . . + xn
√x1 . . . xn ≤	x1 + . . . + xn	.
√x1 . . . xn ≤	n	.
n

В самом деле, используя вогнутость логарифма, находим


ln	n	≥	n	≥ ln √x1 xn. 2. . .
	x1 + . . . + xn		ln x1 + + ln xn. . .	n

22.3Неравенства Гельдера и Минковского

Лемма. Пусть положительные числа p, q таковы, что

= 1. Тогда

ab ≤

a, b ≥ 0.

Доказательство. В силу вогнутости логарифма,

ln a

ln b

≤ ln

. 2

ln (ab) =

Неравенство Гельдера. В условиях леммы для любых комплексных чисел x1, . . . , xn è y1, . . . , yn справедливо неравенство

n		n	!1/p	n !1/q
	≤	X\|xi\|p		X\|yi\|q .
Xxiyi	≤	X\|xi\|p		X\|yi\|q .


		i=1		i=1
i=1		i=1		i=1

Доказательство. Пусть

a =	=1 \|xi\|p!	1/p	i=1 \|yi\|q!	1/q
a =	=1 \|xi\|p!	, b =	i=1 \|yi\|q!	.
	n		n
	Xi		X

Е. Е. Тыртышников	145

В случае a = 0 èëè b = 0 лемму для чисел |xi|/a è

неравенство ( ) очевидно. Если a 6= 0 è b 6= 0, то, используя |yi|/b, находим

(	x	i\|	/a) (	y	i\|	/b)	≤	\|xi\|p/ap	+	\|yi\|q/bq	, i = 1, . . . , n.
\|		i\|	\|		i\|		≤	p		q

Складывая эти неравенства, получаем

=1 \|xiyi\|!	/(ab) ≤	p	+	q = 1. 2
n		1		1
Xi

Неравенство Минковского. Пусть p ≥ 1, x1, . . . , xn è y1, . . . , yn произвольные

комплексные числа. Тогда

i=1 \|xi + yi\|p!	1/p		1/p	+	i=1 \|yi\|p!	1/p
i=1 \|xi + yi\|p!	≤	=1 \|xi\|p!		+	i=1 \|yi\|p!	.
n		n			n
X		Xi			X

Доказательство. При p = 1 неравенство проверяется очевидным образом. В случае p > 1 имеем, очевидно,

n	n	n	n
X	X	Xi	X
	\|xi + yi\|p ≤	\|xi + yi\|p−1 \|xi + yi\| ≤ \|xi\| \|xi + yi\|p−1 +	\|yi\| \|xi + yi\|p−1.
i=1	i=1	=1	i=1

Для каждой из сумм справа применим неравенство Гельдера, взяв q = p/(p − 1)

= 1. Получаем

xi + yi

≤

1/p

xi + yi

(p−1)q

1/q

=1 |

i=1 |

i=1

Остается заметить, что

(p − 1)q = p è

1 − 1/q = 1/p.

22.4Нормы Гельдера

Пусть x = [x1, . . . , xn]> Cn. Ïðè p ≥ 1 положим

	n		1/p
\|\|x\|\|p =		\|xi\|p	! .
	i=1
	X

Заметим также, что при фиксированном x величина ||x||p ïðè p → ∞ имеет предел,

равный max |xi|. Поэтому разумно принять обозначение

1≤i≤n

||x||∞ = max |xi|.

1≤i≤n

x = [x1, . . . , xn]> обладают свойст-

146	Лекция 22

Величины \|\|x\|\|p называются p-нормами èëè нормами Гельдера.

Неравенства Гельдера и Минковского сохраняют силу при p = ∞ (в этом случае

q = 1). Для доказательства достаточно перейти к пределу при p → ∞.

Теорема. При любом p ≥ 1, включая p = ∞, величина ||x||p является нормой на Cn.

Доказательство. Свойства (1) и (2) нормы очевидны. Неравенство треугольника есть не что иное, как неравенство Минковского. 2

Задача. Многие нормы на Rn как функции координат вектора

âîì f(x1, . . . , xn) = f(|x1|, . . . , |xn|). Приведите пример нормы, которая этим свойством не обладает.

22.5Зачем нужны нормы?

Прежде всего, это удобный инструмент для изучения пределов в линейном пространстве.

Последовательность векторов xk V называется сходящейся к вектору x V , если числовая последовательность ||xk−x|| сходится к нулю при k → ∞. Вектор x называется

пределом последовательности xk. Обозначения: x = lim xk èëè xk → x ïðè x → ∞.

k→∞

Последовательность, сходящаяся к какому-нибудь вектору, называется просто сходящейся. Это оправдано, поскольку двух различных пределов быть те может. Если

xk → x è xk → y, òî

||x − y|| = ||(x − xk) − (y − xk|| ≤ ||x − xk|| + ||y − xk|| → 0 x = y. 2

В конечномерном пространстве V при изучении сходимости можно, в принципе,

обойтись и без норм. Фиксировав какой-нибудь базис e1, . . . , en V , мы могли бы рассмотреть разложения

xk = xki ei i=1

и называть последовательность векторов xk сходящейся, если сходятся координатные последовательности xki ïðè âñåõ i. Такое понятие сходимости не будет зависеть от вы-

бора базиса (докажите!). Легко видеть также, что из покоординатной сходимости в

конечномерном пространстве вытекает сходимость по любой норме. Действительно,

пусть xik → xi. Тогда, взяв x = Pi	xi ei, получаем
	n
	Xi
\|\|xk − x\|\| ≤ \|xik − xi\| \|\|ei\|\|. 2
	=1

Более того, имеет место и менее очевидный факт: в конечномерном пространстве из сходимости по любой норме вытекает покоординатная сходимость. Мы скоро это докажем.

Тем не менее, даже в конечномерном пространстве исследовать сходимость с помощью норм очень удобно: все сводится к изучению лишь одной числовой последова-

тельности ||xk − x||. Это тем более важно, когда пространство бесконечномерно!

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3816 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке лИТЕРАТУРА

#
14.05.20154.2 Mб160[Boltyansky_V.G.,_Savin_A.P.]_Besedue_o_matematike(BookFi.org).pdf
#
14.05.20151.85 Mб177Тартышников.pdf